Probl` eme 1 − Probabilit´ es

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Concours blanc

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Probl` eme 1 − Probabilit´ es

Un mobile se d´eplace al´eatoirement le long d’un axe horizontal d’origine O, sur des points de coordonn´ees enti`eres, positives ou nulles.

Les d´eplacements sont effectu´es selon le protocole suivant :

• `a l’instant z´ero, le mobile est sur l’origine O d’abscisse 0 ;

• pour tout entier naturel n, si le mobile se trouve `a l’instant n sur le point d’abscisse k (0≤k ≤n), alors il sera `a l’instantn+ 1 :

– soit sur le point d’abscisse k+ 1 avec la probabilit´e 1 3; – soit sur le point O avec la probabilit´e 2

3.

Pour tout entier naturel n, soit X_n la variable al´eatoire ´egale `a l’abscisse du mobile `a l’instant n. Ainsi, X₀ = 0.

On note E(X_n) l’esp´erance math´ematique de la variable al´eatoireX_n. 1. V´erifier que X₁ suit une loi de Bernoulli de param`etre 1

3. Que vaut E(X₁) ? 2. (a) Donner la loi de la variable al´eatoire X₂.

Indication : On pourra remarquer que ([X₁ = 0],[X₁ = 1]) forment un syst`eme complet d’´ev´enements.

(b) Calculer E(X₂).

3. D´eterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable al´eatoire X_n.

4. Soit n∈N^∗ et soit k ∈J1, nK. On consid`ere les ´ev´enements [Xn =k] et [Xn−1 =k−1].

(a) ´Etablir l’inclusion d’´ev´enements suivante : [Xn =k]⊂[Xn−1 =k−1].

(b) En d´eduire l’´egalit´e : [X_n =k] = [X_n=k]∩[Xn−1 =k−1].

1

(c) ´Etablir l’´egalit´e :P([X_n =k]) = 1

3 P([Xn−1 =k−1]).

(d) D´eduire du r´esultat pr´ec´edent que l’on a :P([Xn = 0]) = 2 3.

5. (a) En utilisant la question 4.(c), montrer `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence que pour tout entiern sup´erieur ou ´egal `a 1 on a :

∀k∈J0, nK P([X_n=k]) = 1

3 k

P([X_n−k = 0]).

(b) En d´eduire que pour tout entier natureln, l’expression deP([X_n =n]).

(c) Donner pour tout entier n∈N^∗ la loi de la variable al´eatoire X_n.

6. (a) En utilisant la d´efinition deE(X_n) et la question 4.(c), montrer que pour tout entier n∈N^∗ :

E(X_n) = 1 3

n

X

k=1

k P([Xn−1 =k−1]).

(b) En d´eduire que pour tout entier n∈N^∗ : E(Xn) = 1

3 E(Xn−1) + 1 3. (c) D´eterminer l’expression de E(X_n) en fonction de n.

Probl` eme 2 − Analyse (d’apr` es le sujet du concours A−TB 2006)

Soit f une fonction continue sur l’intervalleI =]0,+∞[. On d´efinit la fonction G_f deI dans R par :

∀x∈I G_f(x) = Z 3x

x

f(t) t dt.

1. (a) Montrer que la fonction G_f est d´erivable sur I.

Indication : On pourra introduire une primitive de la fonctiont 7→ f(t) t . (b) D´eterminer la fonction G⁰_f.

2. (a) On d´efinit la fonction f₁ de I dans R par :

∀x∈I f₁(x) = 1.

D´eterminer la fonction G₁ =G_f1.

(b) On d´efinit la fonction f₂ de I dans R par :

∀x∈I f₂(x) = ln(x).

D´eterminer la fonction G₂ =G_f2.

3. Dans la suite du probl`eme, H d´esignera la fonction d´efinie sur I `a valeurs dans Rpar :

∀x∈I H(x) = Z 3x

x

cos(t) t dt.

2

(a) D´eterminer les signes de Hπ 6

et de Hπ 2

. (b) Montrer que : ∀x∈I |H(x)| ≤ln(3).

4. Soit E la fonction d´efinie par :

E: I →R, t7→ 1 t²

Z t 0

sin(u)(t−u)²

2 du.

(a) Montrer que :

∀t∈I |E(t)| ≤ t 6. (b) D´emontrer que :

∀t∈I cos(t) t = 1

t − t

2 +t E(t).

(c) D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que la fonction E est continue sur R^+× et prolongeable par continuit´e sur R⁺.

(d) En d´eduire que H(x) tend vers ln(3) quand x tend vers 0 par valeurs sup´erieures.

Notation : On notera d´esormais h le prolongement par continuit´e de H `a [0,+∞[ obtenu en posant : h(0) = ln(3).

5. Montrer que h est d´erivable en 0.

6. (a) Montrer que :

∀x∈I h(x) = sin(3x)

3x −sin(x) x +

Z 3x x

sin(t) t² dt.

(b) Montrer que : Z 3x

x

sin(t)

t² dt tend vers 0 quand x tend vers +∞.

(c) En d´eduire la limite de h(x) quand x tend vers +∞.

7. D´eterminer les intervalles sur lesquels la fonction h est croissante et ceux sur lesquelles elle est d´ecroissante.

Probl` eme 3 − Alg` ebre lin´ eaire

Soient (u_n)_n∈N, (v_n)_n∈N et (w_n)_n∈N les trois suites d´efinies par leur premier terme : u₀ = 1 ; v₀ = 0 ; w₀ = 0

et les relations de r´ecurrence :







un+1 = 3un−vn+wn

v_n+1 =u_n+ 2v_n w_n+1 =v_n+w_n valables pour toutn ∈N.

On note A la matrice





3 −1 1

1 2 0

0 1 1



 et on poseX_n=



 u_n v_n w_n



 pour toutn ∈N.

3

1. (a) Reconnaˆıtre, pour tout n∈N, le produit AX_n.

(b) En d´eduire une expression de X_n en fonction de A, X₀ et de l’entier n, pour tout n∈N.

2. On notef l’endomorphisme deR³ canoniquement associ´e `aA, i.e. tel queAsoit la matrice def dans la base canonique B= (e₁, e₂, e₃) de R³.

(a) L’endomorphisme f deR³ est-il un isomorphisme ?

(b) D´eterminer le vecteur e⁰₁ de R³ tel que f(e⁰₁) = 2e⁰₁ et dont la troisi`eme composante est 1.

(c) D´eterminer le vecteur e⁰₂ deR³ tel quef(e⁰₂) = e⁰₁+ 2e⁰₂ et dont la troisi`eme compo- sante est−1.

(d) D´eterminer le vecteur e⁰₃ deR³ tel quef(e⁰₃) = e⁰₂+ 2e⁰₃ et dont la troisi`eme compo- sante est 2.

(e) Montrer que B⁰ = (e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃) est une base de R³.

(f) Donner la matrice T de l’endomorphisme f dans la baseB⁰. 3. (a) On note N la matrice





0 1 0 0 0 1 0 0 0



. Calculer N²,N³ et en d´eduire la valeur de N^k pour toutk ∈N.

(b) ´Ecrire T comme une combinaison lin´eaire des matrices I₃ et N, puis appliquer la formule du binˆome de Newton pour d´eterminer une expression de la matrice Tⁿ en fonction de l’entier natureln, pour tout n∈N.

4. SoitP la matrice de passage de la base B `a la base B⁰.

(a) Exprimer A en fonction deT, P etP⁻¹, puisAⁿ en fonction des mˆemes matrices et de l’entier natureln.

(b) Donner la matrice P, puis calculer P⁻¹.

(c) D´eterminer les expressions de u_n, v_n et w_n en fonction de l’entier naturel n, pour tout n∈N.

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