TD 3 – S´ eries num´ eriques

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Mathématiques 3 TD 3 CUPGE 2ème année - automne 2020

TD 3 – S´ eries num´ eriques

Premiers exemples

Exercice 1. Divergence et sous-suites des sommes partielles.

On considère les séries de terme général un= (−1)ⁿ√

n, vn =√ n−√

n+ 1 etwn=√

2n−√ 2n+ 1 dont on note respectivement U_n,V_n etW_n les sommes partielles.

1. Montrer que Wn=U2n+1. 2. Montrer que la s´erieP

u_n diverge grossi`erement.

3. Montrer que la s´erieP

vn diverge, mais pas grossi`erement.

4. Montrer que la s´erie P

w_n diverge, mais pas grossi`erement. On pourra montrer que pour tout >0,√

1 +61 +.

Exercice 2. Une autre s´erie divergente.

On considère la série de terme généralu_n= _nlog¹

2n pourn>2, dont on noteS_nles sommes partielles.

1. Montrer que pour tout n>2,S₂n+1−S₂ⁿ > _2(n+1)¹ . 2. En utilisant le fait que la s´erie harmoniqueP₁

n diverge, conclure que la s´erieP ₁

nlog₂n diverge.

Exercice 3. Deux s´eries proches.

Pour n∈N, on pose u_n= ⁽⁻¹⁾_3n+1ⁿ et v_n= (6n+1)(6n+4)³ . 1. Montrer que la s´erieP

un converge.

2. Montrer que pour tout n∈N,u_2n+u_2n+1 =v_n. 3. Montrer que P

v_n converge, et que queP+∞

n=0u_n=P∞ n=0v_n. Exercice 4. Équivalents et séries alternées.

On considère les séries de termes généraux respectifsu_n= ^√¹_n etv_n= ^√¹_n+⁽⁻¹⁾_nⁿ, oùn>1. Montrer queu_n∼v_n[n→+∞], mais que

+∞

X

n=1

(−1)ⁿu_n converge tandis que

+∞

X

n=1

(−1)ⁿv_n diverge.

Convergence absolue, ´equivalents, s´eries de Bertrand

Exercice 5. Entrainement intensif.

Etudier la nature des s´´ eries dont voici le terme g´en´eral.

1. _n_ln¹_n 2. ^1+ln_n2ⁿ

3. ₃²nⁿ−11⁺⁵

4. ^n+ln_n2+1ⁿ

5. e⁻

√n

6. n²sin₂¹n

7. (¹₂ +_n¹)ⁿ 8. ^(n!)_(3n)!³ 9.

3n 4n−1

2n+1

10. ⁽ⁿ⁺¹⁾_n!+1⁴ 11. 1+···+(n−1)!

n!

12. 1+···+(n−2)!

n!

13. n

1 1+n2−1

14. n·nⁿ¹ 15. 1−cos _n¹ 16. _(lnn)ⁿ^lnⁿn

17. n²e⁻

√n

Exercice 6. Entrainement intensif param´etr´e.

Etudier la nature des s´´ eries de terme général suivant en fonctions du paramètreα >0.

Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques

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Mathématiques 3 TD 3 CUPGE 2ème année - automne 2020 1. n^2−α 1−cos ¹_n

2. n^ln(α)

3. _(1+n)¹ α ln cos _n¹ 4. n! ^α_nn

5. α^n+lnn² 6. ^(−α)_lnnⁿ Solution de l’exercice 6.

1. On a 1−cos(_n¹)∼ _2n¹2[n→+∞] et donc le terme général équivaut à ¹₂n^−α. C’est une série de Riemann qui converge ssiα >1.

2. Converge ssi ln(α)>1, c’est-`a-direα > e.

3. Pour tout n>1 on a ln(cos(1

n)) = ln(1− 1

2n² +o( 1

n²)) =− 1

2n² +o( 1 n²) donc ln(cos(_n¹))∼ ¹

2n² et d’autre part (1 +n)^α/n^α →1 [n→+∞] donc (n+ 1)^α ∼n^α et donc notre terme général est équivalent à _2nα+2¹ , donc la série converge ssiα+ 2>1, ce qui équivaut

`

aα >−1.

4. On a

un+1/un= (n+ 1)α n

n+ 1 n

1

n+ 1 =α 1 1 +¹_nn

Or ln((1 + 1/n)ⁿ) = nln(1 + _n¹) ∼ 1 donc un+1/un → αe. Ainsi si α < e, la série converge d’après le critère de d’Alembert, siα > eelle diverge. Siα=e, on a besoin d’un équivalent de n!, qui est n!∼√

2πnⁿ_enⁿ. Alorsun∼√

2πn6→0, en particulier la s´erie diverge grossi`erement.

On pourrait aussi s’en sortir avec l’in´egalit´e n!> ⁿ_en

, qui se montre ainsi.

nⁿ n! =

n

Y

k=1

n k

=

n

Y

k=1 n−1

Y

i=k

i+ 1 i ,

la deuxième égalité s’obtenant par produit télescopique. Maintenant, pour tout i > 1 on a

i+1 i = ¹⁺

1 i

i . Or pour tout x ∈ R, on a e^x > 1 +x, en particulier pour tout i > 1 on a e¹ⁱ >1 +¹_i. Ainsi, nⁿ

n! 6

n

Y

k=1 n−1

Y

i=k

e¹ⁱ, et donc en ´echangeant les deux produits nⁿ

n! 6

n−1

Y

i=1 i

Y

k=1

e¹ⁱ =

n−1

Y

i=1

e^i/i =eⁿ⁻¹

On conclut que _en−1ⁿⁿ 6n!, ce qui permet de montrer que si α =e, alors u_n>e⁻⁽ⁿ⁻¹⁾eⁿ =e, en particulierun ne tend pas vers zéro, donc la série diverge grossièrement.

5. On a pour tout n> 1, ln(n) 6n, ainsi comme α >0 on a par croissance de x 7→α^x surR⁺ que pour toutn∈N,

αⁿ² 6u_n6αⁿ Commeα^n/2 =√

αⁿ, on voit que la s´erie converge ssi α <1.

6. On a |u_n|= ^α_lnⁿn qui tend vers zéro seulement si α 61, et alors u_n= (−1)ⁿv_n avec v_n= _lnn^αⁿ décroissante à termes positifs, donc par le critère des séries alternéesP

un converge alors. En conclusion, siα61 on a convergence, siα >1 on a divergence grossi`ere.

Exercice 7. Un autre exemple de convergence sans convergence absolue.

Montrer que la s´erie X

n>1

sin

nπ+ 1

√n+ 1 n²

est convergente, mais pas absolument convergente.

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Mathématiques 3 TD 3 CUPGE 2ème année - automne 2020 Exercice 8. Permutation des termes d’une série non absolument convergente.

Soient u_n= ⁽⁻¹⁾_nⁿ etσ :N^∗ →N^∗ d´efinie par : pour tout p∈N^∗,

σ(3p) = 4p; σ(3p−1) = 4p−2; σ(3p−2) = 2p−1.

1. Montrer que σ est une bijection.

2. Comparer

+∞

X

n=1

un et

+∞

X

n=1

u_σ(n).

Un th´eor`eme de Riemann montre la chose suivante : si P

an est une s´erie r´eelle convergente mais pas absolument convergente, alors pour toutl∈R, il existe une permutation σ deN^∗ telle queP

a_σ(n) converge vers l.

Exercice 9. Autour des s´eries de Riemann.

Soit α un nombre r´eel. Pour tout entiern>1, on pose un= 1

n^α, vn= 1

n^α − 1

(n+ 1)^α etwn= 1

n^α − 2

(n+ 1)^α + 1 (n+ 2)^α. 1. Pour quelles valeurs de α la suite (un) est-elle convergente ?

2. Pour quelles valeurs deαla série de terme généralv_nest-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.

3. Pour quelles valeurs deαla série de terme généralw_nest-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.

Solution de l’exercice 9.

1. La suite (u_n)_n>1 est convergente ssiα >0 ; si α = 0 elle tend vers 1 et siα > 0 elle tend vers 0.

2. La série de terme général v_n est une série télescopique avec v_n = u_n−u_n+1. Elle est donc convergente ssi (un) converge, et la somme vaut alorsu1−limun, donc 0 si α= 0, et 1 sinon.

3. On remarque quew_n=v_n−v_n+1, on a donc encore une s´erie t´elescopique qui converge ssi (v_n) converge. Pourα= 0 on av_n= 0 doncP

w_n converge et la somme vaut 0. Sinon, vn= 1

n^α 1− 1 (1 +_n¹)^α

!

= 1

n^α 1− 1

1 +^α_n+o ¹_n

!

= 1 n^α

1−1 +α n +o

1 n

∼ α n^1+α

et doncv_n converge ssiα>−1. Si α=−1,v_n=n−2(n+ 1) +n+ 2 = 0, la somme vaut donc aussi z´ero, si α >−1 alors on a quevn→0 et donc la somme vautv1 = 1−2^−α.

Exercice 10. Sondage.

Soit (u_n)n∈N une suite de nombres r´eels. Les assertions suivantes sont-elles vraies ? On justifiera les r´eponses.

1. Si pour tout n∈N,u_n>0 et la suite (u_n) d´ecroit vers 0, alors la s´erie P

u_n converge.

2. Si pour tout n∈N,un>0 et la s´erie P

un converge, alors (un) est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.

3. Si pour tout n∈N,u_n>0 et si la s´erie P

u_n converge, alors P√

u_n converge.

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Mathématiques 3 TD 3 CUPGE 2ème année - automne 2020 4. Si pour tout n∈N,u_n>0 et si la série P

u_n converge, alors P

u²_n converge.

5. Si lim

n→+∞(−1)ⁿnun= 1, alors P

un converge.

6. Si lim

n→+∞(−1)ⁿn²un= 1, alors P

un converge.

Exercice 11. Fonction myst`ere.

Soit f une fonction de classeC² sur [−1,1] telle que f(0) = 0 et f⁰(0) =f⁰⁰(0) = 1. Étudier les séries de terme général suivant :

1. f 1

n

; 2. f

1 n²

; 3. f

(−1)ⁿ n

; 4. f

(−1)ⁿ

√n

. Solution de l’exercice 11.Comme la fonction f est de classe C², le th´eor`eme de Taylor-Young nous donne le DL₃(0) def

f(x) =x+x²

2 +o(x²).

1. En particulier f _n¹

∼ ¹_n >0, et donc la s´erie P

f(¹_n) diverge.

2. Etf _n¹2

∼ _n¹₂ >0 donc la s´erie P

f(_n¹2) converge (s´erie de Riemann d’exposant 2>1).

3. Attention : comme la série n’est pas à termes positifs, on ne peut pas raisonner par équivalents.

Mais on peut décomposer le problème de la manière suivante : On a le DL2(0) defqui est donné parf(x) =x+^x₂²+x²(x) où limx→0(x) = 0, doncf₍₋₁₎n

n

= ⁽⁻¹⁾_nⁿ+_2n¹2+_n¹2

₍₋₁₎n

n

. Or le premier terme correspond à une série alternée, donc convergence, et le deuxième et troisième terme donnent des séries absolument convergentes (par le critère de Riemann) donc notre série converge.

4. Ici on décomposer le terme général en

₍₋₁₎n

√n

+ _2n¹ (1 +(⁽⁻¹⁾^√_nⁿ)), or le premier terme donne une série convergente car alternée, et le deuxième une série non convergente car le son terme général équivaut à 2/n > 0 qui correspond à une série non convergente. Donc la série ne converge pas.