S`a‹m`e´d˚iffl, 15 ˜f`é›v˘r˚i`eˇrffl 2020
Interrogation du module :
≪
M´ ethodes Analytiques en Th´ eorie des Nombres
≫Ann´ee 2019-2020
Dur´ee : 1 h 30 mn
Exercice 1 (10 points) : Pour ce qui suit, N d´esigne une entier strictement positif.
1. En utilisant le calcul asymptotique, montrer qu’il existe une constante r´eelle absolue c telle que :
∑N
n=1
√1
n = 2√
N +c+O ( 1
√N )
. (⋆)
2. Montrer par ailleurs, en se servant de la formule sommatoire d’Abel que :
∑N
n=1
√1
n = 2√
N −1−1 2
∫ N
1
⟨t⟩ t√
tdt.
3. En d´eduire que la constante capparaissant dans la formule (⋆) est donn´ee par :
c = −1− 1 2
∫ +∞ 1
⟨t⟩ t√
tdt.
4. Question ind´ependante :
En utilisant la formule sommatoire d’Abel et le th´eor`eme des nombres premiers, montrer que l’on a :
∑
ppremier p≤x
(logp)(log logp) ∼+∞ xlog logx.
Exercice 2 (10 points) :Pour tout ce qui suit, on d´esigne parµla fonction de M¨obius, parω la fonction de d´ecompte des diviseurs premiers (i.e., ω(n) := ∑
ppremier p|n
1,∀n ∈N∗) et par Rad la
fonction “radical” (i.e., Rad(n) := ∏
ppremier p|n
p, ∀n ∈N∗).
On admet que les fonctions arithm´etiques µ, Rad et (−1)ω sont multiplicatives.
On consid`ere les deux fonctions arithm´etiques f et g d´efinies par :
f(n) := (−1)ω(n)∑
d|n
d µ(d)
g(n) := n Rad(n)
(∀n∈N∗).
1. Montrer que f et g sont toutes les deux multiplicatives.
2. Calculer f(1) et g(1) ainsi que f(pk) et g(pk) lorsque p est un nombre premier et k est un entier strictement positif.
3. Montrer (par un contre exemple) que g n’est pas compl`etement multiplicative.
4. D´emontrer l’identit´e :
∑
d|n
f(d)g(d) = n (∀n∈N∗).
5. En d´eduire l’identit´e :
∑
d|n
µ(d)
d = f(n)
Rad(n) (∀n∈N∗).
Bon travail B. Farhi
Le bar`eme :
Exo 1 :
Question 1 −→ 2 pts Question 2 −→ 2,5 pts Question 3 −→ 2,5 pts Question 4 −→ 3 pts
Exo 2 :
Question 1 −→ 2 pts Question 2 −→ 2 pts Question 3 −→ 1 pts Question 4 −→ 2,5 pts Question 5 −→ 2,5 pts
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