Corrig´ e S´ erie 21

Physique avancée I 9 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet

Corrig´ e S´ erie 21

1. Boule de billard sur table tournante

a) Le poids de la boule et la r´eaction du support se compensant, la deuxi`eme loi de Newton s’´ecrit :

Ma=F (1)

o`u Fcaract´erise le glissement de la boule.

Le th´eor`eme du moment cin´etique induit l’´egalit´e suivante : d

dtL_G=M_G = (−ak)∧F (2)

avec L_G =I_Gω et o`u I_G est un scalaire etk unitaire.

Soitula vitesse du point de contact. On peut d`es lors ´enoncer les trois ´equations vectorielles suivantes :

u =VG+ω∧(−ak) (3)

MV˙G=F (4)

−ak∧F=I_Gω˙ (5) L’op´erationk∧(5) fournit une expression pourF. Pour rappel :a∧(b∧c) = (a·c)b−(a·b)c.

k∧(−ak∧F) =−ak∧(k∧F) =I_Gk∧ω˙ =−a

(k·F)k−k²·F

(6) Ce qui aboutit `a :

aF=I_Gk∧ω˙ (7)

On injecte ensuite ce r´esultat pour Fdans l’´equation (4) de mani`ere `a obtenir une ´equation pour ω :

MV˙_G = I_G

a k∧ω˙ (8)

En d´erivant l’´equation (3), on obtient une ´equation en ω˙ :

˙

u−V˙_G =ω˙ ∧(−ak) =ak∧ω˙ (9)

En consid´erant l’´equation pr´ec´edente et l’´equation (8), on peut ´ecrire :

˙

u−V˙_G = a²M

I_G V˙_G =⇒ u˙ =

1 + a²M I_G

V˙_G (10)

Apr`es int´egration, on obtient :

V_G=γu+C (11)

avec γ =

1 + a²M I_G

−1

et o`u Cest `a d´eterminer par les conditions initiales.

b) Dans le cas o`u la surface horizontale est en rotation avec une vitesse Ω constante, on a u=Ω∧r<sub>G</sub>. Apr`es d´erivation, u˙ =Ω∧V_G. Par l’´equation (10), on obtient :

V˙_G=γ Ω∧V_G (12)

De cette ´equation on tire que le mouvement est circulaire.

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2. Roue en rotation uniforme

a) Il faut appliquer le th´eor`eme du moment cin´etique au point O, qui est un point fixe du solide :

dL_O

dt =M_O^ext (13) Soient Ω la vitesse angulaire de pr´ecession, et ω la vitesse angulaire de rotation propre de la roue.

b) Le rep`ere (O, y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, y<sub>3</sub>) d´efini sur la figure est un rep`ere d’inertie. Les trois axes de ce rep`ere sont les axes principaux de la roue. Nous pouvons donc

´ecrire :

L_O = ˜I_O(Ω+ω) (14) o`u ˜I_O est le tenseur d’inertie de la roue au point O.

Dans le rep`ere (O, y₁, y₂, y₃), ˜I_O s’´ecrit :

O F

x₃

y₃ y₂

W

w q

mg

I˜_O=





IO⊥ 0 0 0 IO⊥ 0 0 0 IOk



 (15)

Les vecteurs vitesses angulaires de rotation s’´ecrivent : Ω=



 0 Ω sinθ

−Ω cosθ



 et ω=



 0 0 ω



 (16)

On a donc : L_O =





IO⊥ 0 0 0 IO⊥ 0 0 0 IOk







 0 Ω sinθ ω−Ω cosθ



=IO⊥Ω sinθyˆ₂+I_Ok(ω−Ω cosθ)ˆy₃ (17) On peut aussi calculer le moment cin´etique au point G, et en d´eduire le moment cin´etique au point O en utilisant la formule :

LO =OG∧MvG+LG avec LG = ˜IG(Ω+ω) (18) Comme ˜IG =





I_G⊥ 0 0 0 I_G⊥ 0 0 0 I_Gk



, on obtient :

L_G=





IG⊥ 0 0 0 IG⊥ 0 0 0 IGk







 0 Ω sinθ ω−Ω cosθ



=IG⊥Ω sinθyˆ₂ +IGk(ω−Ω cosθ)ˆy₃ (19) De plus, OG∧Mv_G =Lˆy₃∧M LsinθΩˆy₁ =M L²Ω sinθyˆ₂.

On obtient en d´efinitive :

L_O = (IG⊥+M L²)Ω sinθyˆ₂+IGk(ω−Ω cosθ)ˆy₃ (20) On v´erifie ainsi qu’on passe des composantes du tenseur d’inertie par rapport `aO ouGen appliquant la formule de Steiner :

(IO⊥ =IG⊥+M L² IOk =IGk

(21)

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c) Puisque le rep`ere (O,yˆ<sub>1</sub>,yˆ<sub>2</sub>,yˆ<sub>3</sub>) est un rep`ere d’inertie li´e au solide tournant `a la vitesse angulaire Ω autour de Ox₃ avec Ω constant, on a

dL_O

dt =Ω∧L_O =M_O^ext= ΩIksinθ(ω−Ω cosθ) + Ω²IO⊥cosθsinθ ˆ y₁ Ce r´esultat conclut la r´esolution du probl`eme.

Cependant, on peut s’interroger sur son sens physique. En particulier, on pourrait s’attendre

`

a voir apparaˆıtre un terme qui d´epende du poids ! Le fait est que le moment M_O^ext est la r´esultante de deux termes. L’un est le moment dˆu au poids, OG ∧Mg. L’autre est un moment suppl´ementaire qu’il faut appliquer `a l’axe pour satisfaire les conditions du mouvement. Il s’obtient donc en soustrayant OG ∧Mg de M_O^ext. Appelons ce dernier M_O^app pourmoment appliqu´e. On a ainsi :

M_O^app=−OG∧Mg+ ΩIksinθ(ω−Ω cosθ) + Ω²IO⊥cosθsinθ ˆ

y1 (22) On voit ainsi clairement apparaˆıtre la notion intuitive selon laquelle le moment appliqu´e agit pour contrebalancer le moment dˆu au poids, et agit aussi pour tenir compte des ef- fets gyroscopiques. Pour rendre le sens physique de ce moment M_O^app, on peut s’imaginer l’impl´ementer par un couple de forces. Soit par exemple une force C appliqu´ee sur l’axe `a un point P<sub>α</sub> donn´e par d=OP<sub>α</sub> et une force −C appliqu´ee `a −d. Alors M_O^app = 2d∧C.

On note que le th´eor`eme du moment cin´etique avec le point O comme r´ef´erence permet de d´eterminerM<sub>O</sub><sup>app</sup>, donc la forceC, mais ne dit rien de la force de r´eactionF. Inversement, le th´eor`eme du centre de masse permet de trouver la force de r´eactionF, mais ne dit rien deC, puisque la somme des deux forces C et−C qui impl´ementent M_O^app est nulle ! Finalement, on peut se demander ce qui se passe si on commence par appliquer dLG

dt = M_G^ext. Dans cette approche, on calculeL_G =IG⊥Ω sinθyˆ₂+I_Gk(ω−Ω cosθ)ˆy₃. Pour compa- rer les deux approches, on note que L_O =L_G+M L²ψ˙cosθyˆ₂. En d´erivant par rapport au temps cette expression, les deux formes du th´eor`eme du moment cin´etique et les formules de Poisson impliquent :M_O^ext=M_G^ext+M L²ψ˙²sinθcosθyˆ₁. Mais d’autre part, en consid´erant le couple des forces C et le moment du poids, on peut ´ecrire imm´ediatement :

M_O^ext= 2d∧C+OG∧Mg (23) M_G^ext= (GO−d)∧(−C) + (GO+d)∧(C) +GO∧F = 2d∧C+GO∧F (24) Par cons´equent :

M_O^ext−M_G^ext =OG∧(Mg+F) (25) C’est le th´eor`eme du centre de masse qui nous dicte maintenant la valeur de la somme des forces.Gd´ecrit un mouvement circulaire uniforme d’acc´el´eration centrip`ete horizontale. On peut ´ecrire imm´ediatement :

mLsinθψ˙²(−sinθyˆ3−cosθyˆ2) = Mg+F (26) Le produit vectoriel confirme comme il se doit le r´esultat d´ej`a obtenu pour la diff´erence entre le moment par rapport `aG et par rapport `aO :

OG∧(Mg+F) =mL²sinθcosθψ˙²yˆ₁ (27)

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