on en d´eduit que la s´erie est convergente

Universit´e Denis Diderot (Paris VII) 2004-2005 MT231

Corrig´e du partiel du 20 novembre

I

1- La s´erie ´etant `a termes strictement positifs, on peut lui appliquer le crit`ere de d’Alem- bert : on voit que

u_n+1 u_n =

r 1 n+ 1

tend vers 0 quand n→+∞; on en d´eduit que la s´erie est convergente.

2- On a

n n+ 1

n

=

1 + 1 n

−n

;

le terme g´en´eral de la s´erie tend donc vers 1/e; puisqu’il ne tend pas vers z´ero, la s´erie est divergente.

3- La s´erie est de la forme P

(−1)ⁿa_n. Elle est convergente, car elle v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme sur les s´eries altern´ees. On a en effet

2n+ (−1)ⁿ ≥2n−1>0,

d’o`ua_n >0, pour tout n≥1, et limn→+∞a_n = 0 ; de plus la suite (a_n)n≥1 est d´ecroissante puisque

2(n+ 1) + (−1)ⁿ⁺¹ ≥(2n+ 2)−1 = 2n+ 1≥2n+ (−1)ⁿ, pour tout n≥1.

II

1- Pour x >0, on a

0< f_n(x)< 1 x

1 n²; puisque la s´erie de Riemann P ₁

n² est convergente, le th´eor`eme de comparaison permet de conclure que la s´erie num´erique P

f_n(x) est convergente.

2- Soit un r´eel a >0. Pour x∈[a,+∞[, on a

|f_n(x)| ≤ 1 a

1 n² . Puisque la s´erie de RiemannP 1

n² est convergente, on en d´eduit que la s´erie de fonctions Pf_n converge normalement sur [a,+∞[.

1

3- Soit x₀ > 0. On choisit un nombre a tel que 0 < a < x₀ (par exemple a = x₀/2).

Puisque chaque fonction f_n est ´evidemment continue en x₀ et que la s´erie P

f_n converge normalement sur [a,+∞[, un th´eor`eme du cours permet de conclure que la fonctionf est continue en x₀. Ainsi f est-elle continue en tout point de l’intervalle ]0,+∞[.

4- D’apr`es les th´eor`emes usuels, la fonction f_n est d´erivable sur [0,+∞[ et l’on a f_n⁰(x) = −n²

(1 +xn²)² ∀x≥0. Soit un r´eel a >0. On a

|f_n⁰(x)| ≤ 1 a²

1

n² ∀x≥a; la s´erie P

f_n⁰ converge donc normalement sur [a,+∞[ ; un th´eor`eme du cours permet de conclure que la fonction f est d´erivable sur [a,+∞[. En raisonnant comme dans la ques- tion pr´ec´edente, on conclut que f est d´erivable en tout point de l’intervalle ]0,+∞[.

5- On commence par une br`eve ´etude de la fonctiong_n. Cette fonction est positive, continue sur [0,+∞[, d´erivable sur ]0,+∞[. Puisque

g_n⁰(x) = x^α−1(α+ (α−1)n²x)

(1 +xn²)² ,∀x >0, on voit que

sup

x≥0

|g_n(x)|=g_n α

1−α 1 n²

=α^α(1−α)^1−α 1 n^2α . Puisque 2α > 1, la s´erie P ₁

n^2α est convergente ; en cons´equence la s´erie P

gn converge normalement sur [0,+∞[.

6- Posons g(x) = P∞

n=1gn(x), pour tout x ≥ 0. D’apr`es la question 5, la fonction g est continue sur [0,+∞[. Puisque x^αf(x) =g(x), pour tout x >0, on a

x→0+lim x^αf(x) = lim

x→0+g(x) = g(0) = 0, ce qui signifie que

f(x) =o x^−α

, quand x→0 + . III

1- Il s’agit de la s´erie g´eom´etrique de raison x/8. Elle converge ssi |x/8| < 1. Son rayon de convergence est donc ´egal `a 8.

2- Pour obtenir le rayon de convergence, il suffit de calculer la limite de |a_n|/|a_n+1|, o`u a_n = 1

n²8ⁿ. On a

|an|

|a_n+1| = 8

1 + 1 n

2

;

2

le rayon de convergence est donc ´egal `a 8.

3- C’est la s´erie g´eom´etrique de raison x³/8. Elle converge ssi |x|³ < 8. Son rayon de convergence est donc ´egal `a 2.

4- On applique le crit`ere de Cauchy `a la s´erie `a termes positifs P

an, o`u an= |x|<sup>n2</sup> 8<sup>n</sup> . On a a<sup>1/n</sup>n = <sup>|x|</sup><sub>8</sub><sup>n</sup>, qui tend vers 0 si |x| <1 et vers +∞ si |x| > 1. Le rayon de convergence est donc ´egal `a 1.

IV

1- On applique le crit`ere de d’Alembert `a la s´erie `a termes positifs P

a_n, o`u a_n = |x|²ⁿ⁺¹

n(2n+ 1).

On a a_n+1

an

=x² n(2n+ 1) (n+ 1)(2n+ 3),

qui tend vers x² quand n→+∞. Le rayon de convergence est donc ´egal `a 1.

2- D’apr`es le cours, la somme d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence R >0 est une fonction d´efinie et ind´efiniment d´erivable sur l’intervalle ]−R, R[. Ce r´esultat g´en´eral s’applique ici et nous dit quef est d´efinie et de classeC² sur l’intervalle ]−1,1[. Ce mˆeme r´esultat nous dit encore que la d´eriv´ee de f s’obtient en d´erivant la s´erie terme `a terme.

Il vient donc, successivement, f⁰(x) =

∞

X

n=1

x²ⁿ

n , f⁰⁰(x) = 2

∞

X

n=1

x²ⁿ⁻¹ ,∀x∈]−1,1[.

Au passage, on note que f(0) = f⁰(0) = 0. Pour calculer f⁰⁰(x), on effectue la somme d’une s´erie g´eom´etrique. Il vient

f⁰⁰(x) = 2x(1 +x²+x⁴+· · ·) = 2x

1−x² ,∀x∈]−1,1[. 3- Pour tout x∈[−1,1], on a

x²ⁿ⁺¹ n(2n+ 1)

≤ 1

n(2n+ 1). La s´erie num´erique P ₁

n(2n+1) est convergente, puisque son terme g´en´eral est ´equivalent

`

a 1/2n² quand n → +∞. On peut conclure que la s´erie P

f_n converge normalement sur [−1,1].

4- Dans le calcul qui suit, on se place sur l’intervalle ]−1,1[. Puisque f⁰ est la primitive de la fonction x7→ 2x

1−x² qui s’annule en z´ero, on a

f⁰(x) = −ln(1−x²) =−ln(1−x)−ln(1 +x). 3

Puisque R

lnt dt=tlnt−t+cte, on obtient, par changement de variable : Z

ln(1 +x)dx = (1 +x) ln(1 +x)−(1 +x) +cte , Z

ln(1−x)dx=−(1−x) ln(1−x) + (1−x) +cte et donc (puisque f(0) = 0)

f(x) =−(1 +x) ln(1 +x) + (1−x) ln(1−x) + 2x . 5- D’apr`es la question 3, la fonction f est continue en 1. On a donc

∞

X

n=1

1

n(2n+ 1) =f(1) = lim

x→1−(−(1 +x) ln(1 +x) + (1−x) ln(1−x) + 2x). Sachant que tlnt tend vers 0 quand t→0 (ici, on prend t = 1−x), on conclut que

∞

X

n=1

1

n(2n+ 1) = 2−2 ln 2.

4