Corrig´ e du partiel - 19 octobre 2020

Math´ematiques 3 Partiel CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020

Corrig´ e du partiel - 19 octobre 2020

La clart´e et la pr´ecision de la r´edaction auront une part importante dans le barˆeme.

Exercice 1. Une int´egrale impropre.

L’int´egrale impropre suivante est elle absolument convergente ? Est-elle convergente ? Z +∞

0

sint (√

t+t^3/2) ln((1 +t)³)dt.

Solution de l’exercice 1.On a deux impropret´e, en 0 et en +∞, l’int´egrande ´etant une fonction continue sur ]0,+∞[. Pour t au voisinage de 0⁺, on a 0 6sin(t)∼t et (1 +t)³ = 1 + 3t+o(t) donc ln((1 +t))³ = 3t+o(t), et enfin √

t+t^3/2 =√

t(1 +t)∼√

t, donc par produit sint

(√

t+t) ln((1 +t)³) ∼ t

√t×3t ∼ 1 3√

t.

Ainsi par positivit´e et le fait qu’on a une int´egrale de Riemann convergente en 0 (car ¹₂ <1), on voit que l’int´egraleR1

0

sint (√

t+t) ln((1+t)³) est absolument convergente.

Pour tout t>1, on a, comme (1 +t)³ >t, ln est croissante et √

t+t^3/2 >t

sint (√

t+t^3/2) ln((1 +t)³)

6 1 t^3/2ln(t), donc d’apr`es le crit`ere de Bertrand notre int´egraleR+∞

1

sint (√

t+t^3/2) ln((1+t)³)dtest absolument conver- gente, donc on conclut que l’int´egrale R+∞

0

sint (√

t+t^3/2) ln((1+t)³)dt est absolument convergente, en particulier elle est convergente.

Exercice 2. Cherchez l’erreur.

Montrer que les assertions suivantes sont fausses.

1. Toute s´erie convergente est absolument convergente.

2. Pour toute suite (u_n) `a valeurs complexes, si la s´erie P

u_n converge, alors la s´erie P u⁴_n converge.

3. Il existe une suite (un) `a valeurs positives telle que la s´erie P

un converge mais la s´erie Pu³_n ne converge pas.

Solution de l’exercice 2.

1. La s´erie P(−1)ⁿ

n est convergente car altern´ee, mais pas absolument convergente.

2. On pose u_n = ⁽⁻¹⁾√4 ⁿ

n , la s´erie P(−1)ⁿ

√4

n est convergente car altern´ee (en effet la suite v_n = √4¹

n est d´ecroissante positive et tend vers z´ero), mais pour tout n>1 on a (−1)ⁿ

√4

n 4

= 1 n, et donc la s´erie P

u⁴_n diverge car c’est la s´erie harmonique.

3. Il s’agit de montrer que pourtoute suite (u_n) `a valeurs positives telle queP

u_nconverge, Pu³_nconverge. Or si P

u_n converge, on sait que limn→+∞u_n= 0, en particulier il existe N tel que pour tout n > N on a 0 6 u_n 6 1, mais alors 0 6 u³_n 6 u_n, et donc P

u³_n converge d’apr`es le crit`ere de convergence des s´eries `a termes positifs.

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Math´ematiques 3 Partiel CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 Exercice 3. Convergence de s´eries.

Pour chacun des suites (un) suivantes, dire si la s´erie de terme g´en´eral un est convergente.

1. un= ^ln(n+1)_3n2 , o`u n>1.

2. u_n= ²₃ +_5−2n+n¹ 2

n

, o`u n>0.

3. u_n= 3⁻³

√n, o`un >0.

4. u_n= ^ln(n+1)_n −^ln(n)_n , o`un >1.

5. u_n= cos(nπ+ exp(−√³

n)), o`u n >0.

Solution de l’exercice 3.

1. On a ln(n+ 1) ∼ lnn quand n → +∞, et donc un ∼ ^ln(n)_3n2 > 0 donc la s´erie converge d’apr`es le crit`ere de Bertrand (car 2>1).

2. On remarque que 5−2n+n² = (n−1)²+ 4>4 donc pour tout n>1 on a _5−2n+n¹ 2 6 ¹₄, ainsi 0 6 u_n 6 (²₃ + ¹₄)ⁿ = ¹¹₁₂n

et comme la s´erie g´eom´etrique P 11 12

n

converge (car

¹¹₁₂

)<1), on conclut que la s´erie P

u_n converge ´egalement.

3. On a pour n > 1, 3⁻³

√n = exp(−√³

nln(3)) or on sait que 2 lnn = o(√³

n) et donc pour n suffisament grand, 3^−√3n 6 exp(−2 ln 3 lnn) = n^{−2 ln 3}. Or 3 > e donc ln 3 > 1 donc 2 ln 3 > 1 et donc la s´erie P

n^{−2 ln 3} converge, ce qui par positivit´e implique que notre s´erie initialeP

u_n converge ´egalement.

4. On a 0 6 u_n = ^ln(ⁿ⁺¹n )

n ∼ _n¹2 car ln(1 + 1/n) ∼ ¹_n quand n → +∞. Comme la s´erie de Riemann P ₁

n² converge, on d´eduit queP

un converge ´egalement.

5. Pour toutn >0 on au_n= cos(nπ+exp(−√³

n)) = (−1)ⁿcos(exp(−√³

n)), or limn→+∞exp(−√³ n) = 0 et par continuit´e de la fonction cos et le fait que cos(0) = 1, on voit que u_n 6→0, donc

la s´erie diverge grossi`erement, en particulier elle ne converge pas.

Exercice 4. Comparaison s´erie-int´egrale.

On consid`ere la suite (u_n) donn´ee u_n = _n¹ pour n > 1, et la suite de sommes partielles S_n = Pn

k=1uk.

1. La suite (S_n) est-elle convergente ?

2. En utilisant la comparaison s´erie-int´egrale, donner un ´equivalent de la suite des sommes partielles de la s´erie P₁

n. 3. On pose ∆n =un−Rn+1

n dt

t. a) Montrer que la s´erie P

∆_n converge. On pourra montrer que ∆_n6u_n−u_n+1. b) En d´eduire que la suite v_n =S_n−lnn converge.

Solution de l’exercice 4.

1. La suite (S_n) n’est pas convergente car la s´erie harmonique P

1/n diverge.

2. On a pour tout n>1,

Z n+1

1

dt

t 6S_n 61 + Z n

1

dt t .

Ainsi ln(n+ 1)6S_n 61 + lnn, donc en divisant par lnn des deux cˆot´es on trouve que limn→+∞ Sn

lnn = 1, et donc on a bienSn∼lnn quand n →+∞.

3. a) Soit n∈N. On a par d´ecroissance de la fonction inverse sur ]0,+∞[ que pour tout t ∈ [n, n + 1], ¹_t > _n+1¹ , et donc Rn+1

n dt

t > _n+1¹ , donc −Rn+1 n

dt

t 6 −_n+1¹ . Ainsi

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∆n 6 un −un+1, et par ailleurs ∆n > 0 ( car pour tout t ∈ [n, n+ 1], ¹_t 6 _n¹ donc en int´egrant u_n > Rn+1

n dt

t). Or P

u_n −u_n+1 est une s´erie t´elescopique et limn→+∞u_n= 0, donc la s´erie P

u_n−u_n+1 converge, et comme 06∆_n6u_n−u_n+1 on conclut queP

∆_n converge vers un certain γ >0.

b) Or pour tout n > 1, par la relation de Chasles et en d´eveloppant Pn

k=1∆_k = S_n−Rn+1

1 dt

t, donc limn→+∞(S_n−Rn+1 1

dtt

) =γ. Ainsi limn→+∞(S_n−ln(n+ 1)) = γ or limn→+∞ln(n+ 1)−lnn = 0 donc limn→+∞(S_n−ln(n)) = γ. On conclut donc que la suite (v_n) converge comme voulu.

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