MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Dans cet exercice, il sera utile de considérer diverses quantités conjuguées ainsi que des modules de nombres complexes. On utilisera librement le fait que √
2 est irrationnel.
On dira qu'une partie non vide F de C est un sous-corps de C si et seulement si les propriétés suivantes sont vériées :
∀(x, y) ∈ F 2 :x + y ∈ F, xy ∈ F
∀x ∈ F : − x ∈ F
∀x ∈ F \ {0} : 1 x ∈ F
Si F est un sous-corps de C, on dira qu'une partie A de C est un sous-corps de F si et seulement si A et un sous-corps de C et A ⊂ F .
Si B est un sous-corps de C et A un sous-corps de B , on désigne par G A (B) l'ensemble des bijections f de B dans lui même vériant :
∀a ∈ A :f (a) = a
∀(b, b 0 ) ∈ B :f (b + b 0 ) = f(b) + f (b 0 ), f (bb 0 ) = f (b)f (b 0 ) 1. Montrer que l'ensemble
E = n a + b √
2, (a, b) ∈ Q 2 o
est un sous-corps de R.
2. On dénit une partie F de C par : F = n
a + b √
2 + cj + dj √
2, (a, b, c, d) ∈ Q 4 o
avec j = e 2iπ/3 .
a. Montrer que pour tout z ∈ F , il existe un unique quadruplet (a, b, c, d) ∈ Q 4 tel que
z = a + b √
2 + cj + dj √ 2
b. Montrer que F est un sous-corps de C. Soit z et z 0 deux éléments de F , préciser les coecients A(z, z 0 ) , B(z, z 0 ) , C(z, z 0 ) , D(z, z 0 ) tels que
zz 0 = A(z, z 0 ) + B(z, z 0 ) √
2 + C(z, z 0 )j + D(z, z 0 )j √ 2 c. Préciser l'inverse de 1 + √
2 + j + j √ 2
3. Soit A un sous-corps de B . Montrer que G A (B ) est un sous-groupe du groupe des bijections de B dans B pour la composition des applications.
4. Soit f un élément de G Q (F) . Quelles valeurs peuvent prendre f ( √
2) et f (j) ? Montrer que tout élément f de G Q (F ) est déterminé par la donnée de f ( √
2) et f (j) . En déduire les éléments de G Q (F ) puis de G E (F ) .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai AsscorpsMPSI B 29 juin 2019
Corrigé
1. L'ensemble E contient 1 , il est clairement stable pour l'addition et la symétrisation.
Comme
(a + b √
2)(a 0 + b 0 √
2) = aa 0 + 2bb 0 + (ab 0 + ba 0 ) √ 2
l'ensemble E est aussi stable pour la multiplication. Le seul point qui mérite d'être détaillé est la stabilité pour l'inversion.
Lorsque x = a + b √
2 n'est pas nul, a 2 − 2b 2 est un rationnel. Ce rationnel est non nul car √
2 est irrationnel. L'inverse de x est bien dans F car il s'obtient à l'aide de la quantité conjuguée soit
x −1 = a a 2 − 2b 2
| {z }
∈ Q
+ (−b) a 2 − 2b 2
| {z }
∈ Q
√ 2.
2. a. Si un même z ∈ F admet deux écritures distinctes, il existe des nombres rationnels a , b , c , d tels que
a + b √
2 + cj + dj √
2 = 0 ⇒
( a + b √ 2 = 0 c + d √
2 = 0 car j n'est pas réel
⇒
( a = b = 0 c = d = 0 car √
2 est irrationnel
b. Les stabilités pour l'addition et la symétrisation sont évidentes. Pour la multipli- cation, la stabilité résulte du calcul explicite du produit.
z = a + b √
2 + cj + dj √
2, z 0 = a 0 + b 0 √
2 + c 0 j + d 0 j √ 2
zz 0 = (aa 0 + 2bb 0 − cc 0 − 2dd 0
| {z }
A(z,z
0)∈Q
) + (ab 0 + ba 0 − cd 0 − dc 0
| {z }
B(z,z
0)∈Q
) √ 2
+(ac 0 + 2bd 0 + ca 0 − cc 0 + 2db 0 − 2dd 0
| {z }
C(z,z
0)∈ Q
)j +(ad 0 + bc 0 − cd 0 + cb 0 + da 0 − dc 0
| {z }
D(z,z
0)∈ Q
)j √ 2
Le seul point délicat est encore la stabilité pour l'inversion. Il ne faut surtout pas chercher à expliciter l'inverse d'un élément non nul quelconque
z = a + b √
2 + cj + cj √ 2 ∈ F.
On va seulement montrer qu'il est dans F en utilisant les stabilités déjà à notre disposition. Remarquons d'abord que F contient E et z car j = −1 − j. Ensuite
|z| 2 = (a + b √ 2 − c
2 − d 2
√ 2
| {z }
∈E
) 2 + 3
4 (c + d √ 2
| {z }
∈E
) 2
ceci montre que |z| 2 ∈ E ⊂ F donc son inverse aussi. On conclut en écrivant
z −1 =
|z| 2 −1
z .
c. Le nombre à inverser se factorise ce qui facilite le calcul : z = 1 + √
2 + j + j √
2 = (1 + √
2)(1 + j) = −(1 + √ 2)j
⇒ z −1 = −(−1 + √
2)j = j − j √ 2 3. On doit vérier :
Pour tout f et g dans G A (B) , f ◦ g ∈ G A (B) c'est à dire : ∀a ∈ A : f ◦ g(a) = a .
∀(b, b 0 ) ∈ B 2 : f ◦ g(b + b 0 ) = f ◦ g(b) + f ◦ g(b 0 ), f ◦ g(bb 0 ) = f ◦ g(b) f ◦ g(b 0 ) Pour tout f dans G A (B) , la bijection réciproque f −1 ∈ G A (B) c'est à dire :
∀a ∈ A : f −1 ◦ g(a) = a .
∀(b, b 0 ) ∈ B 2 : f −1 (b + b 0 ) = f −1 (b) + f −1 (b 0 ), f −1 (bb 0 ) = f −1 (b) f −1 (b 0 )
Toutes ces relations sont immédiates à partir des dénitions sauf les dernières pour lesquelles la bijectivité est capitale
f (f −1 (b) + f −1 (b 0 )) = f (f −1 (b)) + f(f −1 (b)) car f est un morphisme
= b + b 0 = f (f −1 (b + b 0 )) par dénition de la bijection réciproque
⇒ f −1 (b) + f −1 (b 0 ) = f −1 (b + b 0 ) par dénition de la bijection réciproque Le raisonnement est le même pour le produit.
4. Comme f est un automorphisme qui laisse les rationnels invariants, 0 = f (0) = f (( √
2) 2 − 2) = f ( √
2) 2
− 2 donc f ( √
2) = ± √
2 . De même 1 + f (j) + f (j) 2 = 0 donc f (j) ∈ {j, j 2 } = {j, −1 − j} . Lorsque f ( √
2) et f(j) sont xés, l'image d'un autre z = a + b √
2 + cj + cj √
2 ∈ F est xée avec
f (z) = a + bf ( √
2) + cf(j) + cf(j)f ( √ 2)
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à cause des propriétés d'automorphisme de f . On en déduit que G Q (F ) contient au plus 4 éléments.
Vérions que les quatre couples d'images possibles correspondent eectivement à des automorphismes.
Cas √ 2 → √
2 , j → j . Cela correspond évidemment à un automorphisme : l'identité de F . On le note id .
Cas √ 2 → √
2 , j → −1 − j . Cela correspond à un automorphisme : la restriction à F de la conjugaison complexe. On le note c .
Cas √
2 → − √
2 , j → j . Dénissons l'application c 0 par z = a + b √
2 + cj + cj √
2 → c 0 (z) = z = a − b √
2 + cj + cj √ 2
Cette fonction conserve clairement l'addition mais ce n'est pas évident pour la mul- tiplication. Cela résulte des formules de la question 1. Prendre l'image par c 0 , c'est remplacer b par −b et d par −d , on en déduit :
A(c 0 (z), c 0 (z 0 )) =A(z, z 0 ) B(c 0 (z), c 0 (z 0 )) = − B(z, z 0 ) C(c 0 (z), c 0 (z 0 )) =C(z, z 0 ) D(c 0 (z), c 0 (z 0 )) = − D(z, z 0 )
⇒ c 0 (zz 0 ) = c 0 (z)c 0 (z 0 )
Cas √
2 → − √
2 , j → −1 − j . Il est réalisé par c ◦ c 0 . On en déduit donc nalement :
G Q (F ) = {id, c, c 0 , c ◦ c 0 }
Tout f de G E (F) est un morphisme de F qui laisse E invariant, il laisse donc Q invariant donc G E (F ) ⊂ G Q (F ) . Parmi les quatre éléments de G Q (F ) , seuls id et c laissent E invariant. On a donc :
G E (F) = {id, c} .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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