Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2013-2014 Module 4M020
Th´ eorie des Nombres - TD1 Extensions alg´ ebriques
Exercice 1 : Trouver tous les entiersn∈Ntels queϕ(n) = 6. Mˆeme question avecϕ(n) = 12.
Caract´eriser les entiers n∈Ntels queϕ(n) ne soit pas multiple de 4.
Exercice 2 : Soitn∈N,n≥2. Montrer queϕ(n)≥ log 22 lognn.
Exercice 3 : Soientd, m∈N. R´esoudre le syst`eme suivant, d’inconnuesx, y∈Z : pgcd(x, y) =d
ppcm(x, y) =m .
Combien de solutions obtient-on dans le cas o`u d = 12 et m = 11760 ? Et en g´en´eral, donner une formule pour le nombre de solutions du syst`eme.
Exercice 4 : SoitA un anneau commutatif. SoientI, J des id´eaux de Atels que I+J =A.
a) Montrer que pour tout m, n≥1, on a Im+Jn=A.
b) Montrer que l’on a des isomorphismes canoniques d’anneaux
A/(ImJn)−∼=→A/(Im∩Jn)−→∼= A/Im×A/Jn.
c) En d´eduire que si m1, . . . , mn sont des entiers deux-`a-deux premiers entre eux, alors on a un isomorphisme canonique
Z/(Y
i
miZ)−∼=→Y
i
(Z/miZ).
d) Pourn= 2 etn= 3, expliciter la r´eciproque de l’isomorphisme pr´ec´edent.
Exercice 5 : R´esoudre le syst`eme suivant, d’inconnue x∈Z :
2x≡4 [5]
4x≡5 [7]
3x≡1 [8]
.
Exercice 6 :
a) Soitn≥1. Combien l’´equationx2= 1 a-t-elle de solutions dans Z/nZ?
b) On pose n= 23275. Combien l’´equation x4 = 1 a-t-elle de solutions dans Z/nZ.
c) R´esoudrex2−4x+ 15 = 0 dans Z/45Z. Exercice 7 :
a) SoitA un anneau principal.
i) Montrer queAest noeth´erien.
ii) On d´efinit
E :={(a);a∈A, a6= 0, ane se d´ecompose pas en produit d’un inversible par des irr´eductibles} . Montrer, en raisonnant par l’absurde, queE =∅.
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iii) Soitp∈A irr´eductible. Montrer que (p) est un id´eal maximal, donc premier.
iv) En d´eduire que A est factoriel.
b) Montrer qu’un anneau euclidien est principal.
c) Donner un exemple d’anneau factoriel non noeth´erien.
d) Montrer que Z[i√
5] est un anneau int`egre noeth´erien non factoriel.
[Indication : d´ecomposer 9 en produit d’irr´eductibles dansZ[i√ 5]].
e) Donner un exemple d’anneau factoriel non principal.
f) On noteα:= 1+i
√ 19
2 etA:=Z[α].
i) On d´efinit, pour a∈A,N(a) :=aa. Montrer que pour tout a, b∈A\ {0}, il existeq, r∈A tels que (r = 0 ouN(r)< N(b)) et (aou 2as’´ecritbq+r).
[Indication : on pourra ´ecriret:= ab =x+yαavecx, y∈Q, et distinguer suivant la distance de y `a sa partie enti`ere].
ii) Montrer que l’id´eal (2) de A est maximal.
iii) Montrer queAest principal.
iv) Montrer que dans un anneau euclidien B, il existe b ∈ B, b /∈ B∗, tel que B∗ ∪ {0} sur surjecte surB/(b).
v) Montrer queA∗ ={±1}.
vi) Montrer que pour tout x∈A, l’anneau A/(x) n’est pas isomorphe `aZ/2Z, ni `a Z/3Z. vii) Conclure que A est principal non euclidien.
Exercice 8 : SoitA un anneau.
Montrer que l’anneauA[X] est principal si et seulement si Aest un corps.
Exercice 9 :
a) Montrer que l’annneauZ[i] est euclidien relativement au stathme N(a+ib) :=a2+b2.
b) Soitp un nombre premier. Montrer que p est somme de deux carr´es d’entiers si et seulement si p n’est pas irr´eductible dansZ[i].
c) Montrer que (p) est non premier si et seulement si −1 est un carr´e modulo p.
d) En d´eduire que p est somme de deux carr´es si et seulement si p= 2 ou p≡1 [4].
e) Montrer qu’un entier n est somme de deux carr´es si et seulement si tout facteur premier de n congru `a 3 modulo 4 apparaˆıt avec une puissance paire dans la d´ecomposition de n.
Exercice 10 : Une preuve ”en une phrase” du th´eor`eme des deux carr´es (Heath-Brown, Zagier).
a) Soit un ensemble fini de cardinal n muni d’une action d’une involution σ. Montrer que σ a un nombre impair de points fixes si et seulement si nest impair.
b) Soitp un nombre premier tel quep≡1 [4]. On consid`ere l’ensemble E:=
(x, y, z)∈N:x2+ 4yz =p . Montrer que l’application σ d´efinie par
(x, y, z)7→
(x+ 2z, z, y−x−z) si x < y−z (2y−x, y, x−y+z) si y−z < x <2y (x−2y, x−y+z, y) si x >2y
est une involution de E et admet un unique point fixe dansE.
c) En d´eduire que E est de cardinal impair et que l’involution (x, y, z) 7→ (x, z, y) de E admet
´
egalement un point fixe. Conclure.
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Exercice 11 :
a) Si n≥1, le polynˆomeXn−2 est-il irr´eductible surZ? Et surQ? b) Si pest premier et n≥1, le polynˆome φpn(X) := Xpn−1
Xpn−1−1 est-il irr´eductible sur Z? Et surQ? c) Le polynˆome X2−X−1 est-il irr´eductible surZ[√
5] ? Et surQ(√ 5) ? Exercice 12 : Soit K un corps de caract´eristique diff´erente de 2, eta, b∈K∗. Montrer queK(√
a) =K(√
b) si et seulement si ab ∈(K∗)2. Que se passe-t-il en caract´eristique 2 ?
Exercice 13 : Montrer que pour toutb, c ∈R tels que b2 <4c, si P =X2+bX+c, alors on a un isomorphisme de corps
R[X]/(P)∼=C. Cet isomorphisme est-il canonique ?
Exercice 14 : SoitK un corps etxalg´ebrique surK, de degr´e impair. Montrer quex2est alg´ebrique surK et que K(x2) =K(x).
Exercice 15 : Soit L/K une extension finie de corps de degr´e m. Soit P ∈ K[X] un polynˆome irr´eductible de degr´edpremier `a m. Montrer que P est irr´eductible dansL[X].
Exercice 16 :
a) Soitx ∈Rtel qu’il existe une constante K >0 et une suite de rationnels (pqn
n)n∈N deux-`a-deux distincts tels que |x−pqn
n| ≤ qKn
n. Montrer quex est transcendant (surQ).
b) Soit (an)n∈N une suite born´ee d’entiers relatifs, telle que an 6= 0 pour une infinit´e de n. Soit b∈N,b≥2. On d´efinit θ:=P
n≥0 an
bn!. Montrer queθest transcendant.
c) En d´eduire qu’il existe une famille explicite non d´enombrable de nombres transcendants.
Exercice 17 :
a) Soientd1, . . . , dr∈N. Montrer qued1!. . . dr! divise (d1+· · ·+dr)!.
b) SiK est un corps etf ∈K[X] de degr´ed, montrer que le degr´e d’une extension de d´ecomposition de f divised!.
Exercice 18 : SoitK un corps. SoientP =anXn+· · ·+a0 etQ=bmXm+· · ·+b0 deux polynˆomes
`
a coefficients dansK, de degr´es respectifs netm. On d´efinit le r´esultant Res(P, Q) deP etQcomme le d´eterminant de la matrice de taillem+n
an 0 . . . 0 bm 0 . . . 0
an−1 an . .. ... bm−1 bm . .. ... ... an−1 . .. 0 ... bm−1 . .. 0 a0 ... . .. an b0 ... . .. bm
0 a0 an−1 0 b0 bm−1
... . .. . .. ... ... . .. . .. ...
0 . . . 0 a0 0 . . . 0 b0
.
a) Montrer que Res(P, Q) est le d´eterminant de l’application lin´eaire (A, B)7→AP+BQ entre des espaces vectoriels de polynˆomes que l’on pr´ecisera.
b) En d´eduire que Res(P, Q) = 0 si et seulement si P etQ ne sont pas premiers entre eux.
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c) Application : trouver un ´el´ement primitif pour l’extension Q[√ 2,√
3], ainsi que son polynˆome minimal. Mˆemes questions pour l’extension Q[√
p,√
q] o`u p et q sont des nombres premiers distincts.
Exercice 19 : Soit k un corps. Soit q(X1, . . . , Xn) ∈ k[X1, . . . , Xn] une forme quadratique (un polynˆome homog`ene de degr´e 2). On suppose que q admet un z´ero non trivial dans une extension K/kde degr´e impair de k. L’objectif est de montrer que q a un z´ero non trivial dansk (th´eor`eme de Springer).
a) Montrer que l’on peut supposerK =k[α] monog`ene de degr´e d >1 impair.
b) Si f est le polynˆome minimal de α sur k, montrer qu’il existe g1, . . . , gn ∈k[X] de degr´es< d, premiers entre eux dans leur ensemble, tels que f diviseq(g1(X), . . . , gn(X)) dans k[X].
c) En d´eduire l’existence d’une extensionK0/kde degr´e impair< dtelle queq a un z´ero non trivial dans K0.
d) Conclure.
e) Que dire d’un polynˆome homog`ene de degr´e 3 admettant un z´ero non trivial dans une extension de degr´e 2 ?
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