Th´ eorie des Nombres - TD6 Arithm´ etique des corps de nombres

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2013-2014 Module 4M020

Th´ eorie des Nombres - TD6 Arithm´ etique des corps de nombres

Exercice 1 :

a) Parmi ces nombres alg´ebriques, lesquels sont des entiers alg´ebriques ? 3 + 2√

6 1−√

6 ,

√3 +√ 5

2 ,

√3 +√ 7

2 , 1 +√³

10 +√³ 100

3 , 1 +√

19

2 , 1 +i

√2 .

b) Sia, b∈Z\ {0; 1}sont des entiers distincts sans facteur carr´e, et sin∈N^∗, trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que

√a+√ b

n soit un entier alg´ebrique.

Exercice 2 : Soit z∈C^∗ un entier alg´ebrique. On note f ∈Q[X] son polynˆome minimal.

Montrer que ¹_z est un entier alg´ebrique si et seulement si f(0) = ±1. Montrer ´egalement que cela

´equivaut `a ¹_z ∈Z[z].

Exercice 3 : Soit α un entier alg´ebrique.

a) On suppose que tous les conjugu´es de α sont de module strictement inf´erieur `a 1. Montrer que α= 0.

b) On suppose maintenant que les conjugu´es de α sont de module inf´erieur ou ´egal `a 1. Montrer queα est une racine de l’unit´e ou 0.

[Indication : on pourra majorer la valeur absolue des coefficients du polynˆome minimal de α^r, pour toutr≥1.]

Exercice 4 : Soit P ∈ Z[X] un polynˆome irr´eductible unitaire de degr´e n. Soit θ une racine de P, K:=Q(θ) et D_K le discriminant deK.

a) Montrer que le discriminant de (1, θ, . . . , θⁿ⁻¹) est ´egal au discriminant D(P) de P. Exprimer ce nombre en fonction de la normeN_K/Q(P⁰(θ)).

b) Si f d´esigne l’indice de Z[θ] dansZK, montrer queD(P) =f²D_K.

Exercice 5 : Montrer que le discriminant du polynˆome P(X) =Xⁿ+aX +b, avec a, b ∈Q, vaut D(P) = (−1)^n(n−1)2 (nⁿbⁿ⁻¹+ (1−n)ⁿ⁻¹aⁿ). V´erifier que l’on retrouve les formules usuelles pourn= 2 etn= 3.

[Indication : on pourra ´ecrire que D(P) = (−1)^n(n−1)2 Q

iP⁰(xi), o`u les xi sont les racines de P, puis utiliser les fonctions sym´etriques ´el´ementaires].

Exercice 6 : Calculer l’anneau des entiers et le discriminant des corps de nombres suivants : a) Q(√³

5).

b) Q(√³ 175).

c) Q(i,√ 2).

Exercice 7 : Soit K/Q une extension finie de degr´e n, soit u ∈ ZK tel que K = Q(u). Soit p un nombre premier tel que le polynˆome minimal deusurQsoit d’Eisenstein en p. L’objectif de l’exercice est de montrer quep ne divise pas l’indice deZ[u] dansZK.

a) Montrer que ^u_pⁿ ∈ZK et que p² ne divise pasN(u).

b) Supposons que p|[ZK :Z[u]].

i) Montrer qu’il existex∈ZK\Z[u] tel quepx∈Z[u]. En d´eduire qu’il existeb₀, . . . , bn−1∈Z non tous divisibles parp tels quex= ^b0+···+b_p^n−1un−1.

ii) Notonsrle plus petit entier tel quebrn’est pas divisible parp. Montrer quey:= ^{brur+···+b}_p^n−1un−1 est dans ZK.

iii) Montrer quez:= ^bru_pⁿ⁻¹ ∈ZK.

iv) Obtenir une contradiction en calculant la norme de z c) Si q est une puissance dep etK :=Q(√^q

p), montrer que ZK=Z[√^q p].

Exercice 8 : Soit d∈ Z,d >1 sans facteur cubique. Notons θ:= √³

det K := Q(θ). On cherche `a d´eterminer l’anneau des entiers et le discriminant deK surQ.

a) Montrer que Z[θ] est de discriminant−27d².

b) On ´ecrit d=ab², aveca, b∈N sans facteur carr´e. On pose θ⁰ := √³

a²b. Montrer que K=Q(θ⁰) et calculer disc_Z(1, θ⁰, θ⁰²).

c) Montrer que (1, θ, θ⁰) est une Q-base de K et calculer son discriminant.

d) On notef,f⁰ etf⁰⁰ les indices respectifs deZ[θ], Z[θ⁰] etZ[θ, θ⁰] dansZK. i) Montrer que (a, f) = 1.

[Indication : on pourra utiliser l’exercice 7.]

ii) En d´eduire que si 3|a, alors D_K est divisible par 27a², et que sinon, D_K est divisible par a².

iii) Montrer que (b, f⁰) = 1.

iv) En d´eduire que si 3|b, alorsDK est divisible par 27b², et que sinon,DK est divisible parb². v) Montrer quea²b²|D_K|27a²b² et que D_K<0.

e) Montrer que si 3|d, alorsD_K =−27a²b² et (1, θ, θ⁰) est une base deZK. f) Montrer le mˆeme r´esultat si d6≡ ±1 [9].

[Indication : on pourra montrer que le polynˆome minimal deθ−dest d’Eisenstein en 3.]

g) On suppose d≡1 [9]. On poseα:= ^1+θ+θ₃ ².

i) Montrer queα∈ZK et calculer son polynˆome minimal.

ii) En d´eduire que 3|f⁰⁰, puis queD_K =−3a²b². iii) Montrer que (α, θ, θ⁰) est uneZ-base de ZK.

h) Si d≡ −1 [9]. On poseα⁰:= ^1−θ+θ₃ ². Montrer que (α⁰, θ, θ⁰) est uneZ-base de ZK. i) Conclure en d´ecrivant tous les cas possibles.

Exercice 9 :

a) Montrer qu’un anneau factoriel est int´egralement clos.

b) Soit A un anneau int´egralement clos et K son corps des fractions. Soit P ∈ A[X] unitaire.

Supposons queP =QR dans K[X], avec Q, Runitaires. Montrer queQ, R∈A[X].

[Indication : on pourra consid´erer les racines deQetR dans une clˆoture alg´ebrique deK.]

c) SoitAun anneau int´egralement clos de corps des fractionsK. On souhaite montrer queA[X1, . . . , Xn] est int´egralement clos.

i) V´erifier que K(X) est le corps des fractions de A[X].

Pour la suite, on fixe f ∈K(X) entier surA[X].

ii) Montrer que f ∈K[X].

iii) Soit P(Y) =Yⁿ+pn−1(X)Yⁿ⁻¹+· · ·+p₀(X)∈A[X][Y] un polynˆome unitaire annulant f. Montrer que pourr ∈N, le polynˆome P₁(Y) :=P(Y +X^r) est dans A[X][Y], unitaire en Y, et annulef1 :=f−X^r.

iv) Montrer que pourr suffisamment grand, le coefficient constant (enY) deP1(Y) est unitaire en X et qu’il est ´egal au produit de −f₁ par un polynˆome de K[X].

v) En d´eduire que −f₁ ∈ A[X], puis que f ∈ A[X]. En d´eduire que A[X] est int´egralement clos.

vi) Montrer que A[X₁, . . . , X_n] est int´egralement clos.

Exercice 10 : Soit p un nombre premier impair etK :=Q(ζ_p), o`u ζ<sub>p</sub> d´esigne une racine primitive p-i`eme de l’unit´e.

a) Calculer la trace d’un ´el´ement deK.

b) Montrer que la norme de 1−ζ_p est ´egale `a p.

c) Soitα=a0+a1ζp+· · ·+ap−2ζp^p−2 ∈ZK (ai ∈Q).

i) En ´etudiantαζ_p⁻ⁱ−αζp, montrer que pour tout i,bi:=pai est un entier relatif.

ii) Posons λ:= 1−ζp. Montrer que pα s’´ecrit pα= c0+c1λ+· · ·+cp−2λ^p−2 avec ci ∈ pZ. [Indication : on pourra montrer le r´esultat par r´ecurrence sur i, en montrant d’abord que p∈λ^p−1ZK.]

iii) Montrer que pour touti,a_i ∈Z. En d´eduire que ZK=Z[ζ_p].

iv) Montrer que disc(K) = (−1)^p−12 p^p−2. Exercice 11 :

a) Soit d ∈ N sans facteur carr´e. On pose K := Q(√

−d). Montrer (sans utiliser le th´eor`eme des unit´es) queZ<sup>∗</sup><sub>K</sub> est ´egal `a

– Z/4Z sid= 1.

– Z/6Z sid= 3.

– Z/2Z sinon.

b) Soit K un corps de nombres. Montrer que Z^∗_K est fini si et seulement si K = Q ou K est un corps quadratique imaginaire.

Exercice 12 : Soit p un nombre premier impair. On noteK :=Q(ζ_p) et L:=Q(ζ_p+ζ_p⁻¹).

a) Montrer que K est une extension quadratique de L, et que K est totalement imaginaire (i.e.

r1 = 0).

b) Montrer que L est totalement r´eel (i.e.r2 = 0).

c) Calculer les rangs de Z^∗_LetZ^∗_K.

d) On d´efinit φ:Z^∗_K →K^∗ parφ(a) :=a/a, o`u (.) d´esigne la conjugaison complexe.

i) Montrer queφest `a valeurs dans le groupe des racines de l’unit´e de K, not´e µ(K), et que c’est un morphisme de groupes.

ii) On noteϕ:Z^∗_K →µ(K)/µ(K)²le morphisme induit parφ. Montrer que Ker(ϕ) =µ(K).Z^∗_L. iii) En d´eduire que l’indice deµ(K).Z^∗_L dansZ^∗_K vaut 1 ou 2.

e) On veut montrer queZ^∗_K = (ζ_p).Z^∗_L. On raisonne par l’absurde et on suppose (ζ_p).Z^∗_L( Z^∗_K. i) Montrer queϕest surjective.

ii) Montrer qu’il existe u∈Z^∗_K etm∈Ztels que u=−ζ_p^mu.

iii) En d´ecomposantudans la base (1, ζ_p, . . . , ζ_p^p−2), montrer que 2u∈p, o`upest l’id´eal premier (1−ζp) deZK.

iv) Conclure.

f) En d´eduire que pourp= 5,Z^∗_K =n

±ζ₅^k

1+√ 5 2

n

; 0≤k≤4, n∈Z o

. Exercice 13 : Soit K/Q un corps cubique (de degr´e 3) de discriminant n´egatif.

a) Montrer que r₁ = r₂ = 1. Dans toute la suite, on consid`ere K comme un sous-corps de R via son unique plongement r´eel.

b) Soit >1 une unit´e fondamentale de ZK. Montrer queest de norme 1.

c) On pose u:=√

. Montrer que les conjugu´es desont de la forme,u⁻¹e^iθ,u⁻¹e^−iθ.

d) Montrer que le discriminantd de la base (1, , ²) vaut d =−4 sin²(θ)(u³+u⁻³−2 cos(θ))². e) On pose y:= cos(θ) et a:=u³+u⁻³.

i) Montrer quea >2.

ii) On notey0la racine n´egative du polynˆome 4y²−ay−2. Montrer que|d| ≤4(1−y₀²)(a−2y₀)². iii) Montrer quey₀ <−_2u¹₃. En d´eduire queu⁻⁶−4y₀²−4y⁴₀ <0.

iv) Montrer que |d|<4³+ 24.

[Indication : on pourra utiliser successivement les deux ´egalit´es ay₀ = 4y₀²−2 et a²y²₀ = 16y₀⁴−16y₀²+ 4, puis appliquer la question e) iii).]

f) En d´eduire que|D_K|<4³+ 24.

g) Montrer que pour toute unit´e η > 1 dans Z^∗_K, si 4η³² + 24 < |D_K|, alors η est une unit´e fondamentale.

h) Applications : i) Si K=Q(√³

2), calculer DK et montrer que √³

2−1 est une unit´e fondamentale.

ii) Si K=Q(α), o`uα est la racine r´eelle deX³+ 2X+ 1, calculerDK et montrer que ⁻¹_α est une unit´e fondamentale.

iii) SiK =Q(α), o`uα est la racine r´eelle de X³+ 10X+ 1, calculerD_K et montrer que ⁻¹_α est une unit´e fondamentale.

Exercice 14 : On pourra utiliser les r´esultats de l’exercice 13.

a) Soit α un entier alg´ebrique, de polynˆome minimal P ∈ Z[X]. Soit r ∈ Z tel que P(r) = ±1.

Montrer queα−r est une unit´e de Z_Q(α). b) Montrer que ¹

2−√³

7 est une unit´e fondamentale dans K=Q(√³ 7).

c) On noteβ la racine r´eelle de X³+X−3. Montrer que _β−1¹ est une unit´e fondamentale deQ(β).

Exercice 15 : On consid`ere l’anneauA:=Z[√

−3]. On va montrer que dans cet anneau, le th´eor`eme d’existence de la d´ecomposition des id´eaux en produit d’id´eaux premiers n’est pas v´erifi´e.

a) On d´efinit l’id´eal deA :a:= (2,1 +√

−3). Montrer quea est un id´eal premier et quea6= (2).

b) Montrer que a² = (2)a.

c) Montrer que les id´eaux de A ne se d´ecomposent pas de mani`ere unique en produit d’id´eaux premiers.

d) Montrer que a est l’unique id´eal premier contenant 2.

e) Montrer que (2) n’est pas produit d’id´eaux premiers deA.

Exercice 16 : On consid`ere le corps quadratique K:=Q(√

−5), etA:=ZK =Z[√

−5].

a) Montrer que l’anneauZK n’est pas factoriel.

[Indication : on pourra donner deux d´ecompositions distinctes de 6 en produit d’irr´eductibles de A.]

b) Soit p premier. Montrer que A/pA ∼= Fp ×Fp, Fp² ou Fp[t]/(t²) suivant la d´ecomposition du polynˆomeX²+ 5 dansFp[X].

c) En calculant le discriminant de K, montrer que le troisi`eme cas (A/pA∼=Fp[t]/(t²)) se produit si et seulement sip= 2 oup= 5.

d) En ´etudiant A/2A, montrer qu’il existe un unique id´eal maximalm₂⊂A contenant 2. Montrer en outre quem₂ = (2,1 +√

−5) et que 2A=m²₂.

e) Montrer que les id´eaux maximaux contenant 3 sontm₃ := (3,−1 +√

−5) etm₃:= (3,1 +√

−5), puis d´ecomposer 3A en produit d’id´eaux premiers deA.

f) Donner la factorisation de 6A en produit d’id´eaux premiers.

g) Montrer que m₂, m₃ etm₃ ne sont pas principaux, alors que m₂m₃ etm₂m₃ le sont. Expliquer ainsi l’existence de deux factorisations de 6 dans A.

h) En utilisant la constante de Minkowski, calculer le groupe des classes de K.

Exercice 17 : On consid`ere K:=Q(√

−23),α:= ¹⁺

√−23

2 etZK =Z[α].

a) Calculer le polynˆome minimal deα, le discriminant D_K et la constante de Minkowski de K.

b) Montrer que les id´eaux p:= (2, α) et q:= (3, α) sont premiers non principaux.

c) Factoriser 2ZK et 3ZK en produits d’id´eaux premiers.

[Indication : on pourra utiliser la factorisation du polynˆome minimal deα modulo 2 et 3.]

d) Montrer que p³ est principal.

e) Calculer le nombre de classes de K.

Exercice 18 : On note K :=Q(√

−13) etσ l’´el´ement non trivial du groupe de Galois de K surQ. a) Donner ZK etDK.

b) Montrer que 2ZK =p², o`up est un id´eal premier non principal tel queσ(p) =p.

c) Montrer que 13ZK =q², o`uq est un id´eal premier principal tel que σ(q) =q.

d) Montrer que 3ZK est un id´eal premier.

e) CalculerZ^∗_K.

f) Calculer le nombre de classes de K.

g) Soit y ∈ Z. Montrer que l’id´eal d := (y+√

−13, y−√

−13) n’admet pas de diviseur premier autre quep etq.

h) On ´ecrit la d´ecomposition de l’id´eal (y+√

−13)Z_K =cp^αq^β, avec c non divisible par p, ni par q. Montrer quec etσ(c) n’ont pas de diviseur premier commun.

i) On consid`ere d´esormais l’´equation diophantienne X³ −Y² = 13. Soit (x, y) ∈Z² une solution de cette ´equation.

i) Montrer qu’il existe un id´eal entier rde ZK eta, b∈Ntels que (y+√

−13)ZK = (rp^aq^b)³. ii) Montrer que l’id´ealrp^aq^b est principal.

iii) En d´eduire qu’il existeu, v∈Ztels que y=u³−39uv² et 1 =v(3u²−13v²).

iv) D´eterminer l’ensemble des solutions de l’´equation diophantienne X³−Y² = 13.

Exercice 19 : On consid`ere le corps K:=Q[√

−163].

a) CalculerZK,DK et le polynˆome minimal d’un g´en´erateur α deZK. b) Montrer que les id´eaux premiers contenant 2, 3, 5 ou 7 sont principaux.

c) En d´eduire queZK est principal, donc factoriel.

d) Montrer que pour tout a, b∈Z,N_K/Q(a+bα)≥41 sib6= 0.

e) En d´eduire que pour tout−39≤n≤40, l’entiern²−n+ 41 est premier.

Exercice 20 : L’objectif de cet exercice est de montrer ce que l’on appelle le “premier cas du th´eor`eme de Fermat”, `a savoir : pour un nombre premier impairp, si l’on noteK :=Q(ζ_p) et sipne divise pas h(K), alors l’´equation X^p+Y^p =Z^p n’admet pas de solution (x, y, z)∈Z³ avec x,y etz premiers `a p (i.e. pour toute solution (x, y, z)∈Z³,p divisexyz).

Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose donc qu’il existe une solution (x, y, z) ∈Z³ telle quep ne divise pasxyz.

a) Montrer que l’on peut supposerx,y etz premiers entre eux dans leur ensemble.

b) Si p= 3 oup= 5, conclure en r´eduisant l’´equation modulo p².

c) On suppose d´esormaisp >5. Montrer que l’on peut supposer que pne divise pasx−y.

[Indication : montrer qu’il n’est pas possible d’avoirx≡y ≡ −z[p].]

d) Montrer que z^p =Qp−1

i=0(x+ζ_pⁱy).

e) D´ecomposer l’id´eal pZK en id´eaux premiers. Plus pr´ecis´ement, montrer qu’il existe un id´eal premierpde ZK tel quepZK =p^p−1.

f) Montrer en outre que pour tout 1≤i≤p−1, p= (1−ζ_pⁱ)ZK.

g) Montrer que les id´eaux (x+ζ_pⁱy) (pour 1≤i≤p−1) sont deux-`a-deux premiers entre eux.

[Indication : on pourra raisonner par l’absurde et montrer qu’alorsx+y∈p.]

h) Montrer que pour tout 1≤i≤p−1, il existe un id´eala_i de ZK tel que (x+ζ_pⁱy)ZK =a^p_i. i) Montrer que pour tout 1≤i≤p−1, l’id´eala_i est principal, engendr´e parαi∈ZK. j) Montrer que pour tout α∈ZK,α^p ∈Z+pZK.

k) En d´eduire qu’il exister ∈Z tel quex+ζpy−ζ_p^2rx−ζ_p^2r−1y≡0 [p].

[Indication : on pourra utiliser la description deZ^∗_K obtenue `a l’exercice 2 de la feuille de TD9.]

l) En d´eduire que si les quatre nombres 1, ζp, ζ_p^2r−1, ζ_p^2r sont distincts, alors x et y sont divisibles parp.

m) Montrer que dans le cas contraire, soitp|y, soitp|x−y, soitp|x.

n) Conclure.