S´ eries num´ eriques

Universit´e Paris 13 2006

Analyse et Alg`ebre TD n^◦5

S´ eries num´ eriques

Exercice 1 D´eterminer la nature des s´eries de termes g´en´eraux : 1. n!

nⁿ , (ch√

lnn)⁻² , n^−(1+(1/n)) 2. 1

√nln(1 + 1

√n), lnn

ln(eⁿ−1) , n^lnne⁻

√n

Exercice 2 Etudier les s´eries de termes g´en´eraux 1.

un= (−1)ⁿ (lnn)(n^1/n) 2.

v_n= (−1)ⁿ

pn^α+ (−1)ⁿ o`u α >0 3.

w_n = ln(1 +(−1)ⁿ

n^α ) o`u α >0 Exercice 3 En justifiant votre r´eponse, classer les dix s´eries P

u_n suivantes en 4 cat´egories – GD : celles telles que u_n ne tend pas vers 0 ;

– ZD : celles qui divergent et telles que limun= 0;

– AC : celles qui convergent absolument ;

– SC : celles qui convergent, mais non absolument.

(Attention : pour pouvoir r´epondre, certaines s´eries demandent deux d´emonstrations : par exemple pour montrer que P

u_n est SC, il faut montrer que P

u_n converge et que P

|u_n| diverge.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ n + 1

n²

;

∞

X

n=1

√n+ 1−√ n

;

∞

X

n=1

√1 n

√n+ 1−√ n2

;

∞

X

n=1

1

n −log(1 + 1 n)

;

∞

X

n=1

n!

nⁿ;

∞

X

n=1

1−(1− 1 n)ⁿ

;

∞

X

n=1

2ⁿ+ 1000 3ⁿ+ 1 ;

∞

X

n=1

(1−cosπ n);

∞

X

n=1

sin(πn) sin(π n);

∞

X

n=0 n

X

k=0

1 2^k

1 3^n−k

! .

Exercice 4 Soit (u_n) une suite de r´eels strictement positifs, on suppose que limu_n+1

u_n = 1 et que

u_n+1

u_n = 1− α

n +O( 1

n^β) , o`u α >0 β >1.

1

On pose v_n =n^αu_n. ´Etudier v_n+1

v_n , montrer que (v_n) a une limite finie et en d´eduire la nature de la s´erie de terme g´en´eral v_n.

Application : ´Etudier la s´erie de terme g´en´eral un=

√

n! sin 1 sin 1

√2· · ·sin 1

√n.

Exercice 5 Etudier la nature des s´´ eries de termes g´en´eraux tan π

4n+ 1 −cosπ n, p

ln(n+ 1)−√ lnn, exp(−1)ⁿ

√n

−1 (−1)ⁿ

(−1)ⁿ+n, sin(n²+ 1)² n³ π

.

Exercice 6 (Utilisation d’une s´erie) Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’int´egrale g´en´eralis´ee suivante

Z ∞

0

dx 1 +x⁴sin²x. Pour cela, on consid`ere la s´erie de terme g´en´eral

un =

Z (n+1)π

nπ

dx 1 +x⁴sin²x. Par un changement de variable, transformer u_n en

un= Z π

0

dx

1 + (nπ+x)⁴sin²x Encadrer ensuite u_n par les termes de la suite v_n o`u

v_n= Z π

0

dx 1 + (nπ)⁴sin²x

Calculer explicitement l’int´egrale v_n et en d´eduire un ´equivalent de u_n. Conclure.

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