Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2010-2011 Module MM020
Th´ eorie des Nombres - DM1 Extensions alg´ ebriques de corps
Exercice 1 :
a) SoitK un corps, p un nombre premier, eta∈K∗\(K∗)p. Montrer que le polynˆomeXp−aest irr´eductible surK.
[Indication : on pourra montrer que si Xr+· · ·+bdiviseXp−a, alorsbp =ar]
b) Soient l, p deux nombres premiers tels que l divisep−1, a∈Z tel que la classe de amodulo p engendre (Z/pZ)∗ et 1≤k < l. Montrer que le polynˆome Xl+pXk−a est irr´eductible sur Z, donc sur Q.
Exercice 2 :
a) Soientd1, . . . , dr∈N. Montrer qued1!. . . dr! divise (d1+· · ·+dr)!.
b) SiK est un corps etf ∈K[X] de degr´ed, montrer que le degr´e d’une extension de d´ecomposition de f divised!.
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