• L’implication “lim n→∞ u n = 0 = ⇒ la s´erie converge” est FAUSSE.

(1)

Math´ ematiques 218

Corrig du DS (1er Avril 2006)

Exercice 1

• L’implication “lim _n→∞ u _n = 0 = ⇒ la s´erie converge” est FAUSSE.

On sait bien que pour avoir convergence de la série de terme général u _n , il est nécessaire que lim n→∞ u n = 0 mais que cela ne suffit pas. (Sinon l’ étude des séries numériques se réduirait à celle des suites tendant vers 0!!!!!). Ainsi 1/n → 0 quand n → ∞ mais lim _N→∞ ^P ^N ₁ _n ¹ = ∞ comme on peut le voir en comparant cette somme á une intégrale.

• L’implication “La série de terme général u _n converge = ⇒ la série de terme général |u _n | converge également” est FAUSSE.

Il suffit de considérer la série harmonique, de terme général u _n = ⁽⁻¹⁾ _n

ⁿ

; elle converge par le critère spécial des séries alternés, mais |u _n | = _n ¹ est le terme général d’une série divergente (cf ci-dessus).

• L’implication “La série de terme général u _n ≥ 0 converge = ⇒ la série de terme général u ² _n converge également” est VRAIE et demande une démonstration.

Si la série de terme général u _n converge, lim _n→∞ u _n = 0 et la suite u _n est borné : il existe M > 0 tel que 0 ≤ u _n ≤ M ; ainsi 0 ≤ u ² _n ≤ Mu _n et la série de terme général u ² _n converge par le critère de comparaison pour les séries à termes positifs. (A noter que la réciproque est fausse–par exemple u _n = n ^−3/2 – et c’est ce qui fait l’intérêt de l’identité de Parseval.)

Exercice 2

• u _n = sin( _n

2

ⁿ +1 ), n ≥ 0. Ce terme est ≥ 0 puisque 0 ≤ _n

2

ⁿ +1 ≤ ¹ ₂ , et lim _n→∞ _n

2

ⁿ +1 = 0. On peut donc utiliser le crit`ere de comparaison sous forme d’´equivalents : puisque sin u ∼ u lorsque u → 0 et _n

2

ⁿ +1 ∼ _n ¹ quand n → ∞, on a

u _n ∼ sin 1 n ∼ 1

n (n → ∞).

La série de terme général u _n est de même nature que la série de terme général

1 n cad DIVERGENTE.

(2)

• u n = ( ₂ ⁱ ) ⁿ . Le terme est cette fois complexe et on commence par

´etudier la convergence absolue de la s´erie. Or |u _n | = | ₂ ⁱ | ⁿ = ₂ ¹

n

est le terme général d’une série géométrique convergente. La série initiale converge ab- solument donc CONVERGE.

• u _n = ^√ ⁽⁻¹⁾ _n+log

ⁿ

_n . Le terme u _n est de la forme (−1) ⁿ |u _n | et donc de signe alterné. Comme la série ne converge pas absolument (|u _n | ∼ ^√ ¹ _n par crois- sances comparées), nous essayons d’appliquer le critère pour la convergence des séries alternées : si |u _n | tend vers 0 en décroissant, la série converge.

Or √

n + log n → ∞ quand n → ∞ et les fonctions x 7→ √

x, x 7→ log x sont croissantes (x > 0); cela prouve que ^√ _n+log ¹ _n dcro¨ıt vers 0 et la s´erie CONVERGE.

Exercice 3

On considère la série entière de terme général a _n z ⁿ , z ∈ C, o

a _n = 1

n(n + 1)(n + 2) , n ≥ 1.

1) Puisque a n ne s’annule jamais, le rayon de convergence R de cette série entière peut se calculer à l’aide de la r`gle de d’Alembert, à condition que lim _n→∞ | â

ⁿ⁺¹

_a

_n

| existe. Or

| a _n+1

a _n | = n(n + 1)(n + 2)

(n + 1)(n + 2)(n + 3) = n

n + 3 → 1 quand n → ∞. On en d´eduit R = 1.

Si |z| = 1, |a n z ⁿ | = a n ∼ _n ¹

3

et la série converge absolument par le critère de Riemann. Le domaine de convergence de cette série entière est donc le disque fermé {z, |z| ≤ 1}.

2) Par identification (ou tout autre moyen) on trouve facilement a _n = 1

2n − 1

n + 1 + 1 2(n + 2) ; on en d´eduit pour x r´eel, |x| < 1,

f (x) =

X ∞ 1

a _n x ⁿ =

X ∞ 1

x ⁿ 2n −

X ∞ 1

x ⁿ n + 1 +

X ∞ 1

x ⁿ

2(n + 2) ;

2

(3)

(Attention! par décomposition on a introduit des séries qui ne convergent peut-être plus au bord)

Posons ^P ^∞ ₁ ^x _n

ⁿ

= g(x) pour |x| < 1. On ´ecrit pour x 6= 0

X ∞ 1

x ⁿ n + 1 = 1

x

X ∞ 1

x ⁿ⁺¹ n + 1 = 1

x

X ∞ 2

x ⁿ n = 1

x (g(x) − x)

et _∞

X

1

x ⁿ

n + 2 = 1 x ²

X ∞ 1

x ⁿ⁺² n + 2 = 1

x ²

X ∞ 3

x ⁿ n = 1

x ² (g(x) − x − x ² 2 );

on trouve en rassemblant les “morceaux”

f (x) = 1

2 g(x) − 1

x (g(x) − x) + 1

2x ² (g(x) − x − x ² /2)

= g(x) (x − 1) ² 2x ² + 3

4 − 1 2x

Maintenant on se souvient que ^P ^∞ ₁ ^x _n

ⁿ

= −`n(1 − x) pour |x| < 1 et f a pour expression

f (x) = − (x − 1) ²

2x ² `n(1 − x) + 3 4 − 1

2x

si |x| < 1, x 6= 0. Mais lorsque x → 0 le second membre admet la limite 0 et se prolonge par continuit´e; en effet, on peut ´ecrire

− (x − 1) ²

2x ² `n(1 − x) + 3 4 − 1

2x = (x − 1) ²

2x ² (x + x ²

2 + o(x ² )) + 3 4 − 1

2x

= ( 1 2x + 1

4 + o(1))(1 − 2x + x ² ) + 3 4 − 1

2x = o(1);

et l’expression de f est valide pour tout |x| < 1.

Exercice 4

La fonction exp admet un développement en série entière (autour de 0) de rayon infini, il en est donc de m ˆ me de la fonction sh et, puisque

e ^x =

X ∞ 0

x ⁿ

n! , e ^−x =

X ∞ 0

(−1) ⁿ x ⁿ n! ,

3

(4)

et apr`es simplification,

sh(x) =

X ∞ 0

x ²ⁿ⁺¹ (2n + 1)! .

La fonction x 7→ _1+x ¹

2

est développable en série entière avec rayon 1 : 1

1 + x ² =

X ∞ 0

(−1) ⁿ x ²ⁿ ;

la sèrie intégrée terme à terme, nulle en 0, a même rayon de convergence et a pour somme ^R ₀ ^x _1+t ^dt

• L’implication “lim n→∞ u n = 0 = ⇒ la s´erie converge” est FAUSSE.

Math´ ematiques 218

Corrig du DS (1er Avril 2006)

Exercice 1

• L’implication “lim n→∞ u n = 0 = ⇒ la s´erie converge” est FAUSSE.

• L’implication “La série de terme général u n converge = ⇒ la série de terme général |u n | converge également” est FAUSSE.

Il suffit de considérer la série harmonique, de terme général u n = (−1) n

; elle converge par le critère spécial des séries alternés, mais |u n | = n 1 est le terme général d’une série divergente (cf ci-dessus).

• L’implication “La série de terme général u n ≥ 0 converge = ⇒ la série de terme général u 2 n converge également” est VRAIE et demande une démonstration.

Exercice 2

• u n = sin( n

n +1 ), n ≥ 0. Ce terme est ≥ 0 puisque 0 ≤ n

n +1 ≤ 1 2 , et lim n→∞ n

n +1 = 0. On peut donc utiliser le crit`ere de comparaison sous forme d’´equivalents : puisque sin u ∼ u lorsque u → 0 et n

n +1 ∼ n 1 quand n → ∞, on a

u n ∼ sin 1 n ∼ 1

n (n → ∞).

La série de terme général u n est de même nature que la série de terme général

1

n cad DIVERGENTE.

• u n = ( 2 i ) n . Le terme est cette fois complexe et on commence par

´etudier la convergence absolue de la s´erie. Or |u n | = | 2 i | n = 2 1

est le terme général d’une série géométrique convergente. La série initiale converge ab- solument donc CONVERGE.

• u n = √ (−1) n+log

Or √

n + log n → ∞ quand n → ∞ et les fonctions x 7→ √

x, x 7→ log x sont croissantes (x > 0); cela prouve que √ n+log 1 n dcro¨ıt vers 0 et la s´erie CONVERGE.

Exercice 3

On considère la série entière de terme général a n z n , z ∈ C, o

a n = 1

n(n + 1)(n + 2) , n ≥ 1.

1) Puisque a n ne s’annule jamais, le rayon de convergence R de cette série entière peut se calculer à l’aide de la r`gle de d’Alembert, à condition que lim n→∞ | a

a

| existe. Or

| a n+1

a n | = n(n + 1)(n + 2)

(n + 1)(n + 2)(n + 3) = n

n + 3 → 1 quand n → ∞. On en d´eduit R = 1.

Si |z| = 1, |a n z n | = a n ∼ n 1

et la série converge absolument par le critère de Riemann. Le domaine de convergence de cette série entière est donc le disque fermé {z, |z| ≤ 1}.

2) Par identification (ou tout autre moyen) on trouve facilement a n = 1

2n − 1

n + 1 + 1 2(n + 2) ; on en d´eduit pour x r´eel, |x| < 1,

f (x) =

X ∞ 1

a n x n =

X ∞ 1

x n 2n −

X ∞ 1

x n n + 1 +

X ∞ 1

x n

2(n + 2) ;

2

(Attention! par décomposition on a introduit des séries qui ne convergent peut-être plus au bord)

Posons P ∞ 1 x n

= g(x) pour |x| < 1. On ´ecrit pour x 6= 0

X ∞ 1

x n n + 1 = 1

x

X ∞ 1

x n+1 n + 1 = 1

x

X ∞ 2

x n n = 1

x (g(x) − x)

et ∞

X

1

x n

n + 2 = 1 x 2

X ∞ 1

x n+2 n + 2 = 1

x 2

X ∞ 3

x n n = 1

x 2 (g(x) − x − x 2 2 );

on trouve en rassemblant les “morceaux”

f (x) = 1

2 g(x) − 1

• L’implication “lim _n→∞ u _n = 0 = ⇒ la s´erie converge” est FAUSSE.

• L’implication “La série de terme général u _n converge = ⇒ la série de terme général |u _n | converge également” est FAUSSE.

Il suffit de considérer la série harmonique, de terme général u _n = ⁽⁻¹⁾ _n

; elle converge par le critère spécial des séries alternés, mais |u _n | = _n ¹ est le terme général d’une série divergente (cf ci-dessus).

• L’implication “La série de terme général u _n ≥ 0 converge = ⇒ la série de terme général u ² _n converge également” est VRAIE et demande une démonstration.

• u _n = sin( _n

ⁿ +1 ), n ≥ 0. Ce terme est ≥ 0 puisque 0 ≤ _n

ⁿ +1 ≤ ¹ ₂ , et lim _n→∞ _n

ⁿ +1 = 0. On peut donc utiliser le crit`ere de comparaison sous forme d’´equivalents : puisque sin u ∼ u lorsque u → 0 et _n

ⁿ +1 ∼ _n ¹ quand n → ∞, on a

u _n ∼ sin 1 n ∼ 1

La série de terme général u _n est de même nature que la série de terme général

• u n = ( ₂ ⁱ ) ⁿ . Le terme est cette fois complexe et on commence par

´etudier la convergence absolue de la s´erie. Or |u _n | = | ₂ ⁱ | ⁿ = ₂ ¹

• u _n = ^√ ⁽⁻¹⁾ _n+log

x, x 7→ log x sont croissantes (x > 0); cela prouve que ^√ _n+log ¹ _n dcro¨ıt vers 0 et la s´erie CONVERGE.

On considère la série entière de terme général a _n z ⁿ , z ∈ C, o

a _n = 1

1) Puisque a n ne s’annule jamais, le rayon de convergence R de cette série entière peut se calculer à l’aide de la r`gle de d’Alembert, à condition que lim _n→∞ | â

_a

| a _n+1

a _n | = n(n + 1)(n + 2)

Si |z| = 1, |a n z ⁿ | = a n ∼ _n ¹

2) Par identification (ou tout autre moyen) on trouve facilement a _n = 1

a _n x ⁿ =

x ⁿ 2n −

x ⁿ n + 1 +

x ⁿ

Posons ^P ^∞ ₁ ^x _n

x ⁿ n + 1 = 1

x ⁿ⁺¹ n + 1 = 1

x ⁿ n = 1

et _∞

x ⁿ

n + 2 = 1 x ²

x ⁿ⁺² n + 2 = 1

x ²

x ⁿ n = 1

x ² (g(x) − x − x ² 2 );

2x ² (g(x) − x − x ² /2)

= g(x) (x − 1) ² 2x ² + 3

Maintenant on se souvient que ^P ^∞ ₁ ^x _n

f (x) = − (x − 1) ²

2x ² `n(1 − x) + 3 4 − 1

− (x − 1) ²

2x ² `n(1 − x) + 3 4 − 1

2x = (x − 1) ²

2x ² (x + x ²

2 + o(x ² )) + 3 4 − 1

4 + o(1))(1 − 2x + x ² ) + 3 4 − 1

e ^x =

x ⁿ

n! , e ^−x =

(−1) ⁿ x ⁿ n! ,

x ²ⁿ⁺¹ (2n + 1)! .

La fonction x 7→ _1+x ¹

1 + x ² =

(−1) ⁿ x ²ⁿ ;

la sèrie intégrée terme à terme, nulle en 0, a même rayon de convergence et a pour somme ^R ₀ ^x _1+t ^dt

(−1) ⁿ x ²ⁿ⁺¹ 2n + 1 avec rayon 1.