Th´ eorie des Nombres - TD2 Corps finis

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2013-2014 Module 4M020

Th´ eorie des Nombres - TD2 Corps finis

Exercice 1 : Montrer les isomorphismes suivants et exhiber un g´en´erateur du groupe des ´el´ements inversibles :

a) F4∼=F2[X]/(X²+X+ 1).

b) F8∼=F2[X]/(X³+X+ 1).

c) F16∼=F2[X]/(X⁴+X+ 1).

d) F16∼=F2[X, Y]/(Y²+Y + 1, X²+X+Y).

Exercice 2 : Montrer que dans un corps fini, tout ´el´ement est somme de deux carr´es.

Exercice 3 : Soit pun nombre premier impair. Montrer que 2 est un carr´e dansFp si et seulement sip≡ ±1 [8].

[Indication : on pourra consid´ererζ une racine primitive 8-i`eme de l’unit´e dansFp et ´etudierζ+ζ⁻¹.]

Exercice 4 :

a) Soit kun corps, a∈k,p un nombre premier. Montrer que X^p−aest irr´eductible dans k[X] si et seulement si il n’admet pas de racine dansk.

[Indication : siX^p−aest r´eductible, on pourra ´ecrire une d´ecomposition de ce polynˆome dans k[X], puis utiliser la d´ecomposition deX^p−aen facteurs de degr´e 1 surk, pour en d´eduire que aest une puissancep-i`eme dans k.]

b) Soientp, ldeux nombres premiers tels queldivisep−1. Soitn∈Ztel que la classe denengendre (Z/pZ)^∗. Montrer que le polynomeX^l+pX^k−nest irr´eductible dansZ[X], pour tout 1≤k < l.

Exercice 5 :

a) Si p etl sont des nombres premiers, montrer qu’il existe un morphisme de corps Fpⁿ →Fl^m si et seulement sip=l etndivisem.

b) Ce morphisme de corps est-il unique ?

c) Fixons, pour tout n, m tels que n divise m, un morphisme Fpⁿ → Fp^m, de fa¸con compatible.

Montrer queFp :=S

n≥1F_p^n! est une clˆoture alg´ebrique deFp. Exercice 6 :

a) Donner la liste de tous les polynˆomes irr´eductibles de degr´e ≤5 surF2.

b) Donner la liste de tous les polynˆomes irr´eductibles unitaires de degr´e≤3 surF3.

c) Donner le nombre et la liste de tous les polynˆomes irr´eductibles unitaires de degr´e≤2 surF4. Exercice 7 : Montrer (sans utiliser les r´esultats g´en´eraux sur les polynˆomes cyclotomiques) que le polynˆome X⁴ + 1 est irr´eductible dans Q[X], et qu’il est r´eductible dans Fp[X] pour tout nombre premierp.

Pour de petits nombres premiers impairs (p= 3,5,7,11,13,17), appliquer l’algorithme de Berlekamp et donner la d´ecomposition deX⁴+ 1 en irr´eductibles dans Fp[X].

Exercice 8 : En utilisant des r´eductions modulo de petits nombres premiers, montrer que le polynˆome P(X) =X⁴+ 5X²+ 4X+ 3 est irr´eductible dansQ[X].

Exercice 9 : Soientp, l deux nombres premiers impairs, tels quel≡2 [3] et la classe dep modulol engendre (Z/lZ)^∗.

Montrer queX^l+1−X+pest irr´eductible dansZ[X].

[Indication : on pourra consid´erer les r´eductions de ce polynˆome modulo 2 et p.]

Exercice 10 : Soit p un nombre premier et Fq un corps fini de caract´eristique p et de cardinal q.

Soitn un entier premier `a p.

a) Montrer que Fq^d contient un ´el´ement d’ordre multiplicatif nsi et seulement sindiviseq^d−1.

b) Montrer que les polynˆomes (φ_d)_d|n sont deux-`a-deux premiers entre eux surFq.

c) Montrer queφnse d´ecompose dansFq[X] en un produit de^ϕ(n)_d polynˆomes irr´eductibles de degr´e d, o`u dest l’ordre deq modulon.

Exercice 11 : Soit n≥2 un entier.

a) Soit p un nombre premier. Montrer que p ≡ 1 [n] si et seulement si Fp contient une racine primitiven-i`eme de l’unit´e.

b) Soitk∈N, etpun diviseur premier deφ_n(k!). Montrer quep > ket soitpdivisen, soitp≡1 [n].

c) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiersp≡1 [n].

Exercice 12 : Soit Irr(n, q) l’ensemble des polynˆomes irr´eductibles unitaires de degr´e n sur Fq et I(n, q) le cardinal de cet ensemble.

a) Montrer que siddivisen, alors pour tout P ∈Irr(d, q),P diviseX^qn−X.

b) Montrer que siP ∈Irr(d, q) divise X^qn−X, alors d divise n.

c) En d´eduire la formule

X

d|n

dI(d, q) =qⁿ.

d) On d´efinit la fonction de M¨obius µ : N^∗ → {−1,0,1} par µ(n) = (−1)^r si n est le produit de r nombres premiers distincts, et par µ(n) = 0 si n admet un facteur carr´e. Montrer que si f, g : N^∗ → C sont deux fonctions, on a f(n) = P

d|ng(d) pour tout n si et seulement si g(n) =P

d|nµ(ⁿ_d)f(d) pour toutn.

e) En d´eduire la formule

I(n, q) = 1 n

X

d|n

µ n

d

q^d.

f) Montrer que pour tout n≥1,I(n, q)≥1.

g) Montrer le “th´eor`eme des nombres premiers pour les polynˆomes” : I(n, q) = qⁿ

n +O qⁿ² n

!

quandn tend vers +∞.

[remarque : si on posex=qⁿ, cette formule devientI(x, q) = _log^x

q(x)+O ^√

x log_q(x)

, qui est l’exacte analogue de la forme pr´ecise (conjectur´ee !) du classique th´eor`eme des nombres premiers.]

Exercice 13 : Soit F un corps fini de cardinal q = p^r. Pour tout Q ∈ F[X₁, . . . , X_n], on pose S(Q) :=P

x∈FⁿQ(x)∈F.

a) Pour a₁, . . . , a_n∈N, calculerS(X₁^a1. . . X_n^an).

b) Soient P1, . . . , Pr des polynˆomes de F[X1, . . . , Xn], de degr´esd1, . . . , dr. On note Z :={x∈Fⁿ: P₁(x) =· · ·=P_r(x) = 0}.

SiP(x) :=Qr

i=1(1−Pi(x)^q−1), exprimerS(P) en fonction du cardinal #Z de Z.

c) En d´eduire que sid1+· · ·+dr < n, alors #Z est multiple dep(th´eor`eme de Chevalley-Warning).

d) En d´eduire que si les Pi sont des polynˆomes homog`enes non constants (ou au moins si les Pi

sont sans terme constant) et sid1+· · ·+dr< n, alors le syst`emeP1(x) =· · ·=Pr(x) = 0 a une solution non nulle dansFⁿ.

On dit que le corpsF est un corpsC1.

e) Montrer l’application suivante (th´eor`eme de Erd¨os-Ginzburg-Ziv) : pour tout n≥1, pour tout a1, . . . , a2n−1 ∈ Z, il existe un sous-ensemble I ⊂ {1, . . . ,2n−1} de cardinal exactement ntel queP

i∈Ia_i≡0 [n].

Exercice 14 : On appelle “alg`ebre `a division” (ou “corps gauche”) tout anneau non nul A (pas forc´ement commutatif) dans lequel tout ´el´ement non nul est inversible.

Dans tout l’exercice, on fixe une alg`ebre `a division finieA. On souhaite montrer queAest commutatif, c’est-`a-dire que A est un corps (th´eor`eme de Wedderburn).

a) Montrer que le centreZ deA est un corps fini de cardinal q, et queAest unZ-espace vectoriel de dimensionn.

b) Supposonsn >1, i.e. Anon commutative. ´Ecrire l’´equation aux classes pour l’action de A^∗ sur lui-mˆeme par conjugaison. En d´eduire que qⁿ−1 = q−1 +Pqⁿ−1

q^d−1, la somme portant sur un certain nombre de diviseurs stricts den.

c) En d´eduire queφ_n(q) diviseq−1, o`uφ<sub>n</sub> est le n-i`eme polynˆome cyclotomique.

d) En d´eduire une contradiction.

e) Conclure.

Exercice 15 : L’objectif de cet exercice est de montrer une partie du r´esultat suivant.

Soit (Pi)i∈Iune famille de polynˆome deZ[X1, . . . , Xn]. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes : – les polynˆomes (P_i)i∈I ont un z´ero commun dans Cⁿ.

– il existe un ensemble infini de nombres premiers p tels que les (P_i)i∈I aient un z´ero commun dans Fⁿ_p.

– pour tout nombre premier p assez grand, il existe un corps de caract´eristique p o`u les (P_i)i∈I ont un z´ero commun.

On va montrer que la deuxi`eme assertion implique la premi`ere, et que la troisi`eme implique ´egalement la premi`ere.

Pour ce faire, on r´epondra aux questions suivantes :

a) (Nullstellensatz faible) : soient (Q_j)j∈J des polynˆomes dans C[X₁, . . . , X_n], sans z´ero commun dansCⁿ.

i) Montrer que, pour tout (a1, . . . , an)∈ Cⁿ, l’id´eal (X1−a1, . . . , Xn−an) ⊂C[X1, . . . , Xn] est maximal.

[Indication : on pourra comparer cet id´eal avec le noyau du morphismeC[X1, . . . , Xn]→C d´efini parP 7→P(a₁, . . . , a_n)]

ii) Soit m ⊂ C[X1, . . . , Xn] un id´eal maximal. D´efinissons pour 1 ≤ i ≤ n, φi : C[Xi] → C[X₁, . . . , X_n]/m=:K. Montrer queK =C, puis que Ker(φ_i) est un id´eal premier non nul, donc maximal. En d´eduire qu’il existe (a1, . . . , an)∈Cⁿtels quem= (X1−a₁, . . . , Xn−a_n).

iii) En d´eduire que l’id´eal engendr´e par les (Q_j)j∈J est C[X₁, . . . , X_n] tout entier.

b) Soit K/k une extension de corps. Soient (ai,j)0≤i≤n,1≤j≤n des ´el´ements de k. Supposons qu’il existe (x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ tels que P_n

i=1a_i,jx_i =a_0,j pour tout 1≤j≤n.

Montrer qu’il existe (y1, . . . , yn)∈kⁿ tels quePn

i=1ai,jyi=a0,j pour tout 1≤j ≤n.

c) Soient (P_i)i∈I une famille de polynˆome deZ[X₁, . . . , X_n] sans z´ero commun dansCⁿ. En utilisant le Nullstellensatz, montrer qu’il existe un ensemble finiE de nombres premiers tel que pour tout p /∈E, pour tout corpsF de caract´eristiquep, les (Pi)i∈I n’aient pas de z´ero commun dansF. d) En d´eduire la r´eponse `a la question initiale.

Exercice 16 : Pour quels nombres premiers p la classe de l’entier 7 modulop est-elle un carr´e ? Exercice 17 : Expliciter la fonction p7→

3 p

.

En d´eduire que la condition “3 est un carr´e modulo p” ne d´epend que de la classe dep modulo 12.

Exercice 18 : Soitn∈Z. Montrer que l’entiern²+n+ 1 n’admet aucun diviseur de la forme 6k−1, avec k∈Z\ {0}.

[Indication : on pourra montrer que sidest un diviseur den²+n+ 1, alors−3 est un carr´e mod. d.]

Exercice 19 : Soit p un nombre premier de Fermat, i.e. de la formep= 2²ⁿ+ 1, avec n∈N.

Montrer que la classe de 3 dansZ/pZengendre (Z/pZ)^∗ d`es quep6= 3. Mˆeme question en rempla¸cant 3 par 5, puis par 7.

Exercice 20 : Soit p un nombre premier impair.

a) Soitn∈Npremier `a p. Montrer qu’il existex, y∈Zpremiers entre eux tels quep|x²+ny² si et seulement si

−n p

= 1.

b) V´erifier la formule suivante pour tout w, x, y, z, n∈Z:

(x²+ny²)(z²+nw²) = (xz±nyw)²+n(xw∓yz)².

c) En d´eduire que si un entier N s’´ecrit N = x² + ny², et si un nombre premier q|N s’´ecrit q=z²+nw² (w, x, y, z∈Z), alors l’entier ^N_q s’´ecrit aussi ^N_q =a²+nb² (a, b∈Z).

d) On suppose que n= 1,2,3 et qu’il existea, b∈Zpremiers entre eux tels quep|a²+nb². i) Montrer que l’on peut supposer que|a|,|b|< ^p₂ eta²+nb² < p².

ii) En d´eduire qu’il existex, y∈Ztels que p=x²+ny². e) En d´eduire les ´enonc´es suivants :

i) un nombre premier impairpest somme de deux carr´es d’entiers si et seulement sip≡1 [4].

ii) un nombre premier impair p s’´ecrit sous la forme x² + 2y² (x, y ∈ Z) si et seulement si p≡1,3 [8].

iii) un nombre premier p s’´ecrit sous la forme x²+ 3y² (x, y∈ Z) si et seulement sip = 3 ou p≡1 [3].

Exercice 21 : Une autre preuve de la loi de r´eciprocit´e quadratique.

Soient p, q deux nombres premiers impairs distincts. On d´efinit le groupe G par G := (Z/pZ)^∗ × (Z/qZ)^∗. On noteU le sous-groupe deGform´e des deux ´el´ements (1,1) et (−1,−1). Enfin, on d´efinit H comme le quotientH :=G/U. On pose alorsπ :=Q

x∈Hx∈H.

a) Montrer qu’un syst`eme de repr´esentants deHdansGest donn´e par les ´el´ements (i, j)∈G, avec i= 1,2, . . . , p−1 et j= 1,2, . . . ,^q−1₂ .

b) En d´eduire que

π=

(p−1)!^q−12 ,(q−1)!^p−12 (−1)^{p−12 q−12}

modU .

c) Montrer qu’un syst`eme de repr´esentants de H dansG est donn´e par les ´el´ements (k, k)∈G, o`u kd´ecrit les entiers entre 1 et ^pq−1₂ premiers `a pq.

d) En d´eduire que

π=

(p−1)!^q−12 q

p

,(q−1)!^p−12 p

q

mod U . e) En d´eduire la loi de r´eciprocit´e quadratique :

p q

q p

= (−1)^{p−12 q−12} .

Exercice 22 : Encore une autre preuve de la loi de r´eciprocit´e quadratique.

a) Soitp un nombre premier impair, a∈Z tel quepne divise pas a. Notonsr1, . . . , r^p−1

2 les restes des divisions euclidiennes dea,2a, . . . ,^p−1₂ aparp. Montrer que

a p

= (−1)^t, o`utest le nombre de r<sub>i</sub> strictement sup´erieurs `a ^p−1₂ .

b) Soitq premier impair distinct dep. Avec les notations de la question pr´ec´edente poura=q, on noteu la somme desri ≤ ^p−1₂ etv la somme desri > ^p−1₂ .

i) Montrer queu+ (pt−v) = ^p2₈⁻¹. ii) En d´eduire quet≡ ^p2₈⁻¹ +P

p−1 2

j=1r_j [2].

iii) Montrer quet≡P

p−1 2

j=1E(^jq_p) [2] (o`uE(.) d´esigne la partie enti`ere).

iv) En d´eduire la formule p

q q p

= (−1)^P

p−1 2

j=1 E(^jq_p)+P

q−1 2 k=1 E(^kp_q )

.

v) En d´eduire la loi de r´eciprocit´e quadratique.