Universit´e de NANTES - D´epartement de Math´ematiques LICENCE 3 de Math´ematiques - Th´eorie de la mesure et probabilit´es
Examen-1`ere session- 22 mai 2008 1h30 – sans documents
Avertissement: Tous les arguments doivent ˆetre clairement explicit´es, d´etaill´es et r´edig´es avec soin.
Exercice 1
Soit un ensemble Ω et S = {A1,· · · , AN} une partition de Ω. On d´esigne par σ(S) la tribu engendr´ee parS.
1) Soit B⊆Ω. Montrer queB ∈σ(S) si et seulement si il existe une partie J de {1,2,· · · , N} telle que B=∪j∈JAj.
2) Soit f une application de Ω dans R. Montrer que f est mesurable si et seulement si f est constante sur chaqueAj pour toutj = 1,· · · , N.
Exercice 2
On d´esigne par{Ω,A, µ} un espace mesur´e, f : Ω→ [0,+∞] une fonction int´egrable telle que R
Ωf dµ=c.
1) Montrer quef <+∞,µ-presque partout.
2) Montrer que pour toutx∈R+, ln(1 +x)≤x.
3) En d´eduire que
n→+∞lim Z
Ω
nln
1 +f n
dµ=c.
4) Montrer que pour toutα <1,
n→+∞lim Z
Ω
nln
1 + f
n α
dµ= +∞.
Exercice 3
On d´esigne par{Ω,A, P}un espace probabilis´e etX une variable al´eatoire r´eelle sur cet espace.
1) On suppose que kXk∞≤M, 0 < M <+∞. Montrer que pour tout r´eelp >0 et pour tout ε >0 on a
E|X|p−εp
Mp ≤P[|X| ≥ε]≤ E|X|p
εp (1)
2) On rappelle qu’une suite de variables al´eatoires {Xn}n converge en probabilit´e vers une variable al´eatoireX si pour toutε >0, lim
n→+∞P{|Xn−X|> ε}= 0.
Soit {Xn}n une suite de variables al´eatoires r´eelles telle que kXnk∞ ≤ M pour tout n ≥ 1.
Montrer queXn converge vers X en probabilit´e si et seulement si lim
n→+∞E|Xn−X|= 0.
3) Soit{Xn}nune suite de variables al´eatoires r´eelles (quelconques) qui converge en probabilit´e vers un nombre r´eel a. Montrer que pour toute fonction f bor´elienne et born´ee de RdansRet continue ena,f(Xn) converge en probabilit´e versf(a). En d´eduire que lim
n→+∞E(f(Xn)) =f(a).
1
