Probl` eme 1

Licence de Math´ematiques2.

Universit´e d’Artois.

P. Lef`evre

Probl` eme 1

Autour des fonctions convexes.

Soit I un intervalle (dans R) non vide. On rappelle qu’une fonctionf :I −→R estconvexe si

∀x, y ∈I, ∀t∈[0,1], f tx+ (1−t)y

≤tf(x) + (1−t)f(y).

Exemples.

Soient p >0 et ψ_p(x) = x^p pourx∈R⁺.

1) On suppose que ψ_p est convexe. Montrer que n´ecessairement p ≥ 1 (Indication: on pourra prendre y= 0 et x= 1).

2) On suppose que p≥1. Soientx < y dans R⁺. On note ∆(t) = ψ_p tx+ (1−t)y

−tψ_p(x)−(1−t)ψ_p(y) o`ut ∈[0,1].

(i) Calculer ∆⁰⁰(t) pour t∈]0,1[ et dresser un tableau de variation de ψ_p. (ii) En d´eduire que ψ_p est convexe.

Partie I. Propri´et´es des fonctions convexes.

Dans toute cette partie, la fonction f :I −→R est convexe.

1) Montrer que pour tout n ≥1, on a

∀x₁, . . . , x_n ∈I, ∀t₁, . . . , t_n∈[0,1] v´erifiant t₁+· · ·+t_n = 1, fXⁿ

j=1

t_jx_j

≤

n

X

j=1

t_jf x_j .

2) Soient x < y < z∈I.

(i) Montrer que f(y)−f(x)

y−x ≤ f(z)−f(x) z−x · (ii) Montrer que f(z)−f(x)

z−x ≤ f(z)−f(y) z−y ·

3) (i) Montrer que pour tout x ∈ I, la fonction d´efinie par τ(u) = f(u)−f(x) u−x o`u u∈I\ {x}, est croissante.

(ii) En d´eduire que pour tout x dans l’int´erieur de I la d´eriv´ee `a droite f<sub>d</sub><sup>0</sup>(x) et la d´eriv´ee `a gauche f_g⁰(x) existent et v´erifient f_g⁰(x)≤f_d⁰(x).

(iii) Que se passe-t-il au bord deI ?

(iv) Soient x < y∈I. Montrer que^◦ f_d⁰(x)≤ f(y)−f(x)

y−x ≤f_g⁰(y).

4) Montrer que f est continue sur l’int´erieur de I.

5) On appelle N l’ensemble des points x deI tels que f est non d´erivable en x.

On suppose que N est non vide.

(i) Montrer que l’on peut d´efinir une applicationθ :N →Qavecθ(x)∈]f_g⁰(x), f_d⁰(x)[.

(ii) Justifier queθ est injective et en d´eduire queN est au plus d´enombrable.

Partie II. Caract´erisations.

Dans cette partie, on consid`ere une fonction f :I −→R. 1) Montrer que si f(y)−f(x)

y−x ≤ f(z)−f(y)

z−y pour tousx < y < z ∈I, alorsf est convexe.

2) Dans cette question, la fonction f est d´erivable sur I. Montrer que f est convexe si et seulement si f⁰ est croissante.

3) Dans cette question, la fonctionf est deux fois d´erivable surI. Montrer quef est convexe si et seulement sif⁰⁰ ≥0.

Partie III. Applications.

1) (i) Retrouver les r´esultats de la partie Exemples.

(ii) Justifier que la fonction exponentielle est convexe.

(iii) Justifier que la fonction −ln est convexe.

2) Soient x₁, . . . , x_n >0 (avec n ≥1). Montrer l’in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique:

√n

x₁· · ·x_n≤ 1 n

n

X

j=1

x_j.

3) Soient I un intervalle, f : [0,1] −→ I continue et ψ : I −→ R convexe. Montrer l’in´egalit´e de Jensen:

ψ Z 1

0

f(t)dt

≤ Z 1

0

ψ◦f(t)dt.

2