MPSI B Année 2018-2019. DM 8 pour le 18/01/19 29 juin 2019
Problème.
Dans cet exercice, il sera utile de considérer diverses quantités conjuguées ainsi que des modules de nombres complexes. On utilisera librement le fait que √
2 est irrationnel.
On dira qu'une partie non vide F de C est un sous-corps de C si et seulement si les propriétés suivantes sont vériées :
∀(x, y) ∈ F
2:x + y ∈ F, xy ∈ F
∀x ∈ F : − x ∈ F
∀x ∈ F \ {0} : 1 x ∈ F
Si F est un sous-corps de C, on dira qu'une partie A de C est un sous-corps de F si et seulement si A et un sous-corps de C et A ⊂ F .
Si B est un sous-corps de C et A un sous-corps de B , on désigne par G
A(B) l'ensemble des bijections f de B dans lui même vériant :
∀a ∈ A :f (a) = a
∀(b, b
0) ∈ B :f (b + b
0) = f(b) + f (b
0), f (bb
0) = f (b)f (b
0) 1. Montrer que l'ensemble
E = n a + b √
2, (a, b) ∈ Q
2o
est un sous-corps de R.
2. On dénit une partie F de C par : F = n
a + b √
2 + cj + dj √
2, (a, b, c, d) ∈ Q
4o
avec j = e
2iπ/3.
a. Montrer que pour tout z ∈ F , il existe un unique quadruplet (a, b, c, d) ∈ Q
4tel que
z = a + b √
2 + cj + dj √ 2
b. Montrer que F est un sous-corps de C. Soit z et z
0deux éléments de F , préciser les coecients A(z, z
0) , B(z, z
0) , C(z, z
0) , D(z, z
0) tels que
zz
0= A(z, z
0) + B(z, z
0) √
2 + C(z, z
0)j + D(z, z
0)j √ 2 c. Préciser l'inverse de 1 + √
2 + j + j √ 2
3. Soit A un sous-corps de B . Montrer que G
A(B ) est un sous-groupe du groupe des bijections de B dans B pour la composition des applications.
4. Soit f un élément de G
Q(F) . Quelles valeurs peuvent prendre f ( √
2) et f (j) ? Montrer que tout élément f de G
Q(F ) est déterminé par la donnée de f ( √
2) et f (j) . En déduire les éléments de G
Q(F ) puis de G
E(F ) .
Exercice.
Soit I un intervalle de R et n un entier naturel non nul. On appelle zéro d'une fonction dénie dans I un élément de I en lequel la fonction prend la valeur nulle.
1. Soit f ∈ C
∞(I) admettant n + 1 zéros distincts. Montrer que f
(n)admet un zéro.
2. Soit f ∈ C
∞(I) telle que f
(n)soit bornée avec sup
I|f
(n)| = M
net admettant n zéros distincts a
1, a
2, · · · , a
n. Montrer que :
∀x ∈ I : |f (x)| ≤ |x − a
1| · · · |x − a
n| M
nn!
On pourra considérer des fonctions
ϕ
x: t → (t − a
1) · · · (t − a
n)K
x− f (t) avec x ∈ I et K
xréel.
3. Soit f ∈ C
∞(I) telle que f
(n)soit bornée avec sup
I|f
(n)| = M
n. Soit a
1, a
2, · · · , a
ndes éléments deux à deux distincts dans I . Pour i entre 1 et n , on note
L
i= Y
j∈{1,···,n}\{i}
X − a
ja
i− a
jMontrer qu'il existe un unique polynôme P ∈ R
n−1[X ] tel que
∀i ∈ {1, · · · , n}, P e (a
i) = f (a
i) Montrer que
∀x ∈ R ,
P e (x) − f (x)
≤ |x − a
1| · · · |x − a
n| M
nn!
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