S´ eries num eriques ´ .

M ath ematiques ´ - ECS1

19

S´ eries num eriques ´ .

Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles

2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c

19.1 Objectifs du chapitre Série de terme généralun. Sommes partielles associées.

On soulignera l’intérêt de la série de terme général un+1−unpour l’étude de la suite (un).

Convergence d’une série, somme et reste d’une sé- rie convergente.

Combinaison linéaire de séries convergentes.

Convergence des séries à termes positifs dans les casun6vnetun ∼vn.

Résultat admis.

Définition de la convergence absolue.

La convergence absolue implique la convergence. On remarquera que toute série absolument conver- gente est la différence de deux séries à termes po- sitifs convergentes.

Convergence des séries dans le casu_n =o(v_n) où (v_n) est le terme d’une série convergente à termes positifs.

Résultat admis.

Convergence des séries de Riemann.

Convergence et formules de sommation des séries géométriques et de leurs deux premières dérivées.

Série exponentielle. e^x = ⁺

∞

X

k=0

x^k

k!. Ce résultat sera démontré à l’aide de la formule de Taylor.

19.2 Langage des séries et généralités 19.2.1 Définitions

Soit (u_n)n≥n₀une suite de nombres réels. On pose pour toutn≥n0, S_n=

n

X

k=n₀

u_k.

Définition 1. On appelle série de terme général un notée X

n≥n₀

un le couple (un)n≥n₀,(Sn)n≥n₀.

On dit que la sérieX

n≥n₀

unconverge si la suite (Sn)n≥n₀converge.

Dans ce cas, la limite de la suite (Sn)n≥n₀ s’appelle somme de la série X

n≥n₀

un et on la note

∞

X

k=n₀

uk.

2

19.2 Langage des séries et généralités ³

Dans le cas contraire, on dit que la sérieX

n≥n₀

undiverge.

Le termeSns’appelle somme partielle d’ordre ( ou d’indice ou de rang )nde la série.

Le termeuns’appelle le terme d’ordre ( ou d’indice ou de rang )nde la série.

Exemple 1. La sérieX

k≥1

9

10^k est convergente.

Exemple 2. Les sériesX

k≥0

ketX

k≥0

(−1)^ksont divergentes.

Remarque1.On peut déterminer les nombresu_nà l’aide des nombresS_n: u_n0=S_n0, et pour toutn>n0,u_n=S_n−Sn−1

19.2.2 Conditions nécessaires de convergence

Proposition 1. Si la sérieX

n≥n0

u_nconverge alors u_n−→0mais la réciproque est fausse.

Exemple 3. La série harmoniqueX

k≥1

1

k diverge¹bien que son terme général tende vers 0.

Exemple 4. On pose pour toutn∈N, un= 2n−1 2n+2

!2n

. Nature de la série de terme généralun.

Pour toutn≥1, un>0 et lnun =2nln 2n−1

2n+2

!

=2nln 1+ −3 2n+2

!

∼2n× −3 2n+2

!

∼ −3 donc lnun −→ −3 et par suite limun =e⁻³ ,0 donc la sérieX

n≥0

undiverge.

19.2.3 Séries géométriques

Proposition 2. Soit a∈R,n0∈N. La sérieX

n≥n₀

aⁿconverge si et seulement si|a|<1.

Dans ce cas, la somme de la série est aⁿ⁰ 1−a.

Exemple 5. Etudier les sériesX

n≥1

(−1)ⁿ 1 2

!n

, X

n≥1

3 2

!n

, X

n≥4

(−1)ⁿ 4 5

!n−3

1. Nicolas Oresme, ?. « Soit une quantité donnée, un pied, à qui on ajoute pendant la première partie proportionnelle à une heure la moitié d’un pied, puis un tiers du pied, puis un quart, puis un cinquième et ainsi de suite en suivant la suite des nombres ; je dis que Ie tout sera infini, ce qu’on prouve ainsi : il existe une infinité de parties qui sont chacune plus grande que la moitié d’un pied, donc Ie tout sera infini. Ce qui précède est clair, car la quatrième partie et la troisième partie dépassent un demi, et de même la cinquième à la huitième, puis jusqu’à la seizième, et ainsi à l’infini. »

19.2.4 Reste d’une série convergente

Proposition 3. Soit n1>n0. La sérieX

n≥n₀

unconverge si et seulement si la sérieX

n≥n₁

unconverge.

Dans ce cas, on a alors :

+∞

X

k=n₀

u_k=

n1−1

X

k=n₀

u_k+ ⁺

∞

X

k=n₁

u_k

Définition 2. SoitX

n≥n₀

unune série convergente de sommeS.

Pour toutn≥n0,on poseRn =S −Sn= ⁺

∞

X

k=n+1

uk. Le réelRns’appelle reste d’indicende la sérieX

n≥n₀

un.

Proposition 4. Si la sérieX

n≥n₀

u_nest convergente de somme S alors (1) pour tout n≥n0, Rn+Sn=S

(2) la suite(Rn)n≥n0tend vers0.

19.2.5 Linéarité

Proposition 5. Soient X

n≥n₀

unetX

n≥n₀

vndeux séries convergentes de somme respectives S et T etλ∈R. Les sériesX

n≥n₀

(un+vn)etX

n≥n₀

λunconvergent et

(1)

+∞

X

k=n₀

uk+vk= ⁺

∞

X

k=n₀

uk+ ⁺

∞

X

k=n₀

vk=S +T

(2)

+∞

X

k=n0

λu_k=λ⁺

∞

X

k=n0

uk=λS

Remarque2.SiX

n≥n₀

unconverge etX

n≥n₀

vndiverge alorsX

n≥n₀

(u_n+vn)diverge.

19.2.6 Etude d’une suite à l’aide d’une série Soit (x_n)_n≥n0une suite de nombres réels.

On peut construire une série dont les sommes partielles sont les termes de la suite (xn)n≥n₀

en posantun₀ =xn₀,et pour toutn>n0, un =xn−xn−1.

19.3 Séries à termes positifs ⁵

Pour toutn ≥ n0,

n

X

k=n₀

uk = xn donc la suite (xn)n≥n₀ converge si et seulement si la série X

k≥n0

ukconverge et dans ce cas limxn= ⁺

∞

X

k=n0+1

uk

Exercice1.Soitbetxdeux réels.

Soit(u_n)la suite définie paru0 =xet pour toutn∈N,un+1=un+bⁿ. Etudier la convergence de la suite(u_n).

19.3 Séries à termes positifs 19.3.1 Séries à termes positifs

Définition 3. Une sérieX

n≥n₀

unest dite à termes positifs si pour toutn≥n0, un≥0.

Théorème de convergence des séries à termes positifs .SoitX

n≥n₀

u_nune série à termes positifs et(Sn)n≥n₀la suite de ses sommes partielles.

(1) La suite(S_n)n≥n₀est croissante.

(2) La sérieX

n≥n₀

unconverge ssi la suite(Sn)n≥n₀est majorée.

Exemple 6. Nature de la sérieX

n≥1

1 n². Exemple 7. Nature de la sérieX

n≥1

ln 1+ 1 n²

! . Remarque3.Si la sérieX

n≥n0

unest une série à termes positifs divergente alors la suite de ses

sommes partielles diverge vers+∞:S_n=

n

X

k=n₀

u_k−→+∞.

Critère de comparaison des séries à termes positifs .Soient X

n≥n0

un et X

n≥n0

vn deux séries à termes positifs. On suppose que pour tout n≥n0, un≤vn.

(1) Si la sérieX

n≥n₀

vnconverge alorsX

n≥n₀

unconverge (2) Si la sérieX

n≥n₀

undiverge alorsX

n≥n₀

vndiverge

Exemple 8. Pour toutn≥1,on poseun = 1

n etvn = 1

√

n. Pour toutn ≥1, 0 ≤un ≤vn. Comme la série harmoniqueX

n≥1

1

n diverge, la sérieX

n≥1

√1

n diverge Exemple 9. Nature de la sérieX

n≥2

1 ln²n. Exemple 10. Nature de la sérieX

n≥0

1 n!.

Exemple 11. Nature de la série de terme généralun= (xy)ⁿ

xⁿ+yⁿ, n∈Noùx>0,y>0.

Il suffit de discuter les casx≤ypuisquexetyjouent des rôles symétriques.

Siy<1 alorsun≤yⁿet la série CV.

Siy≥1 etx<1 alorsu_n≤xⁿet la série CV.

Siy≥1 etx≥1 alors 1≤x≤ydoncun≥1

2yⁿet la série DV.

Critère de comparaison des séries à termes positifs .Soient X

n≥n₀

un et X

n≥n₀

vn deux séries à termes positifs.

(1) Si un∼vnalors les sériesX

n≥n₀

vnetX

n≥n₀

unsont de même nature.

(2) Si un=o(vn)et si la sérieX

n≥n0

vnconverge alorsX

n≥n0

unconverge.

Remarque4.Pour des s :’eries à termes positifs, siu_n =o(v_n)et si la sérieX

n≥n₀

u_ndiverge alorsX

n≥n₀

vndiverge

Exemple 12. Pourn∈N, on poseun= 2ⁿ+5 3ⁿ−11. Exemple 13. Nature de la sérieX

n≥1

1 nsin1

n.

Exemple 14. SoientA,Bdeux polyômes de degréα∈Netβ∈N: A=aαX^α+. . .+a0, B=bβX^β+. . .+b0, avecaαbβ ,0

CommeBn’a qu’un nombre fini de racines, il existen0∈Ntel que pour toutn≥n0,B(n), 0 de sorte que la formuleu_n= A(n)

B(n) définit une suite bien définie à partir du rangn0et pour toutn≥n0

u_n= A(n)

B(n) =aαX^α+. . .+a0

bβX^β+. . .+b0

= aαn^α

bβn^β ×1+. . .+_n^aα⁰

1+. . .+^b_n⁰β

=λn^α−β×γ_n

19.3 Séries à termes positifs ⁷

avecλ= a_α

bβ etγ_n −→ 1 ce qui implique qu’il existen1 ∈ Ntel queun etλn^α−β sont de même signe pour toutn ≥n1. Par conséquent, les sériesX

n≥n₁

unetX

n≥n₁

n^α−βsont de même nature.

Exercice 2.Soient(an)n≥1 une suite à termes strictement positifs telles que X

n≥0

an est divergente. On poses_n=

n

X

k=1

a_k. (a) Montrer queX an

1+a_n diverge (b) Montrer que pour toutk≥1, an+1

sn+1 +an+2

sn+2 +. . .+an+k

sn+k

≥1− sn

sn+k

. En déduire que la sérieXan

s_n diverge.

(c) Montrer que pour tout n ≥ 2, an

s²_n ≤ 1 sn−1

− 1 sn

En déduire que la série Xan

s²_n converge.

(d) Que peut on dire de la nature des sériesX a_n 1+nan

etX a_n 1+n²an

?

19.3.2 Séries de Riemann

Les séries de Riemann²constituent une première échelle de comparaison pour l’étude des séries.

Théorème de convergence des séries de Riemann .Soit α ∈ R. La série X

n≥1

1 n^α converge si et seulement siα >1.

19.3.3 Utilisation des séries de Riemann Soit (un)n≥n₀une suite à termes positifs

— si il existeα >1 tel que (n^αun)n≥n₀est majorée alors la sérieX

unconverge

— si il existeα≤1 tel que (n^αu_n)n≥n₀est minorée par une constante strictement positive alors la sérieX

undiverge.

L’étude est refaire à chaque fois.

Exemple 15. Pourn∈N, on poseun=n¹³+1

n²³−2. Nature de la sérieX

n≥0

un.

Exemple 16. Pourn∈N, on posevn= n⁵²

√

n+1. Nature de la sérieX

n≥0

vn.

2. Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866. Mathématicien allemand, élève de Gauss. Sa thèse, qu’il soutient en 1851, porte sur les fonctions d’une variable complexe et introduit les surfaces qui portent son nom. Dans son habilitation en 1854 portant sur la représentation des fonctions par des séries trigonométriques, il élabore une nouvelle théorie de l’intégrale définie (c’est Cauchy qui la définit le premier en 1823 pour des fonctions continues) qui permet d’intégrer des fonctions bornées ayant une infinité de discontinuités.

Exemple 17. Nature de la sérieX

n≥1

ln²n n³ . 19.3.4 Autres critères de convergence (HP)

Critère de comparaison logarithmique (HP) .Soient X

n≥n₀

un et X

n≥n₀

vn deux séries à termes strictement positifs. On suppose que pour tout n≥n0, un+1

un

≤vn+1

vn

. (1) Si la sérieX

n≥n₀

v_nconverge alors la sérieX

n≥n₀

u_nconverge.

(2) Si la sérieX

n≥n₀

undiverge alors la sérieX

n≥n₀

vndiverge.

Exercice3 (Règle de d’Alembert).Soit(un)n≥n0 une suite à termes strictement positifs.

On suppose quelimu_n+1

un

=λ∈[0,+∞]existe. Alors

— siλ <1la sérieX

unconverge

— siλ >1la sérieX

undiverge

— siλ=1, on ne peut pas conclure.

Exemple 18. Pourx∈R⁺,n∈Non poseun = xⁿ

n!. La sérieXxⁿ

n! converge.

Exemple 19. Pourx∈R⁺,n∈Non poseun =1·4·7. . .(3n+1)

(n+1)! xⁿ. La sérieX1·4·7. . .(3n+1) (n+1)! xⁿ converge pour 0≤x< 1

3 mais elle diverge pourx=1 3.

19.4 Convergence absolue. Séries à termes de signe quelconque.

Une série est dite à termes de signe quelconque si l’on trouve parmi ses termes des termes aussi bien positifs que négatifs.

19.4.1 Définitions

Définition 4. Soit (un)n≥n₀ une suite réelle. On dit que la sérieX

unconverge absolu- ment si la sérieX

|un|converge

Proposition 6. Toute série absolument convergente est convergente.

Exemple 20. Les sériesX

n≥1

(−1)ⁿsinn n² etX

n≥1

sinn

2ⁿ convergent absolument donc convergent.

19.4 Convergence absolue. Séries à termes de signe quelconque. ⁹

Remarque 5.La réciproque du résultat précédent est fausse en général : la convergence n’entraine pas la convergence absolue.

Exemple 21. La sérieX

n≥1

(−1)ⁿ

n converge sans converger absolument³.

Exercice4 (Transformation d’Abel⁴).Soient(a_n)_n∈Net(b_n)_n∈Ndeux suites réelles. Pour tout entiern∈N,on poseAn =

n

X

k=0

ak.

(a) Exprimeraken fonction desAkpuis montrer que

n

X

k=0

akbk=

n−1

X

k=0

Ak(bk−bk+1)+Anbn.

(b) On suppose que la suite(An)nest bornée et que(bn)nest décroissante de limite nulle.

Montrer que la sérieX

a_nb_nest convergente.

(c) Montrer que la sérieX

n≥1

sinn

n^α est convergente pour toutα >0.

19.4.2 Séries alternées (HP)

Exercice 5.Soit (a_n)n≥n₀ une suite positive décroissante et de limite nulle. La série X(−1)ⁿan est convergente⁵. Pour le prouver, reprendre la preuve de la convergence de la série harmonique alternéeX

n≥1

(−1)ⁿ

n ci-dessus.

Exercice 6.Pourα > 0,n ∈ Non pose un = (−1)ⁿlnn

n^α . Montrer que la sérieX

n≥1

un

converge si et seulement si2α >1

19.4.3 Série exponentielle

Proposition 7. Soit x∈R. La sérieX

n≥0

xⁿ

n! converge absolument et a pour somme e^x=⁺

∞

X

n=0

xⁿ n!

Exemple 22. La série de terme généralu_n = n²+n+1

n! converge et que sa somme vaut

+∞

X

n=0

un=4e

3. En 1837, Dirichlet signale qu’en changeant l’ordre des termes d’une série convergente non absolument conver- gente, on peut changer la valeur de sa somme.

19.4.4 Série géométrique et ses dérivées

Soitx∈]−1,1[ fixé etp∈N. On pose pourn≥p u_n(x)=n(n−1). . .(n−p+1)x^n−p Pour 0 < |x| < 1, on a |un+1(x)|

|un(x)| = n+1

n−p+1|x| → |x| < 1 donc la sérieX

|un(x)|

converge absolument d’après la règle de D’Alembert. Pour x = 0, la sérieX

|un(0)|est clairement absolument convergente.

Le but est de calculer la somme de la série

+∞

X

n=p

u_n(x) pour toutx∈]−1,1[.

Pourx∈]−1,1[ on poses(x)= ⁺

∞

X

n=0

xⁿ = 1

1−xce qui définit une fonctionsde classe C^∞sur ]−1,1[.

Lemme 8. Pour tout p∈N,

s^(p)(x)= p!

(1−x)^p+1

Proposition 9. Pour tout x∈]−1,1[,pour tout p∈N,

+∞

X

n=p

n(n−1). . .(n−p+1)x^n−p= p!

(1−x)^p+1

Pour obtenir les séries dérivées d’une série géométrique, il suffit⁶de dériver autant de fois que souhaité les termes de la série.

19.5 Exercices.

Exercice7. Déterminer la nature des séries de terme général suivant (a) un=

√n n²+lnn+2 (b) un=arctan(n)

n (c) un=2nsin 1

n², n≥1 (d) un=ln cos 1

2ⁿ

!!

(e) un=ln n²+n+2 n(n+1)

!

(f) un=1− r

1+ 1 n² (g) un= n

n+1 n(n−1)

(h) un=e⁻ⁿ² (i) u_n =lnn

n (j) un = 1

√nln 1+ 1

√n

!

6. Un commentaire d’Abel : On peut trouver d’innombrables exemples de ce genre. En général, la théorie des séries infinies, jusqu’à présent, est très mal établie. On fait toute espèce d’opérations sur les séries infinies comme si elles étaient finies, mais est-ce permis ? Jamais de la vie. Où cela est-il démontré que l’on obtient la dérivée d’une série infinie en prenant la dérivée de chaque terme ? II est facile de citer des exemples où cela n’est pas exact, par exemple : ^x₂=sinx−^{sin 2x}₂ +

sin 2x

2 +...En prenant les dérivées, on a¹₂=cosx−cos 2x+cos 3x−...Résultat absolument faux, car cette série est divergente.

II en est de même pour la multiplication, la division, etc., des séries infinies. J’ai commencé à passer en revue les règles les plus importantes qui sont admises (aujourd’hui) sous ce rapport, et à montrer dans quels cas elles sont justes ou non.

19.5 Exercices. ¹¹

Exercice8. Montrer que les séries de termes généralunsuivantes sont convergentes et calculer leur somme :

(a) un=n3ⁿ n! , (b) un=n²−n+2

2ⁿ (c) un= xⁿ

(2n)! lorsquex≥0.

(d) un=n(n−1)xⁿ (n+1)! , (e) un=n²(−1)ⁿ⁺¹

n!

(f) un= n(n+1)(−1)ⁿ 2ⁿ⁺¹ (g) un= 2n−1

n(n²−4)

Exercice9. Dans chacun des cas suivants, étudier la nature de la série de terme général u_n.

(a) un= ln(n) n(n−ln(n)) (b) u_n=1

n − 1

n+xpourx∈R\Z (c) un= n

n+1 ln(n)

(d) u_n=lnⁿ(n) n^ln(n) (e) u_n=sin 1

√n

!

−ln 1− 1

√n

!

(f) un= 1

√ nln

n n+1

(g) un= r

1+cos(n) n² −1 (h) un=sin(ln(n))

√ n³+1 (i) un =ncosn

1+eⁿ (j) un =ln 1+(−1)ⁿ

n²

!

Exercice10.(1) Montrer que pour tout réelx>−1, 1

1+x =1−x+ x² 1+x (1) et en déduire que siεn→0, on a, au voisinage de+∞:

1

1+ε_n =1−ε_n+o(ε_n)

Etudier alors la nature de la série de terme généralun = 1 ln(n)+(−1)ⁿn.

(b) Etudier, de manière analogue, la nature de la série de terme général u_n =

ln n

n+(−1)ⁿ

! .

Exercice 11. Soit (v_n)_n∈N^∗ une suite de réels strictement positifs. On pose pour n ∈ N^∗, Vn =

n

X

k=1

vk. L’objectif de l’exercice est de démontrer que les séries X vn et X vn+1

√ Vn

sont de même nature.

(a) Montrer que, pour tout entierk∈N^∗,vk+1=(√

Vk+1−√ Vk)(√

Vk+1− √ Vk).

(b) En déduire l’équivalence annoncée.

Exercice12. On considère une suite (an) telle que la sérieX

n≥1

a²_n soit convergente. On définit une suite (A_n) parA0=0 et pour toutn≥1 :An=1

n

n

X

k=1

ak

(a) Exprimer, pourk≥1,a_ken fonction deA_ket deAk−1. (b) En déduire que pour toutn≥1 :

n

P

k=1

A²_k≤2

n

P

k=1

a_kA_k

(c) Montrer que :

n

X

k=1

A²_k²≤4

n

X

k=1

A²_k

n

X

k=1

a²_k

(d) En déduire que la série de terme généralA²_kest convergente.

Exercice13. Pour tout entierndeN, on poseu_n=Z ^π₄

0

tanⁿ(t)dt.

1. Calculeru₀,u₁etu₂.

2. Étudier la monotonie de la suite (un). En déduire que la suite (un) converge.

3. Pour toutn∈N, calculerun+2+un. 4. Pour toutn≥2, montrer que 1

2(n+1) ≤u_n≤ 1 2(n−1).

En déduire un équivalent simple deun, lorsquentend vers l’infini, puis la nature de la série de terme généralun.

5. On considère la série⁺

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n . Pour tout entierN∈N^∗, on noteSNsa somme partielle de rangN, soit :SN = P^N

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n . a) Préciser la nature de la série considérée.

b) Montrer que pour toutN∈N^∗,

N−1

P

p=0

(−1)^p(u2p+3+u2p+1)= 1 2SN. c) En déduire la valeur de la somme de la série.

Exercice14.Extrait EML 2007.

On considère l’application

f : [0;+∞[→R, x7→ f(x)=











ln(1+x)

x six>0 1 six=0

19.5 Exercices. ¹³

(1) Montrer, pour toutN∈Net toutt∈[0; 1] : 1

1+t =

N

X

k=0

(−1)^kt^k+(−1)^N+1t^N+1 1+t (2) En déduire, pour toutN∈Net toutx∈[0; 1] :

ln(1+x)=

N

X

k=0

(−1)^kx^k+1

k+1 +JN(x), où on a notéJ_N(x)=Z x

0

(−1)^N+1t^N+1 1+t dt

(3) Établir, pour toutN∈Net toutx∈[0; 1] : |JN(x)| ≤ x^N+2 N+2 . (4) En déduire que, pour toutx∈[0; 1], la sérieX

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n converge et que : ln(1+x)= ⁺

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ n

(5) Montrer, en utilisant le résultat de(3), pour toutN∈Net toutx∈[0; 1] :

|f(x)−

N

X

k=0

(−1)^kx^k

k+1 | ≤ x^N+1 N+2 (6) Montrer que la sérieX

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹

n² converge et que : Z 1

0

f(x)dx= ⁺

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n² . (7) Montrer, pour toutN∈N^∗:

2N+1

X

n=1

1 n² =

N

X

p=0

1 (2p+1)² +

N

X

p=1

1 4p²

2N+1

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n² =

N

X

p=0

1 (2p+1)² −

N

X

p=1

1 4p² (8) On admet que

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 . Montrer : Z 1

0

f(x)dx= π² 12 .

Exercice15.Extrait Edhec 2008

On se propose dans cet exercice de montrer que la série de terme généralu_n = (−1)^nsin_nⁿ est convergente et de calculer sa somme.

(1) On désigne par f une fonction de classe C¹ sur l’intervalle [a,b] et par λ un réel strictement positif. Montrer, grâce à une intégration par parties, que :

λ→lim+∞

Z b a

f(t) cos(λt)dt=0.

(2) (a) On rappelle que :∀(a,b)∈R², cos(a+b)=cosacosb−sinasinb.

Exprimer, pour tout réel t et tout entier k, cos_t

2

cos(kt) en fonction de cos_2k+1

2 t

et cos_2k−1

2 t .

(b) En déduire que, pour toutt∈[0,1], n∈N^∗, cos

t 2

Xⁿ

k=1

(−1)^kcos(kt)=1

2 (−1)ⁿcos 2n+1 2 t

!

−cos t

2 !

(c) Montrer alors que :∀n∈N^∗,

n

X

k=1

u_k=(−1)ⁿ Z 1

0

cos_2n+1

2 t 2 cos_t

2

dt−1 2.

(d) Utiliser la première question pour conclure que la série de terme généralun

converge et que

+∞

X

n=1

(−1)ⁿsinn n =−1

2

Exercice16.Extrait Edhec 2006

(1) (a) Montrer que l’on définit bien une unique suite (u_n)_n≥1, à termes strictement positifs, en posant : u₁ = 1 et, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, u_n= 1

2n−1

n−1

X

j=1

u_j.

(b) Vérifier queu2= 1

3, puis calculeru3.

(2) Montrer que la série de terme généralunest divergente et donner lim

n→+∞ n

X

j=1

uj. (3) (a) Etablir que : ∀n≥2, un+1= 2n

2n+1un. (b) En déduire que la suite (un) est convergente.

(c) Donner un équivalent de ln un

un+1

lorsquenest au voisinage de+∞puis dé- terminer la nature de la série de terme général ln u_n

un+1

. (d) En déduire lim

n→+∞ln(un), puis montrer que lim

n→+∞un=0.

(4) (a) Montrer que : ∀n ≥2, un = 4ⁿ 4n_2n

n

, où 2n n

!

désigne le coefficient binomial (2n)!

n!n!.

(b) En utilisant la question 2, déterminer lim

n→+∞nu_n, puis montrer que : 2n

n

!

(+=∞)o(4ⁿ).

(5) En utilisant le résultat de la question3, montrer que : 4ⁿ n =

(+∞)o 2n n

!

Exercice17 (Extrait EML 2005).(1) Vérifier, pour tout n ∈ N^× :

π

Z

0

t² 2π−t

!

cos(nt)dt= 1 n².

19.5 Exercices. ¹⁵

(2) Etablir, pour toutm∈N^×et touttde ]0, π] : 1−e^imt

1−e^it e^it=sin^tm₂

sin₂^t e^i(m+1)t2 , puis

m

X

n=1

cos(nt)=cos^(m+₂^1)tsin^mt₂ sin₂^t . (3) Soitu: [0, π]→Rune application de classeC¹.

Montrer, à l’aide d’une intégration par parties :

π

Z

0

u(t) sin (λt)dt →

λ→+∞0.

(4) Soit l’application f : [0, π]→Rdéfinie par f(t)=

t² 2π −t

2 sin₂^t sit∈]0, π] et f(0)=−1.

Montrer que f est de classeC¹sur [0, π]

(5) (a) Montrer :∀m∈N^×,

m

X

n=1

1 n² =π²

6 +

π

Z

0

f(t) sin(2m+1)t

2 dt.

(b) Justifier la convergence de la sérieX

n≥1

1

n² et montrer :

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6.

Exercice18 (Critère de condensation de Cauchy). Soit (un)n∈Nune suite décroissante de limite nulle. On appelleUn etVn les sommes partielles d’indicendes sériesX

k≥0

uk et X

k≥0

2^ku₂k.

(a) Montrer que pour toutn∈N,−1 2u1+1

2Vn≤U2ⁿ≤u0+Vn. (b) En déduire que les sériesX

uketX

2^ku2^k sont de même nature.

(c) Pour quelles valeurs deβ ∈ Rla série de terme généralun = 1

nlnn(lnn)^β est elle convergente ? Etun = 1

nlnn(ln lnn)^β ?

Exercice19 (Oral ESCP). Soit (un)n≥1une suite réelle à termes strictement positifs. On considère les deux suites (vn)n≥1et (wn)n≥1définies par :

v_n= 1 nun

n

X

k=1

u_ketw_n= 1 n²un

n

X

k=1

ku_k

(1) On suppose dans cette question que la suite (un)n≥1 est définie pour toutn deN^∗ par :un =n^α, oùαest un réel strictement positif.

(a) À l’aide d’une somme de Riemann, déterminer un équivalent de

n

P

k=1

k^α, quand ntend vers+∞.

(b) Vérifier que la suite (vn)n≥1est convergente et déterminer sa limite.

(c) Montrer que la suite (w_n)_n≥1est convergente et déterminer sa limite.

(2) On suppose dans cette question que la suite (vn)n≥1converge vers un réelastricte- ment positif et on admet le résultat suivant :

Théorème .Si(an)n≥1et(bn)n≥1sont deux suites réelles positives telles que an∼bn

etP

n

andiverge, alors

n

X

k=1

ak∼

n

X

k=1

bk

.

On note, pour toutndeN^∗,Sn= Pⁿ

k=1

uk.

(a) Montrer, à l’aide d’un raisonnement par l’absurde, que la série de terme géné- ralunest divergente.

(b) Établir, pour tout entier naturelnnon nul, l’égalité suivante :

n

X

k=1

kuk=(n+1)Sn−

n

X

k=1

Sk

(c) Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul, wn= n+1

n vn− 1 n²u_n

n

X

k=1

Sk.

(d) En utilisant le résultat admis, montrer qu’au voisinage de+∞: w_n=a−aw_n+o(w_n).

(e) En déduire, en fonction dea, la limite de la suite (wn)n≥1.

Exercice 20. Pour toute suite réelle (u_n)_n∈N, on note (∆u_n)_n∈N et (∆²u_n)_n∈N les suites définies par :

∀n∈N,∆u_n=u_n−u_n+1,∆²u_n=u_n+2−2u_n+1+u_n. On dit que (un)n∈Nestconvexesi, pour toutn∈N,∆²un ≥0.

(1) (a) Exprimer, pour toutn∈N,∆²unen fonction de∆unet de∆un+1.

(b) En déduire une condition nécessaire et suffisante sur la suite réelle (∆u_n)n∈N

pour que la suite réelle (u_n)_n∈Nsoit convexe.

On suppose pour toute la suite de l’exercice que la suite réelle(un)n∈Nest convexe et bornée.

(2) (a) Démontrer que la suite réelle (∆u_n)_n∈Nest convergente. Déterminer sa limite (on pourra raisonner par l’absurde).

(b) Démontrer que la suite réelle (un)n∈Nest convergente. On notera` sa limite, que l’on ne cherchera pas à determiner.

(c) Soit n et p deux entiers naturels tels que n ≥ 2p. Démontrer que l’on a : 0≤n∆u_n≤2(u_p−u_n).

En déduire les limites des suites (n∆un)n∈Net (n∆un+1)n∈N. (d) Établir que, pour toutn∈N,

n

P

k=0

k∆²uk= Pⁿ

k=1∆uk−n∆un+1. (e) En déduire que

∞

P

k=1

k∆²uk= P^∞

k=1∆uk.

19.5 Exercices. ¹⁷

Exercice21. Soit (an)n∈N^∗une suite de réels positifs telle que la sériePandiverge. On notera (Sn) la suite des sommes partielles, i.e. la suite définie, pour tout entier natureln non nul, par :Sn = Pⁿ

k=1

ak. 1. Exemples.

a) Pour toutn∈N^∗, on posean=1

n. Déterminer la nature de la sérieP an

1+na_n. b) Pour toutn∈N^∗, on posean=

(1 s’il existe un entiermtel quen=2^m−1 0 sinon.

Déterminer la nature deP a_n 1+nan

.

2. On suppose dans cette question que la suite (an) est à valeurs strictement posi- tives.

Montrer que la sérieX an

1+n²a_n converge.

3. a) Montrer que siX an

1+an

converge, alors la suite (a_n) converge vers 0.

b) Montrer que si la suite (an) converge vers 0, alorsX an

1+a_n diverge.

c) En déduire queP an

1+an

diverge.

4. a) Soit (u_n) une suite de réels positifs et (T_n) la suite des sommes partielles de la série de terme généralu_n. Montrer que si la suite (T_n) converge, alors pour toutε >0, il existe un entier natureln₀ ∈Ntel que pour tout entiern ≥n₀, et tout entier p ≥0,

|T_n+p−T_n| ≤ε.

b) Soient (n,k)∈(N^∗)². Montrer que

k

X

j=1

an+j

Sn+j

≥1− Sn

Sn+k

. c) En déduire que la sérieXan

Sn

diverge.

Exercice22. Soitαun réel strictement positif. Pour toutn∈N^∗, on noteunla fonction définie surRpar :un(x)= x

n^α(1+nx²)

0. Justifier la convergence de la série de terme général 1

n^α+1. On notera f(α) =

∞

X

k=1

1 k^α+1

1. Montrer que pour tout réelx, la série de terme généralun(x) est convergente.

On note alors :S(x)=

∞

X

k=1

uk(x).

2. a) Montrer que la fonctionS est impaire.

b) Pournentier supérieur ou égal à 1, étudier les variations deu_nsurR.

c) En déduire les variations deS sur [1,+∞[ puis sur ]−∞,−1]

3. a) Montrer que pourx≥1, etn≥1 : x

(1+x)²f(α)≤S(x)≤1 xf(α).

(On pourra utiliser l’encadrement :nx²<1+nx² <n(1+x)².) b) En déduire un équivalent deS(x) et sa limite en+∞.

4. On supposeα≤1 2.

a) En minorant pour x ≥ 0, après justification, la sommeS(x) par

2n

X

k=n+1

uk(x), montrer que :S 1

√ 2n

≥ n^12−α 2^α+32

b) En déduire queS n’est pas continue en 0.

c) Déterminer la limite deS en 0.

Exercice 23. Soita ∈ R^∗₊. On considère la suiteu = (u_n)_n∈N^∗ définie par :u1 = a et

∀n∈N^∗,u_n+1 = 1

√nu²_n

1. On suppose que la suiteuvérifie :∀n∈N^∗,un≥ √

n. Montrer que la suiteuest croissante et divergente.

2. On suppose que la suiteuvérifie :∃k∈N^∗,u_k< √ k.

a) Montrer que∀n≥k,un< √ n.

b) Montrer que la suiteuest décroissante à partir du rangk.

c) Montrer que la suiteuconverge de limite nulle.

3. En déduire que la suiteuconverge si et seulement si il existe un rangktel que u_k<1.

4. Pour toutn∈N^∗, on posevn= 1

2ⁿ⁻¹ln(un).

a) Montrer que la suite (vn)n∈N^∗est ainsi bien définie et que :

∀n∈N^∗,vn−vn+1= 1 2ⁿ⁺¹ lnn b) Montrer que la série de terme généralsn= 1

2ⁿ⁺¹ lnnest convergente.

On noteS =

∞

X

n=1

1 2ⁿ⁺¹ lnn.

c) Montrer que pour toutn≥2,v1 =v_n+

n−1

X

k=1

s_k. En déduire que la suite (v_n)n∈N^∗

converge.

d) Montrer que la suiteuconverge si et seulement sia<e^S.

19.5 Exercices. ¹⁹

Exercice24. Soitkun réel fixé. Soit f :R→Rune fonction dérivable surRvérifiant :

f(0)=1 et∀x∈R,f⁰(x)= f(kx)

1. a) Soitn∈N^∗. Montrer que f estnfois dérivable surRet qu’il existe (an,bn)∈ R²tel que pour toutx∈R, f⁽ⁿ⁾(x)=k^anf(k^bnx).

b) Pour toutn∈N^∗, exprimera_netb_nen fonction den.

c) Calculer f⁽ⁿ⁾(0).

2. Soit (un) une suite de réels tels que :∀n∈N, un,0, et lim

n→∞

|un+1|

|u_n| =`∈R. Montrer que :

a) si` <1, la série de terme généralu_nconverge absolument.

b) si` >1, la série de terme généralundiverge.

3. Soitgkla fonction définie par :gk(x)=⁺P^∞

n=0

k^an×xⁿ n!. a) Déterminer le domaine de définition deg1.

b) Déterminer, selon les valeurs dek, le domaine de définition degk. 4. On suppose désormais que|k| ≤1. Soita>0 un réel fixé.

a) Montrer qu’il existe un réelM≥0 tel que :

∀x∈[−a,a],∀n∈N,|f⁽ⁿ⁾(x)| ≤M b) SoitN∈N^∗. Pour toutx∈[−a,a], on poseRN(x)=f(x)−

N−1

X

n=0

k^an×xⁿ n!. Déterminer lim

N→∞|R_N(x)|.

c) Montrer queg_kest dérivable surRet montrer que pour toutx∈R, g⁰_k(x)= gk(kx)