Universit´e Paris Diderot Paris 7 D´epartement de Sciences Exactes L2 MASS
MA3 – Ann´ee 2011/12
Partiel du 29 octobre 2011 ; dur´ ee : 3 heures (suites, s´ eries num´ eriques et s´ eries de fonctions)
Les exercices sont ind´ependants. Les documents autoris´es sont vos notes de cours et TD ainsi que le polycopi´e du cours. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees.
Exercice 1 (Suites r´ecurrentes) On d´efinit une suite (un)n>0 par sa valeur initiale u0∈R et en imposant la relation de r´ecurrenceun+1=13(4−u2n).
1. ´Etudier la fonctionf(x) =13(4−x2) ; en particulier d´eterminer quandx > f(x), respectivementx < f(x) oux=f(x).
2. Montrer que siun est convergente, alors sa limite vautℓ= +1 ouℓ=−4.
3. Montrer que si|u0|>4 alors la suite tend vers moins l’infini.
4. Montrer siu0= +1 ouu0=−4 alors la suite est constante, et v´erifier que siu0= 4 alorsu1=−4.
5. Montrer que si|u0|<4 alors la suiteun est convergente de limite +1.
Exercice 2 (S´eries num´eriques) D´eterminer lesquelles des s´eries suivantes sont convergentes, absolument convergentes ou divergentes.
X
n>1
1 + 1
n n
−1
; X
n>1
plog(n+ 1)−p
logn; X
n>1
n 4n +1
n
; X
n>2
(−1)n(logn)2
n .
Exercice 3 (Comparaison int´egrale/s´erie) Soita∈Ron se propose d’´etudier les s´eries et int´egrales S(a) :=
∞
X
n=1
na
1 +n2 et I(a) :=
Z ∞
1
xa
1 +x2dx:= lim
X→+∞
Z X
1
xa
1 +x2dx. (1)
1. Pour quelles valeurs dea∈R, la s´erieS(a) est-elle convergente ?
2. Montrer que la fonctionf(x) = 1+xxa2 est d´ecroissante sur [1,+∞) sia <2.
3. D´emontrer les in´egalit´esI(a)6S(a)6I(a) +12.
4. En d´eduire que l’int´egrale (1) est convergente poura <1 et divergente poura>1.
Exercice 4 (Convergence simple, ´equivalents) Soita >0, on ´etudie la s´erie
∞
X
n=2
(−1)n na+ (−1)n
1. Pour quelles valeurs deala s´erie est-elle absolument convergente ? 2. Montrer que
(−1)n
na+ (−1)n =(−1)n na − 1
n2a +O 1
n3a
(2) En d´eduire que la s´erie converge poura >1/2 et diverge poura61/2.
Exercice 5 (S´eries de fonctions : convergence normale) On d´efinit (pourxr´eel) les s´eries de fonctions : S(x) =
∞
X
n=1
e−nx
n3+n2 et T(x) =
∞
X
n=1
e−nx n2+n.
1. Montrer que ces deux s´eries convergent normalement sur tout l’intervalle [0,+∞) et y d´efinissent des fonctions continues. Les s´eries convergent-elles pourx <0 ?
2. CalculerT(0) (on pourra observer que n21+n = n1 −n+11 ).
3. Montrer queS(x) est d´erivable et queS′(x) =−T(x).
4. Conclure que, au voisinage de 0 on aS(x) =S(0)−x+o(x).
Exercice 6 (S´eries enti`eres) D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres suivantes
∞
X
n=1
xn 1 + 2 +· · ·+n;
∞
X
n=0
(3n)!
(2n)!(n+ 1)!xn;
∞
X
n=1
1 n2 +πn
xn
