Th´ eorie des Nombres - TD2 Corps finis

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2011-2012 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - TD2 Corps finis

Exercice 1 : Montrer les isomorphismes suivants et exhiber un g´en´erateur du groupe des ´el´ements inversibles :

a) F4 ∼=F2[X]/(X²+X+ 1).

b) F8 ∼=F2[X]/(X³+X+ 1).

c) F16∼=F2[X]/(X⁴+X+ 1).

d) F16∼=F2[X, Y]/(Y²+Y + 1, X²+X+Y).

Exercice 2 : Montrer que dans un corps fini, tout ´el´ement est somme de deux carr´es.

Exercice 3 :

a) Soit q = p^r, p un nombre premier impair. Montrer que x ∈ F^∗q est un carr´e si et seulement si x^q−12 = 1.

b) En ´etudiant les diviseurs de (n!)²+ 1, montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4k+ 1 (k∈N).

Exercice 4 : Soit p un nombre premier impair. Montrer que 2 est un carr´e dansFp si et seulement sip≡ ±1 [8].

[Indication : on pourra consid´ererζ une racine primitive 8-i`eme de l’unit´e dansFp et ´etudierζ+ζ⁻¹.]

Exercice 5 :

a) Soitk un corps,a∈k,p un nombre premier. Montrer que X^p−aest irr´eductible dans k[X] si et seulement si il n’admet pas de racine dans k.

[Indication : si X^p−aest r´eductible, on pourra ´ecrire une d´ecomposition de ce polynˆome dans k[X], puis utiliser la d´ecomposition deX^p−aen facteurs de degr´e 1 surk, pour en d´eduire que a est une puissancep-i`eme dans k.]

b) Soientp, ldeux nombres premiers tels queldivisep−1. Soitn∈Ztel que la classe denengendre (Z/pZ)^∗. Montrer que le polynomeX^l+pX^k−nest irr´eductible dansZ[X], pour tout 1≤k < l.

Exercice 6 :

a) Si p et l sont des nombres premiers, montrer qu’il existe un morphisme de corps Fpⁿ → Fl^m si et seulement si p=l etndivisem.

b) Ce morphisme de corps est-il unique ?

c) Fixons, pour tout n, m tels que n divise m, un morphisme Fpⁿ → Fp^m. Montrer que Fp :=

S

n≥1F_p^n! est une clˆoture alg´ebrique deFp.

Exercice 7 : Soit p un nombre premier. Montrer que le groupe F^∗_pⁿ s’identifie `a un sous-groupe du groupeGLn(Fp).

Exercice 8 :

a) Donner la liste de tous les polynˆomes irr´eductibles de degr´e ≤5 surF2. 1

b) Donner la liste de tous les polynˆomes irr´eductibles unitaires de degr´e ≤3 surF3.

c) Donner le nombre et la liste de tous les polynˆomes irr´eductibles unitaires de degr´e ≤2 surF4. Exercice 9 : Montrer (sans utiliser les r´esultats g´en´eraux sur les polynˆomes cyclotomiques) que le polynˆome X⁴+ 1 est irr´eductible dans Q[X], et qu’il est r´eductible dans Fp[X] pour tout nombre premierp.

Exercice 10 : Soit n≥2 un entier.

a) Soit p un nombre premier. Montrer que p ≡ 1 [n] si et seulement si Fp contient une racine primitive n-i`eme de l’unit´e.

b) Soitk∈N, etpun diviseur premier deφ_n(k!). Montrer quep > ket soitpdivisen, soitp≡1 [n].

c) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiersp≡1 [n].

Exercice 11 : Soit Irr(n, q) l’ensemble des polynˆomes irr´eductibles unitaires de degr´e n sur Fq et I(n, q) le cardinal de cet ensemble.

a) Montrer que siddivisen, alors pour toutP ∈Irr(d, q),P diviseX^qn−X.

b) Montrer que siP ∈Irr(d, q) diviseX^qn−X, alors d divise n.

c) En d´eduire la formule

X

d|n

dI(d, q) =qⁿ.

d) On d´efinit la fonction de M¨obius µ : N^∗ → {−1,0,1} par µ(n) = (−1)^r si n est le produit de r nombres premiers distincts, et par µ(n) = 0 si n admet un facteur carr´e. Montrer que si f, g : N^∗ → C sont deux fonctions, on a f(n) = P

d|ng(d) pour tout n si et seulement si g(n) =P

d|nµ(ⁿ_d)f(d) pour toutn.

e) En d´eduire la formule

I(n, q) = 1 n

X

d|n

µn d

q^d.

f) Montrer que pour tout n≥1, I(n, q)≥1.

g) Montrer le “th´eor`eme des nombres premiers pour les polynˆomes” : I(n, q) = qⁿ

n +O qⁿ² n

!

quand ntend vers +∞.

[remarque : si on posex=qⁿ, cette formule devientI(x, q) = _log^x

q(x)+O ^√

x log_q(x)

, qui est l’exacte analogue de la forme pr´ecise (conjectur´ee !) du classique th´eor`eme des nombres premiers.]

Exercice 12 : Soient p, l deux nombres premiers impairs, tels quel≡2 [3] et la classe de pmodulo lengendre (Z/lZ)^∗.

Montrer queX^l+1−X+p est irr´eductible dansZ[X].

[Indication : on pourra consid´erer les r´eductions de ce polynˆome modulo 2 et p.]

Exercice 13 : Soit F un corps fini de cardinal q = p^r. Pour tout Q ∈ F[X₁, . . . , X_n], on pose S(Q) :=P

x∈FⁿQ(x)∈F.

a) Poura₁, . . . , a_n∈N, calculerS(X₁^a1. . . X_n^an).

b) Soient P1, . . . , Pr des polynˆomes de F[X1, . . . , Xn], de degr´esd1, . . . , dr. On note Z:={x∈Fⁿ: P₁(x) =· · ·=P_r(x) = 0}.

Si P(x) :=Qr

i=1(1−Pi(x)^q−1), exprimerS(P) en fonction du cardinal #Z de Z.

2

c) En d´eduire que sid₁+· · ·+d_r< n, alors #Z est multiple dep(th´eor`eme de Chevalley-Warning).

d) En d´eduire que si les P_i sont des polynˆomes homog`enes (ou au moins si les P<sub>i</sub> sont sans terme constant) et si d1 +· · ·+dr < n, alors le syst`eme P1(x) =· · · =Pr(x) = 0 a une solution non nulle dans Fⁿ.

On dit que le corps Fest un corpsC₁.

Exercice 14 : On appelle “alg`ebre `a division” (ou “corps gauche”) tout anneau non nul A (pas forc´ement commutatif) dans lequel tout ´el´ement non nul est inversible.

Dans tout l’exercice, on fixe une alg`ebre `a division finieA. On souhaite montrer queAest commutatif, c’est-`a-dire que A est un corps (th´eor`eme de Wedderburn).

a) Montrer que le centreZ deA est un corps fini de cardinalq, et queA est unZ-espace vectoriel de dimension n.

b) Supposonsn >1, i.e.A non commutative. ´Ecrire l’´equation aux classes pour l’action de A^∗ sur lui-mˆeme par conjugaison. En d´eduire que qⁿ−1 = q−1 +Pqⁿ−1

q^d−1, la somme portant sur un certain nombre de diviseurs stricts de n.

c) En d´eduire que φn(q) divise q−1, o`u φn est len-i`eme polynˆome cyclotomique.

d) En d´eduire une contradiction.

e) Conclure.

Exercice 15 : L’objectif de cet exercice est de montrer une partie du r´esultat suivant.

Soit (Pi)i∈Iune famille de polynˆome deZ[X1, . . . , Xn]. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes : – les polynˆomes (P_i)i∈I ont un z´ero commun dansCⁿ.

– il existe un ensemble infini de nombres premiers p tels que les (Pi)i∈I aient un z´ero commun dans Fⁿp.

– pour tout nombre premier p assez grand, il existe un corps de caract´eristiquep o`u les (P_i)i∈I ont un z´ero commun.

On va montrer que la deuxi`eme assertion implique la premi`ere, et que la troisi`eme implique ´egalement la premi`ere.

Pour ce faire, on r´epondra aux questions suivantes :

a) (Nullstellensatz faible) : soient (Q_j)j∈J des polynˆomes dans C[X₁, . . . , X_n], sans z´ero commun dans Cⁿ.

i) Montrer que, pour tout (a1, . . . , an)∈Cⁿ, l’id´eal (X1−a1, . . . , Xn−an)⊂C[X1, . . . , Xn] est maximal.

[Indication : on pourra comparer cet id´eal avec le noyau du morphismeC[X₁, . . . , X_n]→C d´efini parP 7→P(a1, . . . , an)]

ii) Soit m ⊂ C[X1, . . . , Xn] un id´eal maximal. D´efinissons pour 1 ≤ i ≤ n, φi : C[Xi] → C[X1, . . . , Xn]/m=:K. Montrer queK =C, puis que Ker(φi) est un id´eal premier non nul, donc maximal. En d´eduire qu’il existe (a₁, . . . , a_n)∈Cⁿtels quem= (X₁−a₁, . . . , X_n−a_n).

iii) En d´eduire que l’id´eal engendr´e par les (Q_j)j∈J estC[X₁, . . . , X_n] tout entier.

b) Soit K/k une extension de corps. Soient (a_i,j)0≤i≤n,1≤j≤n des ´el´ements de k. Supposons qu’il existe (x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ tels quePn

i=1a_i,jx_i =a_0,j pour tout 1≤j≤n.

Montrer qu’il existe (y1, . . . , yn)∈kⁿ tels quePn

i=1ai,jyi=a0,j pour tout 1≤j≤n.

c) Soient (Pi)i∈Iune famille de polynˆome deZ[X1, . . . , Xn] sans z´ero commun dansCⁿ. En utilisant le Nullstellensatz, montrer qu’il existe un ensemble finiE de nombres premiers tel que pour tout p /∈E, pour tout corpsF de caract´eristique p, les (P_i)i∈I n’aient pas de z´ero commun dansF. d) En d´eduire la r´eponse `a la question initiale.

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