Th´ eorie des Nombres - TD7 Unit´ es d’un corps de nombres

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Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2010-2011 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - TD7 Unit´ es d’un corps de nombres

Exercice 1 :

a) Soit d ∈ N sans facteur carr´e. On pose K := Q(√

−d). Montrer (sans utiliser le théorème des unités) queZ^∗_K est égal à

– Z/4Zsi d= 1.

– Z/6Zsi d= 3.

– Z/2Zsinon.

b) Soit K un corps de nombres. Montrer que Z^∗_K est fini si et seulement si K = Q ou K est un corps quadratique imaginaire.

Exercice 2 : Soitp un nombre premier impair. On noteK :=Q(ζp) et L:=Q(ζp+ζ_p⁻¹).

a) Montrer que K est une extension quadratique de L, et que K est totalement imaginaire (i.e.

r₁= 0).

b) Montrer que Lest totalement r´eel (i.e. r2 = 0).

c) Calculer les rangs deZ^∗_L etZ^∗_K.

d) On définit φ:Z^∗_K →K^∗ parφ(a) :=a/a, où (.) désigne la conjugaison complexe.

i) Montrer queφest à valeurs dans le groupe des racines de l’unité de K, notéµ(K), et que c’est un morphisme de groupes.

ii) On noteϕ:Z^∗_K →µ(K)/µ(K)²le morphisme induit parφ. Montrer que Ker(ϕ) =µ(K).Z^∗_L. iii) En d´eduire que l’indice de µ(K).Z^∗_L dansZ^∗_K vaut 1 ou 2.

e) On veut montrer queZ^∗_K = (ζp).Z^∗_L. On raisonne par l’absurde et on suppose (ζp).Z^∗_L( Z^∗_K. i) Montrer queϕest surjective.

ii) Montrer qu’il existe u∈Z^∗_K etm∈Ztels queu=−ζ_p^mu.

iii) En décomposantudans la base (1, ζ_p, . . . , ζ_p^p−2), montrer que 2u∈p, oùpest l’idéal premier (1−ζp) de ZK.

iv) Conclure.

f) En d´eduire que pour p= 5, Z^∗_K =n

±ζ₅^k

1+√ 5 2

n

; 0≤k≤4, n∈Z o

. Exercice 3 : SoitK/Qun corps cubique (de degr´e 3) de discriminant n´egatif.

a) Montrer que r₁ =r₂ = 1.

b) Soit >1 une unit´e fondamentale de ZK. Montrer queest de norme 1.

c) On pose u:=√

. Montrer que les conjugu´es de sont de la forme,u⁻¹e^iθ,u⁻¹e^−iθ.

d) Montrer que le discriminantd de la base (1, , ²) vaut d =−4 sin²(θ)(u³+u⁻³−2 cos(θ))². e) On pose y:= cos(θ) et a:=u³+u⁻³.

i) Montrer quea >2.

ii) On notey0la racine négative du polynôme 4y²−ay−2. Montrer que|d| ≤4(1−y₀²)(a−2y₀)². iii) Montrer quey₀<−_2u¹₃. En déduire queu⁻⁶−4y²₀−4y⁴₀ <0.

iv) Montrer que |d|<4³+ 24.

[Indication : on pourra utiliser successivement les deux ´egalit´es ay₀ = 4y²₀ −2 et a²y²₀ = 16y⁴₀−16y₀²+ 4, puis appliquer la question e) iii).]

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f) En d´eduire que |D_K|<4³+ 24.

g) Montrer que pour toute unit´e η > 1 dans Z^∗_K, si 4η³² + 24 < |D_K|, alors η est une unit´e fondamentale.

h) Applications : i) Si K=Q(√³

2), calculer D_K et montrer que √³

2−1 est une unit´e fondamentale.

ii) SiK =Q(α), où α est la racine réelle deX³+ 2X+ 1, calculerD_K et montrer que ⁻¹_α est une unité fondamentale.

iii) SiK =Q(α), oùαest la racine réelle deX³+ 10X+ 1, calculerDK et montrer que ⁻¹_α est une unité fondamentale.

Exercice 4 : On pourra utiliser les r´esultats de l’exercice 3.

a) Soit α un entier alg´ebrique, de polynˆome minimal P ∈ Z[X]. Soit r ∈ Z tel que P(r) = ±1.

Montrer que α−r est une unit´e de ZQ(α). b) Montrer que ¹

2−√³

7 est une unit´e fondamentale dans K =Q(√³ 7).

c) On noteβ la racine r´eelle deX³+X−3. Montrer que _β−1¹ est une unit´e fondamentale deQ(β).

Exercice 5 : Soient d₁, . . . , d_k des entiers positifs non carr´es, multiplicativement ind´ependants dans Q^∗/(Q^∗)². On note K:=Q(√

d1, . . . ,√ d_k).

a) Montrer que dans un corps quadratique réel, le conjugué d’une unité u est égal à ±u⁻¹. b) Identifier le groupe de Galois de K/Q.

c) Calculer le rang deZ^∗_K.

d) Pour toute partie non vide I ⊂ {1, . . . , k}, on pose dI := Q

i∈Idi et on note uI une unit´e fondamentale deQ(√

d_I). Montrer que le sous-groupe deZ^∗_K engendr´e par lesu_I est d’indice fini dans Z^∗_K.

[Indication : on pourra montrer par r´ecurrence surkque lesu_Isont multiplicativement ind´ependants.]

e) On consid`ereK =Q(√ 2,√

3). Calculer les unit´es fondamentales des sous-corps quadratiques de K/Qet montrer que le sous-groupe engendr´e par celles-ci dans Z^∗_K n’est pas Z^∗_K tout entier.

[Indication : on pourra par exemple montrer que deux de ces unit´es quadratiques sont des carr´es dans ZK.]

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