Th´ eorie des Nombres - TD8 Entiers alg´ ebriques, anneaux d’entiers

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2011-2012 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - TD8 Entiers alg´ ebriques, anneaux d’entiers

Exercice 1 :

a) Parmi ces nombres alg´ebriques, lesquels sont des entiers alg´ebriques ? 3 + 2√

6 1−√

6 ,

√3 +√ 5

2 ,

√3 +√ 7

2 , 1 +√³

10 +√³ 100

3 , 1 +√

19

2 , 1 +i

√ 2 .

b) Sia, b∈Z\ {0; 1}sont des entiers distincts sans facteur carr´e, et sin∈N^∗, trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que

√a+√ b

n soit un entier alg´ebrique.

Exercice 2 : Soit une unit´e d’un corps quadratique. Montrer que est de norme 1 si et seulement si il existe un entierγ de ce corps quadratique tel que = _γ^γ0, o`u γ⁰ est le conjugu´e deγ.

Exercice 3 : Soitz∈C^∗ un entier alg´ebrique. On note f ∈Q[X] son polynˆome minimal.

Montrer que ¹_z est un entier alg´ebrique si et seulement si f(0) = ±1. Montrer ´egalement que cela

´equivaut `a ¹_z ∈Z[z].

Exercice 4 : Soitα un entier alg´ebrique.

a) On suppose que tous les conjugu´es de α sont de module strictement inf´erieur `a 1. Montrer que α = 0.

b) On suppose maintenant que les conjugu´es de α sont de module inf´erieur ou ´egal `a 1. Montrer que α est une racine de l’unit´e.

[Indication : on pourra majorer la valeur absolue des coefficients du polynˆome minimal de α^r, pour tout r≥1.]

Exercice 5 : Soit P ∈Z[X] un polynˆome irr´eductible unitaire de degr´e n. Soit θ une racine de P, K:=Q(θ) et D_K le discriminant de K.

a) Montrer que le discriminant de (1, θ, . . . , θⁿ⁻¹) est ´egal au discriminant D(P) de P. Exprimer ce nombre en fonction de la norme N_K/Q(P⁰(θ)).

b) Si f d´esigne l’indice deZ[θ] dansZK, montrer que D(P) =f²DK.

Exercice 6 : Montrer que le discriminant du polynˆome P(X) =Xⁿ+aX+b, avec a, b∈ Q, vaut D(P) = (−1)^n(n−1)2 (nⁿbⁿ⁻¹+ (1−n)ⁿ⁻¹aⁿ). V´erifier que l’on retrouve les formules usuelles pourn= 2 etn= 3.

[Indication : on pourra ´ecrire que D(P) = (−1)^n(n−1)2 Q

iP⁰(xi), o`u les xi sont les racines de P, puis utiliser les fonctions sym´etriques ´el´ementaires en lesx⁻¹_i ].

Exercice 7 : Calculer l’anneau des entiers et le discriminant des corps de nombres suivants : a) Q(√³

5).

b) Q(√³ 175).

c) Q(i,√ 2).

Exercice 8 : Soient m, n ∈ Z\ {0; 1} distincts sans facteur carr´e. On note K := Q(√ m,√

n) et k:= _pgcd(m,n)^mn 2. L’objectif de cet exercice est de calculer ZK.

1

a) Montrer que (1,√ m,√

n,√

k) est uneQ-base de K.

b) Soit α ∈ K. Montrer que α ∈ ZK si et seulement si Tr_K/Q(^√_m)(α) et N_K/Q(^√_m)(α) sont des entiers alg´ebriques dansQ(√

m).

c) On suppose que m ≡ 3 [4] et n ≡ 2 [4]. Montrer que tout ´el´ement α ∈ ZK s’´ecrit α =

a+b√ m+c√

n+d√ k

2 avec a, b, c, d ∈ Z. Puis montrer que a et b sont pairs, et que c ≡ d[2]. En d´eduire qu’uneZ-base de ZK est donn´ee par

1,√ m,√

n,

√n+√ k 2

! .

d) On suppose que m ≡ 1 [4] et n ≡ 2 ou 3 [4]. Montrer que tout ´el´ement α ∈ ZK s’´ecrit α =

a+b√ m+c√

n+d√ k

2 avec a, b, c, d ∈ Z. Puis montrer que a ≡b [2] et c ≡d[2]. En d´eduire qu’une Z-base de ZK est donn´ee par

1,1 +√ m 2 ,√

n,

√n+√ k 2

! .

e) On suppose que m≡n≡1 [4]. Montrer que tout ´el´ement α ∈ZK s’´ecrit α= ^a+b

√m+c√ n+d√

k 4

avec a, b, c, d∈Z de mˆeme parit´e. En d´eduire qu’uneZ-base de ZK est donn´ee par 1,1 +√

m

2 ,1 +√ n

2 ,(1 +√

n)(1 +√ k) 4

! .

f) Conclure en r´ecapitulant dans tous les cas possibles quel est l’anneau ZK.

Exercice 9 : Soient m, n ∈Z\ {0; 1} distincts sans facteur carr´e, tels que m ≡n≡1 [8]. On note K:=Q(√

m,√

n),α:= ¹⁺

√n

2 etβ:= ¹⁺

√m 2 . a) Montrer que ZK=Z[α, β].

b) Montrer que l’anneauZK/2ZK est isomorphe `a l’anneauA:=F2[X, Y]/(X²−X, Y²−Y).

c) Montrer qu’il existe au moins quatre morphismes d’anneaux distinctsA→Z/2.

d) Montrer que pour tout polynˆomeP ∈F2[X],A n’est pas isomorphe `aF2[X]/(P).

e) Montrer qu’il n’existe pas d’entierx∈ZK tel que ZK =Z[x].

Exercice 10 : Soit K/Qune extension finie de degr´e n, soit u ∈ZK tel que K =Q(u). Soit p un nombre premier tel que le polynˆome minimal deusurQsoit d’Eisenstein enp. L’objectif de l’exercice est de montrer quepne divise pas l’indice de Z[u] dans ZK.

a) Montrer que ^u_pⁿ ∈ZK et quep² ne divise pasN(u).

b) Supposons que p|[Z_K :Z[u]].

i) Montrer qu’il existex∈ZK\Z[u] tel quepx∈Z[u]. En d´eduire qu’il existeb₀, . . . , bn−1 ∈Z non tous divisibles par ptels que x= ^b0+···+b_p^n−1un−1.

ii) Notonsrle plus petit entier tel queb_rn’est pas divisible parp. Montrer quey:= ^{brur+···+b}_p^n−1un−1 est dans ZK.

iii) Montrer quez:= ^bru_pⁿ⁻¹ ∈ZK.

iv) Obtenir une contradiction en calculant la norme dez c) Si q est une puissance dep etK:=Q(√^q

p), montrer queZK =Z[√^q p].

Exercice 11 : Soit d∈Z,d >1 sans facteur cubique. Notonsθ:= √³

detK := Q(θ). On cherche `a d´eterminer l’anneau des entiers et le discriminant deK sur Q.

2

a) Montrer que Z[θ] est de discriminant −27d².

b) On ´ecritd=ab², aveca, b∈N sans facteur carr´e. On poseθ⁰ :=√³

a²b. Montrer queK =Q(θ⁰) et calculer disc_Z(1, θ⁰, θ⁰²).

c) Montrer que (1, θ, θ⁰) est uneQ-base de K et calculer son discriminant.

d) On notef,f⁰ etf⁰⁰ les indices respectifs de Z[θ], Z[θ⁰] et Z[θ, θ⁰] dansZK. i) Montrer que (a, f) = 1.

[Indication : on pourra utiliser l’exercice 10.]

ii) En d´eduire que si 3|a, alors DK est divisible par 27a², et que sinon, DK est divisible par a².

iii) Montrer que (b, f⁰) = 1.

iv) En d´eduire que si 3|b, alorsDK est divisible par 27b², et que sinon,DK est divisible parb². v) Montrer quea²b²|D_K|27a²b² et que DK <0.

e) Montrer que si 3|d, alors DK =−27a²b² et (1, θ, θ⁰) est une base de ZK. f) Montrer le mˆeme r´esultat sid6≡ ±1 [9].

[Indication : on pourra montrer que le polynˆome minimal deθ−dest d’Eisenstein en 3.]

g) On supposed≡1 [9]. On poseα:= ^1+θ+θ₃ ².

i) Montrer queα∈ZK et calculer son polynˆome minimal.

ii) En d´eduire que 3|f⁰⁰, puis queD_K=−3a²b². iii) Montrer que (α, θ, θ⁰) est uneZ-base deZK.

h) Si d≡ −1 [9]. On poseα⁰ := ^1−θ+θ₃ ². Montrer que (α⁰, θ, θ⁰) est uneZ-base deZK. i) Conclure en d´ecrivant tous les cas possibles.

Exercice 12 :

a) Montrer qu’un anneau factoriel est int´egralement clos.

b) Soit A un anneau int´egralement clos et K son corps des fractions. Soit P ∈ A[X] unitaire.

Supposons que P =QR dansK[X], avecQ, Runitaires. Montrer que Q, R∈A[X].

[Indication : on pourra consid´erer les racines deQ etR dans une clˆoture alg´ebrique deK.]

c) SoitAun anneau int´egralement clos de corps des fractionsK. On souhaite montrer queA[X₁, . . . , X_n] est int´egralement clos.

i) V´erifier que K(X) est le corps des fractions deA[X].

Pour la suite, on fixe f ∈K(X) entier sur A[X].

ii) Montrer que f ∈K[X].

iii) SoitP(Y) =Yⁿ+pn−1(X)Yⁿ⁻¹+· · ·+p0(X) ∈A[X][Y] un polynˆome unitaire annulant f. Montrer que pour r ∈N, le polynˆome P1(Y) :=P(Y +X^r) est dans A[X][Y], unitaire en Y, et annule f₁:=f −X^r.

iv) Montrer que pourrsuffisamment grand, le coefficient constant (enY) deP₁(Y) est unitaire en X et qu’il est ´egal au produit de −f₁ par un polynˆome deK[X].

v) En d´eduire que −f₁ ∈ A[X], puis que f ∈ A[X]. En d´eduire que A[X] est int´egralement clos.

vi) Montrer que A[X1, . . . , Xn] est int´egralement clos.

Exercice 13 : Soit p un nombre premier impair etK :=Q(ζp), o`u ζp d´esigne une racine primitive p-i`eme de l’unit´e.

a) Calculer la trace d’un ´el´ement de K.

3

b) Montrer que la norme de 1−ζ_p est ´egale `a p.

c) Soitα=a0+a1ζp+· · ·+ap−2ζp^p−2 ∈ZK (ai∈Q).

i) En ´etudiantαζ_p⁻ⁱ−αζp, montrer que pour touti,bi :=pai est un entier relatif.

ii) Posons λ:= 1−ζp. Montrer que pα s’´ecrit pα = c0+c1λ+· · ·+cp−2λ^p−2 avec ci ∈ pZ. [Indication : on pourra montrer le r´esultat par r´ecurrence sur i, en montrant d’abord que p∈λ^p−1ZK.]

iii) Montrer que pour touti,a_i ∈Z. En d´eduire queZK =Z[ζ_p].

iv) Montrer que disc(K) = (−1)^p−12 p^p−2.

4