Feuille d’Exercices : S´ eries Num´ eriques

ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 4 f´evrier 2005

Feuille d’Exercices : S´ eries Num´ eriques

Les basiques

Exercice 1: D´emontrez la convergence et calculez la somme des s´eries de terme g´en´eralu_n dans les cas suivants :

1. u_n=n²xⁿ, o`u|x|<1 2. u_n= n−1

3ⁿ⁺¹

3. un =n(n−1)xⁿ

n! , o`u x∈R 4. u_n =n²8ⁿ

n!

Exercice 2 : Etudiez la nature des s´eries de terme g´en´eral un dans les cas suivants :

1. un= 1

√nsin π 2n 2. un= n−1

3ⁿ−1 3. u_n= 2nsin(1/n) 4. u_n= ln 1− 1

n+ 2

5. u_n= ln cos(1/2n) 6. u_n= cos(1/n)−1 7. un= 1

n√ⁿ n

8. u_n=n lnne⁻

√n

9. un= 1

ln 3n n

10. u_n= cos 2n 3n²−4n+ 1 11. un= n+ cosn

eⁿ+ sinn 12. un= 1

√n√ n+ 1

Exercice 3 : Discutez suivant la valeur du param`etre r´eelα∈R, la nature de la s´erie de terme g´en´eral :

1.u_n= √

n+ 1−√ n^α

2.v_n= ln 1 + 1 n^α

Exercice4: Etudiez la convergence et l’absolue convergence des s´eries de terme g´en´eralun dans les cas suivants :

1. u_n = (−1)ⁿsin 2 3n 2. u_n = (−1)ⁿ(lnn)²

√n

3. u_n = (−1)ⁿcos n n+ 1 4. un =(−1)ⁿ

n^α α∈R

Les th´eoriques Exercice 5: Soit (a_n) une suite r´eelle d´ecroissante.

1. Montrez que si la s´erie P

an converge, alors lim

n→∞nan= 0.

2. Que pouvez-vous dire de la r´eciroque ?

Exercice 6: Th´eor`eme de convergence par comparaison

Soit (un)n∈Net (vn)n∈N des suites de r´eels strictement positifs. On suppose

∀n∈N, u_n+1 un

≤ v_n+1 vn

1. Montrez que siPv_n converge, alorsPu_n converge.

2. Montrez que siPu_n diverge, alorsPu_n diverge.

Exercice 7: Estimation du reste On consid`ere la s´erieP

un, o`u

∀n∈N, u_n= sin(π/2ⁿ) 2ⁿ 1. D´emontrez que la s´eriePu_n est convergente.

On note pour tout entiern∈NSn la somme partielle de rangnet S la somme de cette s´erie.

2. D´emontrez que

∀n∈N^?, |S−Sn| ≤ 1 2ⁿ Indication :n∈N^?´etant fix´e, commencez par majorer

m

X

k=n+1

uk

pour tout m≥n+ 1 puis passez `a la limite quandmtend vers +∞.

3. Pour quelle valeur den,S_n consitue-t-il une valeur approch´ee de la somme

`

a 10⁻³ pr`es ?

Exercice 8: S´eries de Mengoli

1

1. On s’int´eresse `a la s´erie de terme g´en´eral un= 1

n(n+ 1) pourn∈N^?. (a) Quelle est la nature de de la s´erie ?

(b) En utilisant un t´elescopage, calculez la somme de la s´erie de terme g´en´eral u_n.

2. On s’int´eresse `a pr´esent `a la s´erie de terme g´en´eralvn= 1

n(n+ 1) (n+ 2) pourn∈N^?.

(a) Quelle est la nature de la s´erie ? (b) D´eterminez (a, b, c)∈R³ tels que

∀n∈N^?, v_n= a n+ b

n+ 1 + c n+ 2 (c) Calculez la somme de la s´erie de terme g´en´eralvn.

Exercice 9 : Soit (un)_n∈Nla suite d´efinie par la donn´ee de u0 =a∈]0,1[ et la relation de r´ecurrence :

∀n∈N, un+1=un−u²_n

1. D´emontrez que la suiteuest d´ecroissante `a partir du rang 1 et convergente vers 0.

2. Prouvez la convergence de la s´erie de terme g´en´eralu²_net calculez sa somme.

3. A l’aide des sommes partielles, prouvez que la s´erie de terme g´en´eral lnun+1

un

est divergente vers +∞.

4. Utilisez la r`egle des ´equivalents pour en d´eduire la nature de la s´erie de terme g´en´eralu_n.

Les classiques

Exercice 10: S´erie harmonique On consid`ere la s´erie harmonique S = X

n≥1

1

n. On note pour tout n ∈ N Sn la somme partielle de rangnde cette s´erie.

1. Convergence de la s´erie harmonique Quelle est la nature de la s´erie harmonique ?

2. Comportement asymptotique de la s´erie harmonique On introduit la suite auxiliaireν d´efinie par

∀n∈N^?, ν_n=S_n−lnn

(a) Montrez que pour tout x∈R^+? 1

1 +x ≤ln(x+ 1)−lnx≤ 1 x. et en d´eduire que pour tout entier n≥2

1 2+1

3 +· · ·+ 1

n ≤lnn≤1 +1

2 +· · ·+ 1 n−1

(b) En d´eduire que la suite (νn) est monotone et qu’elle converge. On note γ= lim

n→∞νn.

γ est appel´ee laConstante d’Euler.

(c) En d´eduire finalement que

S_n= lnn+γ+o(1) Exercice 11: S´eries altern´ees

Soit (an) une suite d´ecroissante de limite nulle. On consid`ere la s´erieP(−1)ⁿ an. On note pour toutn∈NSn la somme partielle de rangnde cette s´erie.

1. D´emontrez que les suites (S2n) et (S2n+1) sont adjacentes.

2. En d´eduire que la s´erieP

(−1)ⁿan converge.

3. Notons pour tout entier p∈N, Rp =

+∞

X

n=p+1

le reste d’ordrepde la s´erie S.

D´emontrez l’estimation

|R_p| ≤a_p+1

Exercice 12: S´erie harmonique altern´ee On consid`ere las´erie harmonique altern´eeA=X

n≥1

(−1)ⁿ n .

1. Montrez que la s´erie Aest convergente. Est-elle absolument convergente ? 2. D´emontrez que

∀n∈N^?,

n

X

k=1

(−1)^k

k = X

2≤2k≤n

1 k−

n

X

k=1

1 k

3. Utilisez l’´egalit´ePn

k=11/k= lnn+γ+o(1) pour d´emontrer que

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n =−ln 2

2