(8 points) Dans chacun des cas suivants, d´eterminer si la s´erie de terme g´en´eral un est convergente ou divergente

Universit´e Lille 1 L2 Maths

2017 - 2018 S3 - M33

Epreuve du Mardi 7 novembre 2017´

Dur´ee : 2h. Sans document ni calculatrice. Le bar`eme mentionn´e est indicatif.

Exercice 1. (8 points) Dans chacun des cas suivants, d´eterminer si la s´erie de terme g´en´eral un est convergente ou divergente.

a. un = sin(√ n)

n^3/2 (n≥1) ; b. un= ln

n+√ n+ 1 n+ 1

(n≥0) ;

c. u_n = 3^n+√n

4ⁿ (n≥0) ; d. u_n= 2·4·6· · ·(2n)

nⁿ (n≥1) ; e. u_n = (−1)ⁿ

2−cosn (n≥0) ; f. u_n= sin 1

n

+ (−1)ⁿ

lnn (n≥2).

Exercice 2. (8 points)

On consid`ere la s´erie de terme g´en´eral un= 1

√n+ ^√1_n (n≥1).

a. Pr´eciser la nature de cette s´erie. Dans la suite, on se propose de donner un d´evelop- pement asymptotique `a deux termes de ses sommes partielles Un=

n

X

k=1

uk. On consid`ere d’abord la s´erie de terme g´en´eralvn = 1

√n (n≥1) et les sommes partielles Vn =

n

X

k=1

vk pour n≥1. On convient de poser V0 = 0.

b. Montrer que pour tout entier n≥1, on a v_n+1 ≤2 √

n+ 1−√ n

≤v_n.

c. Pour toutn≥1, on pose

an =V_n−1−2√

n et bn=Vn−2√ n.

Montrer que les suites (a_n)_n≥1 et (b_n)_n≥1 convergent dans R vers une mˆeme limite.

d. Pour tout n≥1, on pose w_n =v_n−u_n. D´eterminer la nature de la s´erie X

n≥1

w_n.

T.S.V.P.

e. Pour tout n≥1, soit W_n =

n

X

k=1

w_k. V´erifier que l’on a

Un = 2√

n+bn−Wn

et en d´eduire qu’il existe un r´eel λ tel que l’on ait le d´eveloppement asymptotique U_n = 2√

n+λ+ε_n avec lim

n→∞ε_n = 0.

Exercice 3. (4 points)Soit X

n≥1

u_n une s´erie num´erique convergente. On pose

vn =e^un−1.

a. Montrer que si les un sont positifs, alors la s´erie de terme g´en´eral vn converge aussi.

b. Donner un exemple de s´erie X

n≥1

un convergente pour laquelle la s´erie de terme g´en´eral vn est divergente (on pourra consid´erer une s´erie altern´ee convenablement choisie).