Th´ eorie des Nombres - DM1 Extensions alg´ ebriques de corps

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2010-2011 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - DM1 Extensions alg´ ebriques de corps

Exercice 1 :

a) SoitK un corps, p un nombre premier, eta∈K^∗\(K^∗)^p. Montrer que le polynˆomeX^p−aest irr´eductible surK.

[Indication : on pourra montrer que si X^r+· · ·+bdiviseX^p−a, alorsb^p =a^r]

b) Soient l, p deux nombres premiers tels que l divisep−1, a∈Z tel que la classe de amodulo p engendre (Z/pZ)^∗ et 1≤k < l. Montrer que le polynˆome X^l+pX^k−a est irr´eductible sur Z, donc sur Q.

Solution de l’exercice 1.

a) On raisonne par l’absurde : supposons que le polynˆome X^p−a soit r´eductible. Alors il existe des polynˆomesQ, R∈K[X] unitaires non constants tels queX^p−a=Q(X)R(X) dans K[X].

On ´ecritQ(X) =X^r+· · ·+b, o`u b∈K.

Notonsαune racine deX^p−adans un corps de rupture de ce polynˆome surK. Alors les racines de X^p−a sont exactement lesζα, o`uζ d´ecrit les racines p-i`emes de l’unit´e (noter que sip est la caract´eristique de K, alors X^p−a admet α pour seule racine). Par cons´equent, les racines de Q sont aussi de cette forme, donc en utilisant les relations coefficients-racines, on en d´eduit que b = (−1)^rζα^r o`u ζ est une racine p-i`eme de l’unit´e (au signe pr`es, le coefficient constant d’un polynˆome est le produit de ses racines). Donc en ´elevant `a la puissance p, on obtient b^p = (−1)^rpζ^pα^rp = (−1)^rpa^r. Or 1 ≤r < p et p est premier, donc r et p sont premiers entre eux, donc par Bezout, il existeu, v∈Ztels queru+pv= 1. Alorsa=a^ru+pv = (−1)^rpub^pua^pv = ((−1)^rub^ua^v)^p. Donc en particulier a∈(K^∗)^p, ce qui contredit l’hypoth`ese.

Par cons´equent, on conclut que X^p−aest irr´eductible surK.

b) On sait qu’il suffit de montrer que la r´eduction deX^l+pX^k−amodulo pest irr´eductible dans Fp[X] (puisque le polynˆome en question est unitaire). Or sa r´eduction modulop est le polynˆome X^l−a∈Fp[X] (o`ua∈Fp d´esigne la classe de amodulo p). Donc par la question pr´ec´edente, il suffit de montrer que a /∈(F<sup>∗</sup><sub>p</sub>)<sup>l</sup>. Supposons quea∈(F<sup>∗</sup><sub>p</sub>)<sup>l</sup> : il existe b∈F<sup>∗</sup><sub>p</sub> tel quea=b<sup>l</sup>. On sait que l divisep−1, donc il existem∈Ntel que p−1 =lm. Donc a<sup>m</sup> =b<sup>lm</sup> =b<sup>p−1</sup> = 1 puisque F<sup>∗</sup>p est d’ordrep−1. Donc l’´el´ementa∈F<sup>∗</sup>p est d’ordre divisant m. Or par hypoth`ese, l’ordre de a est ´egal `ap−1, doncp−1 divise m, doncl= 1, ce qui est impossible.

Par cons´equent,a /∈(F^∗p)^l, d’o`u la conclusion par la question pr´ec´edente.

Exercice 2 :

a) Soientd₁, . . . , d_r∈N. Montrer qued₁!. . . d_r! divise (d₁+· · ·+d_r)!.

b) SiK est un corps etf ∈K[X] de degr´ed, montrer que le degr´e d’une extension de d´ecomposition de f divised!.

Solution de l’exercice 2.

a) On peut montrer ce r´esultat de diverses mani`eres. Voici une fa¸con de le d´emontrer : on montre par r´ecurrence sur r que le quotient ^(d1_d^+···+dr)!

1!...dr! est ´egal au nombre C(d1, . . . , dr) de fa¸cons de partitionner un ensemble de d₁+· · ·+d_r´el´ements enr sous-ensembles (disjoints) de cardinaux respectifs d1, . . . , dr. Pour r = 1, c’est ´evident. Pour r = 2, c’est l’interpr´etation combinatoire du coefficient binomial. Supposons le r´esultat connu pour r et montrons le pour r + 1. On a

1

clairement C(d1, . . . , dr+1) = ^d1+···+d_d ^r+1

r+1

C(d1, . . . , dr) (se donner une partition en r+ 1 sous- ensembles de cardinauxd₁, . . . , d_r+1 revient `a choisird<sub>r+1</sub>´el´ement parmid<sub>1</sub>+· · ·+d<sub>r+1</sub>puis une partition en r sous-ensembles de cardinauxd<sub>1</sub>, . . . , d<sub>r</sub> desd<sub>1</sub>+· · ·+d<sub>r</sub>´el´ements restants). Alors l’hypoth`ese de r´eccurrence assure que C(d₁, . . . , d_r+1) = ^d1+···+d_d ^r+1

r+1

(d1+···+d_r)!

d1!...dr! = ^(d1_d^{+···+dr+1)!}

1!...dr+1! . Cela conclut la preuve.

b) On montre ce r´esultat par r´ecurrence surd. L’hypoth`ese de r´ecurrence en degr´edest la suivante : pour tout corps K, pour tout polynˆome f ∈ K[X] de degr´e d, le degr´e d’une extension de d´ecomposition def sur K divised!.

Pour d= 1, l’assertion est clairement v´erifi´ee : 1|1!.

Supposons l’hypoth`ese de r´ecurrence connue pour tout 1≤k≤d. Montrons qu’elle est valable en degr´ed+1. SoitK un corps etf ∈K[X] de degr´ed+1. Il existe un facteur irr´eductibleP ∈K[X]

de f :f =P Q, avec P irr´eductible surK de degr´e n≥1 et deg(Q) =d+ 1−n≤d. Soit Lun corps de d´ecomposition def surK etα∈Lune racine deP. AlorsK(α) est un corps de rupture de P sur K, donc [K(α) : K] = n. Consid´erons alors le polynˆome g(X) := ^P_X−α^(X) ∈ K(α)(X), de degr´e n−1 ≤ d. Notons alors L_P le corps de d´ecomposition de P contenu dans L. Par hypoth`ese de r´ecurrence, puisque LP est un corps de d´ecomposition de g(X) sur K(α), on a [LP : K(α)]|(n−1)!. Donc [LP : K]|n(n−1)! =n!. On remarque alors que L est un corps de d´ecomposition de Q sur L<sub>P</sub>, et deg(Q) = d+ 1−n ≤ d, donc par hypoth`ese de r´ecurrence, [L:L_P]|(d+ 1−n)!.

Finalement, on a [L:K] = [L:LP][LP :K]|n!(d+ 1−n)!, et on en d´eduit grˆace `a la question pr´ec´edente que [L:K]|(d+ 1)! (remarquer que cette preuve n’utilise finalement que le casr= 2 de la question pr´ec´edente).

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