Th´ eorie des Nombres - TD8 Th´ eorie analytique des nombres

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2013-2014 Module 4M020

Th´ eorie des Nombres - TD8 Th´ eorie analytique des nombres

Sauf mention explicite du contraire, les ´equivalents et les limites sont pris en +∞.

Exercice 1 :

a) On d´efinit Γ(s) :=R+∞

0 e^−tt^{s dt}_t.

i) Montrer que Γ est holomorphe sur Re (s)>0.

ii) Montrer que pour tout s∈Ctel que Re (s)>0, on a Γ(s+ 1) =sΓ(s).

iii) Montrer que Γ se prolonge en une fonction m´eromorphe sur C. On admet que celle-ci ne s’annule pas.

iv) Calculer Γ(n), pourn≥1 entier.

v) Montrer que si Re (s)>1, alorsζ(s) = _Γ(s)¹ R+∞

0 t^s e^t−1

dt t.

b) Soitfune fonctionC^∞surR⁺`a d´ecroissance rapide `a l’infini. On d´efinitL(f, s) := _Γ(s)¹ R+∞

0 f(t)t^{s dt}_t pour Re (s)>0.

i) Montrer queL(f, .) admet un prolongement holomorphe `a Ctout entier.

ii) Montrer que pour tout n∈N, on aL(f,−n) = (−1)ⁿf⁽ⁿ⁾(0).

c) On d´efinit les nombres de Bernoulli (B_n)n∈N par le d´eveloppement de Taylor de la fonction f₀:t7→ _et^t−1 en 0 : on ´ecrit ce d´eveloppementP

n≥0B_n^t_n!ⁿ.

i) Montrer queζ(s) = _s−1¹ L(f0, s−1) pour touts∈Ctel que Re (s)>1.

ii) Montrer queζ a un prolongement m´eromorphe `aC, avec un unique pˆole, qui est simple de r´esidu 1, en s= 1.

iii) Montrer que pour toutn∈N,ζ(−n) = (−1)^{n B}_n+1ⁿ⁺¹ (en particulier, ζ(−n)∈Q).

d) On d´efinit la fonctionF(z) := ¹_z +P+∞

n=1

1

z+n+_z−n¹ .

i) Montrer que F est une fonction m´eromorphe sur C, avec des pˆoles simples de r´esidu 1 en les entiers. Montrer ´egalement queF est impaire et 1-p´eriodique.

ii) On note G(z) :=F(z)−πcotan(πz). Montrer que la fonction Gest born´ee sur l’ensemble desz∈C tels que|Re (z)| ≤ ¹₂ et Im (z)≥1.

iii) En d´eduire queGest la fonction nulle sur C.

iv) En d´eduire que pour tout k≥ 1, on a ζ(2k) = −¹₂B_2k^(2iπ)_(2k)!^2k (en particulier, ζ(2k) est un multiple rationnel deπ^2k).

Exercice 2 : Soit Aun groupe ab´elien fini.

a) Montrer que pour tout caract`ereχ de A, on a : 1

#A X

a∈A

χ(a) =

1 siχ= 1 0 sinon . b) Montrer que pour tout ´el´ement a∈A, on a :

1

#A X

χ∈Ab

χ(a) =

1 sia= 1 0 sinon .

c) En d´eduire les relations d’orthogonalit´e suivantes : pour tousχ₁, χ₂∈A,b

1

#A X

a∈A

χ₁(a)χ₂(a) =

1 siχ1 =χ2

0 sinon ;

pour tousa₁, a₂∈A,

1

#A X

χ∈Ab

χ(a₁)χ(a₂) =

1 sia₁ =a₂

0 sinon .

Exercice 3 : SoitAun groupe ab´elien fini. On cherche `a montrer qu’il existe une extension galoisienne de corps K/Qtelle que Gal(K/Q)∼=A.

a) Montrer qu’il existe un entier n≥1 tel queA soit un quotient de (Z/nZ)^∗. b) Construire une extension galoisienne de Qde groupe (Z/nZ)^∗.

c) Conclure.

Exercice 4 : Soitn∈Z. On suppose que pour tout nombre premierpsauf ´eventuellement un nombre fini d’entre eux,nest un carr´e modulop. Montrer que nest un carr´e dansZ.

Exercice 5 : Soitlun nombre premier. On noteK:=Q(ζ_l) l’extension cyclotomique correspondante.

a) Donner la d´ecomposition en id´eaux premiers de l’id´eallZK.

b) Soit p 6=l un nombre premier. Montrer que l’id´eal pZK se d´ecompose en id´eaux premiers sous la forme

pZK =p₁. . .p_r

o`u les p<sub>i</sub> sont des id´eaux premiers deux-`a-deux distincts et r = ^l−1_f , f ´etant ´egal `a l’ordre multiplicatif dep modulo l.

c) Montrer que pour tout diviseur d de l−1, il existe une infinit´e de nombres premiers p6=l tels que l’id´eal pZK se d´ecompose en produit de d id´eaux premiers distincts. Que peut-on dire sur la densit´e de ces nombres premiersp?

Exercice 6 : L’objectif de cet exercice est de montrer la forme faible du th´eor`eme des nombres premiers qui affirme qu’il existe deux constantes A, B >0 telles que pour tout x > 0 suffisamment grand,

A x

logx ≤π(x)≤B x logx,

et d’expliciter les constantes A et B. On rappelle que la fonction Λ :N^∗ →R est d´efinie par Λ(n) = log(p) sin=p^k,p premier, et Λ(n) = 0 sinon.

a) On pose T(x) :=P

n≥1Λ(n)E(^x_n). Montrer que T(x) =P

n≤xlog(n).

b) En d´eduire queT(x) =xlog(x)−x+O(logx).

c) Montrer que T(x)−2T(^x₂)≤π(x) log(x).

d) Montrer que l’on peut prendre pour A tout r´eel<log 2.

e) Montrer que T(x)−2T(^x₂)≥log(^x₂) π(x)−π(^x₂) . f) En d´eduire queπ(x)≤2 log(2)Plog₂(x)

k=1

x/2^k

log(x/2^k)+O(logx).

g) En d´ecomposant la somme pr´ec´edente enk≤ ₁₀¹ log₂(x) etk > ₁₀¹ log₂(x), montrer que l’on peut prendre pour B tout r´eel > ²⁰₉ log(2).

h) En raffinant ces methodes, on peut pr´eciser ce r´esultat avecA∼0,921 etB ∼1,105. Utiliser ce r´esultat pour en d´eduire le postulat de Bertrand (asymptotique) : pour toutn≥1 suffisamment grand, il existe un nombre premier ptel quen < p≤2n.

Exercice 7 : On souhaite d´emontrer directement le postulat de Bertrand, `a savoir : pour toutn≥1, il existe un nombre premierptel que n < p≤2n.

a) Montrer que ²ⁿ_n

≥ ⁴_2nⁿ.

b) On veut montrer que pour tout r´eelx≥2, on a Q

p≤xp≤4^x−1.

i) Montrer qu’il suffit de le montrer pourx=q premier. On va alors le montrer par r´ecurrence surq.

ii) Montrer que siq = 2m+ 1, on a Q

p≤m+1p≤4^m etQ

m+1<p≤2m+1p≤ ^2m+1_m . iii) Montrer que ^2m+1_m

≤4^m. iv) Conclure.

c) Montrer que la valuationp-adique de ²ⁿ_n

vaut P

k≥1

E(²ⁿ_pk)−2E(_pⁿk)

. d) Montrer que pour tout n,p,k,E(²ⁿ_pk)−2E(_pⁿk) = 0 ou 1.

e) Montrer que la valuationp-adique de ²ⁿ_n

est inf´erieure ou ´egale `a max{r:p^r ≤2n}.

f) Montrer que sin≥3, ²ⁿ_n

n’est divisible par aucun nombre premierp tel que ²₃n < p≤n.

g) Montrer que ²ⁿ_n

≤(2n)

√2n−1Q_√

2n<p≤²₃npQ

n<p≤2np.

h) On suppose que pour un entier n≥2, il n’existe pas de nombre premierp tel que n < p≤2n.

Montrer que ²ⁿ_n

≤(2n)

√2n−14²ⁿ³ .

i) En d´eduire qu’un telnest major´e par une constante explicite.

j) Conclure.

Exercice 8 : (Hors programme)

L’objectif de cet exercice est de d´emontrer le th´eor`eme des nombres premiers, dˆu `a Hadamard et de la Vall´ee-Poussin :

π(x)∼ x logx. a) Montrer que ζ(s) ne s’annule pas pour Re (s)>1.

b) Soitt∈R^∗. On veut montrer queζ(1 +it)6= 0. On consid`ere la fonction d’une variable complexe f(s) :=ζ(s)³.ζ(s+it)⁴.ζ(s+ 2it).

i) Montrer que limσ→1,σ>1(σ−1) _ds^d logf

(σ) est ´egal `a l’ordre d’annulation de la fonction f en s= 1.

ii) Montrer que pour Re (s)>1, on a

−ζ⁰(s) ζ(s) =X

p

logp p^s +X

p

logp p^s(p^s−1).

Dans la suite, on note φ(s) et ψ(s) les deux fonctions apparaissant dans le membre de droite.

iii) Montrer queφetψsont holomorphes respectivement sur Re (s)>1 et Re (s)> ¹₂. Montrer queφadmet un prolongement m´eromorphe sur Re (s)> ¹₂ et d´ecrire ses pˆoles.

iv) Calculer la d´eriv´ee logarithmique _ds^d logf(s) de f sur Re (s)>1 et montrer que d

dslogf(s) =−X

p

X

n≥1

(3 + 4p^−int+p^−2int) logp

p^ns .

v) Montrer que Re (3 + 4p^−int+p^−2int)≥0.

vi) En d´eduire quef ne s’annule pas ens= 1.

vii) Conclure queζ(s)6= 0 si Re (s)≥1.

c) On d´efinitθ(x) :=P

p≤xlogp. Montrer queθ(x)∼ximplique le th´eor`eme des nombres premiers.

d) Montrer que la convergence de l’int´egrale R+∞

1

θ(x)−x

x² dx implique le th´eor`eme des nombres pre- miers.

[On pourra raisonner par l’absurde en supposant que lim sup^θ(x)_x > 1, prendre 1 < λ <

lim sup^θ(x)_x et calculerRλx x

θ(t)−t

t² dt pour des xarbitrairement grands tels que θ(x)≥λx.]

e) Montrer que pour Re (s)>1,

φ(s) =s Z +∞

1

θ(x)x^−s−1dx et

φ(s)− s s−1 =s

Z +∞

1

θ(x)−x x^s+1 dx .

f) En posantx=e^t etg(t) :=θ(e^t)e^−t−1, montrer que pour Re (s)>0, on a φ(s) :=˜ φ(s+ 1)

s+ 1 −1 s =

Z +∞

0

g(t)e^−stdt . g) Montrer qu’il suffit de montrer que R+∞

0 g(t)dt existe et est ´egale `a la valeur ˜φ(0) prise par le membre de gauche ens= 0 (on justifiera l’existence de ˜φ(0)).

h) Montrer que pour tout n ∈N, on a ²ⁿ_n

≥Q

n<p<2np et en d´eduire qu’il existeC > 0 tel que θ(x)≤Cxpour tout x≥2.

i) Pour T >0, on poseh_T(s) :=R_T

0 g(t)e^−stdt. On cherche donc `a montrer que lim<sub>T</sub>→+∞h<sub>T</sub>(0) = φ(0). On note˜ C la fronti`ere du domaine d´efini par l’intersection du disque de centre O et de rayonR avec le demi-plan Re (s)> δ.

i) Montrer que la fonctiong est born´ee surR par une constanteB.

ii) En appliquant le th´eor`eme des r´esidus, montrer que φ(0)˜ −h_T(0) = 1

2iπ Z

C

( ˜φ(z)−h_T(z))e^zT

1 + z² R²

dz z .

iii) On ´ecritC=C₊∪ C₋, o`u C₊ etC₋ d´esignent respectivement les intersections de C avec les demi-plans gauche et droit. Montrer que

1 2iπ

Z

C+

( ˜φ(z)−hT(z))e^zT

1 + z² R²

dz z

≤ B R et qu’il existe une constanteB⁰ >0 ne d´ependant que deR telle que

1 2iπ

Z

C−

( ˜φ(z)−hT(z))e^zT

1 + z² R²

dz z

≤ B

R +B⁰2δ+Re^−δT/δ

π .

[Indication : pour la seconde majoration, on pourra notamment remplacer le lacet C₋ par le demi-cercle −C₊.]

iv) Conclure que limT→+∞hT(0) = ˜φ(0).

j) Conclure l’exercice.

Exercice 9 : Soita, b, x1, . . . , xndes r´eels tels quea≤x1 <· · ·< xn≤b. Soientα(x1), . . . , α(xn)∈C.

On poseA(x) :=P

xi≤xα(x_i), poura≤x≤b. Soit f : [a, b]→Cune fonction de classe C¹. Alors

n

X

i=1

α(x_i)f(x_i) =A(b)f(b)− Z b

a

A(x)f⁰(x)dx .

Exercice 10 :

a) Montrer que le th´eor`eme des nombres premiers implique quep_n∼nlog(n). De mˆeme, montrer qu’il implique queθ(x) :=P

p≤xlog(p)∼x.

b) Si dn:=pn+1−pn, montrer que P

n≤x dn

logn ∼x.

c) Montrer que lim inf _log(n)^dn ≤1≤lim sup_log^dn_n.

d) Montrer que l’ensemble des quotients de deux nombres premiers est dense dansR⁺. e) Montrer les formules suivantes : P

p≤x log(p)

p ∼log(x) et P

p≤x1

p ∼log(log(x)).

f) Montrer que le th´eor`eme des nombres premiers implique que pour toutλ >1, on aπ(λx)−π(x)∼ (λ−1)_log(x)^x .

En d´eduire que pour tout λ > 1, il existe x(λ) ∈ R⁺ tel que pour tout x ≥ x(λ), l’intervalle ]x;λx] contienne un nombre premier.