Th´ eorie des Nombres - TD9 Unit´ es d’un corps de nombres

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Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2011-2012 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - TD9 Unit´ es d’un corps de nombres

Exercice 1 :

a) Soit d ∈ N sans facteur carr´e. On pose K := Q(√

−d). Montrer (sans utiliser le théorème des unités) queZ^∗_K est égal à

– Z/4Zsi d= 1.

– Z/6Zsi d= 3.

– Z/2Zsinon.

b) Soit K un corps de nombres. Montrer que Z^∗_K est fini si et seulement si K = Q ou K est un corps quadratique imaginaire.

Solution de l’exercice 1.

a) On sait que l’anneau des entiers de K est ZK = Z[√

−d] si d≡1,2 [4], et ZK =Z h1+√

−d 2

i si d≡3 [4].

On traite d’abord le cas d≡1,2 [4]. Un entierα=a+b√

−d(aveca, b∈Z) est une unit´e si et seulement si sa norme est ±1 si et seulement sia²+db² =±1 si et seulement si (a, b) = (±1,0) ou (d = 1 et (a, b) = (0,±1)). Par cons´equent, on a Z^∗_K = {±1} ∼= Z/2Z si d 6= 1 et Z^∗_K = {±1,±i} ∼=Z/4Z sid= 1.

Supposons maintenant d≡3 [4]. Alors un entierα = ^a+b

√−d

2 (avec a, b∈Z) est une unité si et seulement si a²+db²=±4 si et seulement si (a, b) = (±1,0) ou (d= 3 et (a, b) = (±1,±1), avec les deux signes±indépendants). Donc on aZ^∗_K={±1} ∼=Z/2 sid6= 3 etZ^∗_K ={±1,±j,±j²} ∼= Z/6Zsi d= 3 (où j est une racine primitive 3-ième de l’unité).

b) Le théorème des unités assure que le groupe Z^∗_K est le produit d’un groupe abélien fini par un groupe abélien libre de type fini de rang r =r1+r2−1. Par conséquent, le groupeZ^∗_K est fini si et seulement si r = 0 si et seulement si (r₁, r₂) = (1,0) ou (0,1). Or on a [K :Q] =r₁+ 2r₂, donc le cas (r₁, r₂) = (1,0) correspond exactement àK =Q, et le cas (r₁, r₂) = (0,1) correspond

`

a un corps quadratique qui admet un plongement complexe, c’est-`a-dire un corps quadratique imaginaire.

Exercice 2 : Soitp un nombre premier impair. On noteK :=Q(ζp) et L:=Q(ζp+ζ_p⁻¹).

a) Montrer que K est une extension quadratique de L, et que K est totalement imaginaire (i.e.

r₁= 0).

b) Montrer que Lest totalement r´eel (i.e. r₂ = 0).

c) Calculer les rangs deZ^∗_L etZ^∗_K.

d) On définit φ:Z^∗_K →K^∗ parφ(a) :=a/a, où (.) désigne la conjugaison complexe.

i) Montrer queφest à valeurs dans le groupe des racines de l’unité de K, notéµ(K), et que c’est un morphisme de groupes.

ii) On noteϕ:Z^∗_K →µ(K)/µ(K)²le morphisme induit parφ. Montrer que Ker(ϕ) =µ(K).Z^∗_L. iii) En d´eduire que l’indice de µ(K).Z^∗_L dansZ^∗_K vaut 1 ou 2.

e) On veut montrer queZ^∗_K = (ζp).Z^∗_L. On raisonne par l’absurde et on suppose (ζp).Z^∗_L( Z^∗_K. i) Montrer queϕest surjective.

ii) Montrer qu’il existe u∈Z^∗_K etm∈Ztels queu=−ζ_p^mu.

(2)

iii) En décomposantudans la base (1, ζ_p, . . . , ζ_p^p−2), montrer que 2u∈p, oùpest l’idéal premier (1−ζp) de ZK.

iv) Conclure.

f) En d´eduire que pour p= 5, Z^∗_K = n

±ζ₅^k

1+√ 5 2

n

; 0≤k≤4, n∈Z o

. Solution de l’exercice 2.

a) On noteu:=ζ_p+ζ_p⁻¹. On a u= ^ζ^p²_ζ⁺¹

p , doncζ_p²−uζ_p+ 1 = 0. Donc ζ_p est racine du polynôme X²−uX+ 1∈L[X], donc l’extensionK/L est de degré au plus 2. OrL6=K puisqueL est un sous-corps de R alors que ζp ∈ K n’est pas un nombre réel, donc K/L est bien une extension quadratique.

L’extensionK/Qest galoisienne de degrép−1. Les conjugués deζp sont exactement lesζ_pⁱ, avec 1 ≤ i ≤ p−1. Donc aucun conjugué de ζ_p n’est un réel, donc r₁ = 0. Donc K est un corps totalement imaginaire.

b) Les conjugués de u = ζp+ζ_p⁻¹ sont obtenus via les conjugués de ζp. Les conjugués de u sont les ζ_pⁱ +ζ_p⁻ⁱ, avec 1 ≤ i ≤ ^p−1₂ . Or pour chaque i, on a ζ_pⁱ +ζ_p⁻ⁱ = ζ_pⁱ +ζ_pⁱ ∈ R, donc tous les conjugués deu sont réels, doncr₂= 0, i.e. L est un corps totalement réel.

c) Le théorème des unités assure que le rang deZ^∗_Lvaut r₁+r₂−1 = ^p−1₂ + 0−1 = ^p−3₂ . De même, le rang de Z^∗_K vaut r1+r2−1 = 0 + ^p−1₂ −1 = ^p−3₂ . En particulier, les rangs deZ^∗_L etZ^∗_K sont

´

egaux, donc Z^∗_L est un sous-groupe d’indice fini de Z^∗_K.

d) i) Tout d’abord, il est clair que φ est à valeurs dans Z^∗_K. Soit σ ∈ Gal(K|Q). Alors pour a ∈ Z^∗_K, on a σ(φ(a)) = ^σ(a)_σ(a). Or le groupe Gal(K|Q) est abélien, donc σ commute à la conjugaison complexe, donc σ(φ(a)) = σ(a)/σ(a). En particulier, le nombre complexe σ(φ(a)) est de module 1. Donc tous les conjugués de φ(a) sont de module 1. Donc l’entier φ(a) est une racine de l’unité (voir exercice 7 de la feuille 6). Donc φ est à valeurs dans µ(K). Il est évident queφ est un morphisme de groupes.

ii) Remarquons d’abord queµ(K) ={±ζ_p^k,0≤k≤p−1}, et queµ(K)²={ζ_p^k,0≤k≤p−1}.

Soit a∈ Z^∗_K. On a a ∈ Ker(ϕ) si et seulement si a/a ∈ µ(K)² si et seulement si il existe k∈Ztel quea/a=ζ_p^2ksi et seulement si il existek∈Ztel queaζ_p^−k =aζp^−ksi et seulement si il existe k∈Ztel queaζ_p^−k∈Z^∗_K∩R=Z^∗_L si et seulement sia∈µ(K).Z^∗_L. D’où l’égalité Z^∗_K =µ(K)Z^∗_L.

iii) Par théorème de factorisation, le morphismeϕinduit un morphisme injectifϕ:Z^∗_K/Ker(ϕ)→ µ(K)/µ(K)², d’où un morphisme injectif ϕ :Z^∗_K/µ(K).Z^∗_L → Z/2Z. Donc le cardinal du groupe Z^∗_K/µ(K).Z^∗_L vaut au plus 2, donc l’indice de µ(K).Z^∗_L dansZ^∗_K vaut 1 ou 2.

e) i) Par hypoth`ese, l’indice de Ker(ϕ) dansZ^∗_K vaut 2, donc ϕn’est pas le morphisme nul. Or un morphisme non nul `a valeur dans Z/2Z est surjectif, doncϕest surjectif.

ii) Par la question précédente, il existe u∈Z^∗_K tel queϕ(u)6= 1. Doncφ(u)∈µ(K)\µ(K)², i.e. il existe m∈Ztel queφ(u) =−ζ_p^m. D’où le résultat.

iii) Il existe des entiers a0, . . . , ap−2 tels que u =a0+a1ζp+· · ·+ap−2ζp^p−2 (on rappelle que ZK =Z[ζ_p], voir exercice 11 de la feuille 6). Alors modulop, on trouveu≡a₀+· · ·+ap−2 et u≡a₀+· · ·+ap−2. Or l’égalitéu=−ζ_p^muse réduit modulopenu≡ −u. Donc finalement, on a u≡ −u modulop, i.e. 2u∈p.

iv) L’entier u est une unit´e, donc u /∈ p (sinon p = ZK). Si 2 ∈ p, alors la norme de 2 est divisible par la norme de 1−ζ_p, qui vaut p. Donc p divise 2, ce qui n’est pas. Donc 2∈/ p.

Mais pest un id´eal premier (carZK/p=Z[1−ζp]/(p,1−ζp)∼=Z/pZ), donc les conditions 2∈/ p,u /∈p et 2u∈p sont contradictoires. Donc finalement on a bienZ_K^∗ =µ(K)Z^∗_L. f) Pourp= 5, on aL=Q(√

5) car ζ₅+ζ₅⁻¹ est racine du polynˆomeX²+X−1, de discriminant

∆ = 5. Or on sait que Z_L =Z h1+√

5 2

i

, et il suffit de d´eterminer une unit´e fondamentale de cet

(3)

anneau. On v´erifie que ¹⁺

√ 5

2 est une unité fondamentale deZL, donc les questions précédentes assurent que

Z^∗_K = (

±ζ₅^k 1 +√ 5 2

!n

; 0≤k≤4, n∈Z )

.

Exercice 3 : SoitK/Qun corps cubique (de degr´e 3) de discriminant n´egatif.

a) Montrer que r₁ =r₂ = 1. Dans toute la suite, on consid`ere K comme un sous-corps de R via son unique plongement r´eel.

b) Soit >1 une unit´e fondamentale de ZK. Montrer queest de norme 1.

c) On pose u:=√

. Montrer que les conjugu´es de sont de la forme,u⁻¹e^iθ,u⁻¹e^−iθ.

d) Montrer que le discriminantd de la base (1, , ²) vaut d =−4 sin²(θ)(u³+u⁻³−2 cos(θ))². e) On pose y:= cos(θ) et a:=u³+u⁻³.

i) Montrer quea >2.

ii) On notey0la racine négative du polynôme 4y²−ay−2. Montrer que|d| ≤4(1−y₀²)(a−2y₀)². iii) Montrer quey0<−_2u¹₃. En déduire queu⁻⁶−4y²₀−4y⁴₀ <0.

iv) Montrer que |d|<4³+ 24.

[Indication : on pourra utiliser successivement les deux ´egalit´es ay₀ = 4y²₀ −2 et a²y²₀ = 16y⁴₀−16y₀²+ 4, puis appliquer la question e) iii).]

f) En d´eduire que |D_K|<4³+ 24.

g) Montrer que pour toute unit´e η > 1 dans Z^∗_K, si 4η³² + 24 < |D_K|, alors η est une unit´e fondamentale.

h) Applications : i) Si K=Q(√³

2), calculer D_K et montrer que √³

2−1 est une unit´e fondamentale (on admet que ZK =Z[√³

2] : cf feuille de TD8, exercice 11).

ii) SiK =Q(α), où α est la racine réelle deX³+ 2X+ 1, calculerD_K et montrer que ⁻¹_α est une unité fondamentale.

iii) SiK =Q(α), oùαest la racine réelle deX³+ 10X+ 1, calculerDK et montrer que ⁻¹_α est une unité fondamentale.

a) Un théorème du cours assure que le signe du discriminant est donné par (−1)^r², donc r2 doit ˆ

etre impair. Or r1+ 2r2 = 3, donc n´ecessairementr2 = 1 et doncr1= 1.

Dans toute la suite, on verra doncK comme un sous-corps deRvia son unique plongement r´eel.

b) On noteσ:K →Cun plongement complexe deK. Alors les conjugués desont, σ(), σ(), où (.) désigne la conjugaison complexe. Donc en particulier on aN_K/_Q() =σ()σ() =|σ()|²>0.

Or est une unit´e, donc sa norme vaut±1, donc puisqu’elle est positive, elle vaut 1.

c) Il existe ρ > 0 et θ ∈ R tels que σ() = ρeîθ. Alors la question précédente assure que 1 = N_K/_Q() = |σ()|² = u²ρ². Donc ρ = u⁻¹, donc les conjugués de sont bien , u⁻¹eîθ et u⁻¹e^−iθ.

d) Le discriminant d vaut

d =

(−σ())(−σ())(σ()−σ())2

,

donc on a d =

(u²−u⁻¹e^iθ)(u²−u⁻¹e^−iθ)(2iu⁻¹sin(θ)) 2

=−4 sin²(θ) u³+u⁻³−2 cos(θ)2

, d’o`u le r´esultat.

(4)

e) i) On remarque que 0<

u³² −u⁻³² 2

=u³+u⁻³−2 =a−2, d’o`ua >2.

ii) On a d =−4(1−y²)(a−2y)². On définit donc la fonction f(y) :=−4(1−y²)(a−2y)². C’est un polynôme, et on af⁰(y) =−8(a−2y)(4y²−ay−2). Doncf⁰(y) = 0 si et seulement si y = â₂ ou y = y₀ ou y = −_2y¹

0. En étudiant le tableau de variations de f, on note que la fonction f est négative sur l’intervalle [−1,1] et qu’elle atteint son minimum sur cet intervalle en y =y0 (il est clair que −1 ≤ y0 ≤0 car en y = −1, le polynôme de degré 2 dont y₀ est racine prend une valeur positive : voir question e) i)). Par conséquent, puisque le cosinus prend ses valeurs dans [−1,1], on en déduit que |d| ≤ |f(y₀)|, d’où le résultat.

iii) Il suffit de vérifier que 4(−_2u¹₃)²−a(−_2u¹₃)−2<0, ce qui revient à montrer que u >1, ce qui est vrai par définition de u(puisque=u² >1).

On a donc y0 < −_2u¹₃, donc en ´elevant au carr´e, on a u⁻⁶ −4y₀² < 0, donc a fortiori u⁻⁶−4y₀²−4y⁴₀ <0.

iv) On a montr´e (voir e) ii)) que|d| ≤4(1−y₀²)(a−2y0)². Or on a

4(1−y₀²)(a−2y₀)² = 4(1−y²₀)(a²−4ay₀+4y²₀) = 4(1−y₀²)(a²−16y₀²+8+4y²₀) = 4(1−y₀²)(a²+8−12y₀²). Or

4(1−y²₀)(a²+ 8−12y₀²) = 4(a²+ 8−10y₀²−a²y²₀+ 2y⁴₀), donc en utilisant a²y₀² = 16y₀⁴−16y₀²+ 4, on obtient

4(1−y₀²)(a−2y₀)² = 4(a²+ 4−4y²₀−4y⁴₀) = 4(u⁶+ 6 +u⁻⁶−4y₀²−4y₀⁴).

Or la question e) iii) assure que u⁻⁶−4y₀²−4y⁴₀ <0, donc les calculs pr´ec´edents assurent que

|d|<4(u⁶+ 6) = 4³+ 24.

f) On sait quef²D_K =d, oùf est l’indice de Z[] dansZK, donc en particulier|D_K| ≤ |d|, d’où le résultat.

g) Puisque est l’unit´e fondamentale et puisque η > 1, il existe n ≥ 1 tel que η = ⁿ. Alors l’hypoth`ese 4η³² + 24 < |D_K| implique que 4³ⁿ² + 24 < |D_K|. Or la question f) assure que

|D_K|<4³+ 24. Donc on en d´eduit que³ⁿ² < ³, donc ³ⁿ₂ <3, donc n= 1, donc η=.

h) i) On sait que D_K = −27.2² = −108 (voir feuille de TD8, exercice 11 par exemple). On consid`ere η := 1 +√³

2 +√³

4 ∈ZK. Alors η = √3 ¹

2−1. Le polynˆome minimal de √³

2−1 est (X+ 1)³−2 = X³+ 3X²+ 3X−1, donc √³

2−1 est une unit´e, doncη est une unit´e et η >1.

On applique alors le crit`ere de la question g) pour montrer queηest une unit´e fondamentale.

On a η≈3,847<4 et donc 4η³² + 24<4.8 + 24 = 56<108 =|D_K|. Donc la question g) assure que η est une unit´e fondamentale, donc √³

2−1 aussi.

ii) Au vu du polynôme minimal, α est une unité, et −1< α < 0. Donc η:= ⁻¹_α est une unité

>1. On a disc(1, α, α²) =−59 sans facteur carré, doncZK =Z[α] etDK =−59. Un calcul approché donne η ≈ 2,205 < 4, donc 4η³² + 24 < 4.8 + 24 = 56 < 59 = |D_K|, donc la question g) assure que η est une unité fondamentale.

iii) Au vu du polynôme minimal, α est une unité, et −1 < α < 0. Donc η := ⁻¹_α est une unité > 1. On a disc(1, α, α²) = −4027 et 4027 est un nombre premier, donc ZK = Z[α]

et D_K =−4027. Un calcul approch´e donne η≈10,01<16, donc 4η³² + 24<4.64 + 24 = 280<4027 =|D_K|, donc la question g) assure queη est une unit´e fondamentale.

Exercice 4 : On pourra utiliser les r´esultats de l’exercice 3.

a) Soit α un entier alg´ebrique, de polynˆome minimal P ∈ Z[X]. Soit r ∈ Z tel que P(r) = ±1.

Montrer que α−r est une unit´e de Z_Q(α).

(5)

b) Montrer que ¹

2−√³

7 est une unit´e fondamentale dans K =Q(√³ 7).

c) On noteβ la racine r´eelle deX³+X−3. Montrer que _β−1¹ est une unit´e fondamentale deQ(β).

a) On définit le polynôme Q(X) := P(X+r) ∈ Z[X]. Alors Q(α−r) = P(α) = 0, donc Q est un polynôme annulateur unitaire de α−r à coefficients entiers. En écrivant P(X) = Xⁿ + an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a0, on voit que le coefficient constant de Qvaut exactementP(r) =±1, donc α−r est un entier de norme±1, donc c’est une unité.

b) On applique la question précédente à α := √³

7, P(X) = X³−7 et r = 2. Puisque P(2) = 1,

√3

7−2 est une unit´e de ZK, donc η := ₂₋¹√3

7 est une unit´e de K. Or DK = −27.7² = −1323 (voir feuille de TD8, exercice 11) et η≈11,48<16, donc 4η³² + 24<280<1323 =|D_K|. Donc la question g) de l’exercice 3 assure queη est une unit´e fondamentale de K.

c) On a disc(Z[α]) =−247 = −13.19 sans facteur carré, donc ZK =Z[α] et D_K =−247. Puisque le polynôme X³ +X−3 évalué en 1 vaut −1, la question a) assure que β −1 est une unité de ZK. Donc η := _β−1¹ est une unité de ZK. Un calcul approché assure que 1 < η < 10, donc 4η³² + 24 < 40√

10 + 24 <40.4 + 24 = 184< 247 = |D_K|. Donc la question g) de l’exercice 3 assure que η est une unit´e fondamentale deK.