Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2011-2012 Module MM020
Th´ eorie des Nombres - TD9 Unit´ es d’un corps de nombres
Exercice 1 :
a) Soit d ∈ N sans facteur carr´e. On pose K := Q(√
−d). Montrer (sans utiliser le th´eor`eme des unit´es) queZ∗K est ´egal `a
– Z/4Zsi d= 1.
– Z/6Zsi d= 3.
– Z/2Zsinon.
b) Soit K un corps de nombres. Montrer que Z∗K est fini si et seulement si K = Q ou K est un corps quadratique imaginaire.
Exercice 2 : Soitp un nombre premier impair. On noteK :=Q(ζp) et L:=Q(ζp+ζp−1).
a) Montrer que K est une extension quadratique de L, et que K est totalement imaginaire (i.e.
r1= 0).
b) Montrer que Lest totalement r´eel (i.e. r2 = 0).
c) Calculer les rangs deZ∗L etZ∗K.
d) On d´efinit φ:Z∗K →K∗ parφ(a) :=a/a, o`u (.) d´esigne la conjugaison complexe.
i) Montrer queφest `a valeurs dans le groupe des racines de l’unit´e de K, not´eµ(K), et que c’est un morphisme de groupes.
ii) On noteϕ:Z∗K →µ(K)/µ(K)2le morphisme induit parφ. Montrer que Ker(ϕ) =µ(K).Z∗L. iii) En d´eduire que l’indice de µ(K).Z∗L dansZ∗K vaut 1 ou 2.
e) On veut montrer queZ∗K = (ζp).Z∗L. On raisonne par l’absurde et on suppose (ζp).Z∗L( Z∗K. i) Montrer queϕest surjective.
ii) Montrer qu’il existe u∈Z∗K etm∈Ztels queu=−ζpmu.
iii) En d´ecomposantudans la base (1, ζp, . . . , ζpp−2), montrer que 2u∈p, o`upest l’id´eal premier (1−ζp) de ZK.
iv) Conclure.
f) En d´eduire que pour p= 5, Z∗K = n
±ζ5k
1+√ 5 2
n
; 0≤k≤4, n∈Z o
.
Exercice 3 : SoitK/Qun corps cubique (de degr´e 3) de discriminant n´egatif.
a) Montrer que r1 =r2 = 1. Dans toute la suite, on consid`ere K comme un sous-corps de R via son unique plongement r´eel.
b) Soit >1 une unit´e fondamentale de ZK. Montrer queest de norme 1.
c) On pose u:=√
. Montrer que les conjugu´es de sont de la forme,u−1eiθ,u−1e−iθ.
d) Montrer que le discriminantd de la base (1, , 2) vaut d =−4 sin2(θ)(u3+u−3−2 cos(θ))2. e) On pose y:= cos(θ) et a:=u3+u−3.
i) Montrer quea >2.
ii) On notey0la racine n´egative du polynˆome 4y2−ay−2. Montrer que|d| ≤4(1−y02)(a−2y0)2. iii) Montrer quey0<−2u13. En d´eduire queu−6−4y20−4y40 <0.
1
iv) Montrer que |d|<43+ 24.
[Indication : on pourra utiliser successivement les deux ´egalit´es ay0 = 4y20 −2 et a2y20 = 16y40−16y02+ 4, puis appliquer la question e) iii).]
f) En d´eduire que |DK|<43+ 24.
g) Montrer que pour toute unit´e η > 1 dans Z∗K, si 4η32 + 24 < |DK|, alors η est une unit´e fondamentale.
h) Applications : i) Si K=Q(√3
2), calculer DK et montrer que √3
2−1 est une unit´e fondamentale (on admet que ZK =Z[√3
2] : cf feuille de TD8, exercice 11).
ii) SiK =Q(α), o`u α est la racine r´eelle deX3+ 2X+ 1, calculerDK et montrer que −1α est une unit´e fondamentale.
iii) SiK =Q(α), o`uαest la racine r´eelle deX3+ 10X+ 1, calculerDK et montrer que −1α est une unit´e fondamentale.
Exercice 4 : On pourra utiliser les r´esultats de l’exercice 3.
a) Soit α un entier alg´ebrique, de polynˆome minimal P ∈ Z[X]. Soit r ∈ Z tel que P(r) = ±1.
Montrer que α−r est une unit´e de ZQ(α). b) Montrer que 2−1√3
7 est une unit´e fondamentale dans K =Q(√3 7).
c) On noteβ la racine r´eelle deX3+X−3. Montrer que β−11 est une unit´e fondamentale deQ(β).
2