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. Exercice 2. D´ eterminer si les s´ eries suivantes convergent ou non (utiliser une comparaison).

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Academic year: 2021

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Texte intégral

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UGA-MAT404-TD4 S´ eries num´ eriques 2021 Exercice 1.

Soit λ ∈ C diff´ erent de 1. D´ emontrer par r´ ecurrence sur k la formule : 1 + λ + . . . + λ k = 1−λ 1−λ

k+1

. Exercice 2. D´ eterminer si les s´ eries suivantes convergent ou non (utiliser une comparaison).

1. P

n≥1 sin(n)

n

2

2. P

n≥1 n

−1/2

2

n

3. P

n≥1 ln(n)

n

4. P

n≥1 2

n

n!

Exercice 3. Pour chaque s´ erie ci-dessous, d´ eterminer si elle converge.

1. ( P

n≥1 e

n12

− cos( n 1 )) 2. ( P

n≥1 n

32

(e

n1

1 n − 1)) 3. ( P

n≥1

1−cos(

1

n

) sin(

n1

) ) 4. ( P

n≥1 ( √

n α − p

(n − 1) α )) (selon les valeurs de α).

5. ( P

n≥1 sin( 1 n − sin( n 1 )) 6. ( P

n≥1 log(1 + n 1 ) − log(1 − n 1 )) 7. ( P

n≥1 e

n1

n+1 ) 8. ( P

n≥1 √ e

n1

−1 n+1 ) 9. ( P

n≥1 n ln

1 + n 1

) 10. ( P

n≥1

1−n ln(1+

1n

)

√ n+1 )

Exercice 4.

On consid` ere dans cet exercice des s´ eries de la forme ( P

n≥1 n α λ n ) avec λ ∈ C et |λ| < 1.

1. En utilisant une comparaison, montrer que si α ≤ 0 alors cette s´ erie converge.

2. Quelle est la limite quand n → ∞ de n α λ n/2 ?

3. Justifier l’existence d’une constante C telle que n α λ n ≤ Cλ n/2 pour tout n. En d´ eduire que pour tout α et tout λ tel que |λ| < 1 la s´ erie ( P

n≥1 n α λ n ) converge.

4. En d´ eduire que pour tout polynˆ ome P et tout λ tel que |λ| < 1 la s´ erie ( P

n≥1 P (n)λ n ) converge.

Exercice 5.

On consid` ere dans cet exercice des s´ eries de la forme ( P

n≥2 1

n

α

log(n)

β

) avec α, β des nombre r´ eels strictement positifs.

1. Par comparaison avec P 1

n

α

, montrer que cette s´ erie converge lorsque α > 1.

2. On suppose maintenant α < 1. Quelle est la limite quand n → ∞ de n α−1 log(n) β ?

3. En supposant toujours que α < 1, d´ emontrer l’existence d’une constante C telle que pour tout n n

α

log(n) 1

β

C n .

En d´ eduire que dans ce cas la s´ erie ( P

n≥2 1

n

α

log(n)

β

) diverge quelque soit β.

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