Programme de Colle n
◦8 - PCSI
(Du 20 au 31 Janvier 2020)
Une colle de math´ematiques en PSI comporte une question de cours suivie de 1 ou 2 exercice(s) sur :
SUITES ET S´ ERIES DE FONCTIONS
— SUITES DE FONCTIONS : D´efinition d’une suite de fonctions, Convergence simple, Convergence uniforme, norme infinie, convergence en norme uniforme, exemples.
— S´ERIES DE FONCTIONS : D´efinition d’une s´erie de fonctions, Convergence simple, somme, reste, Convergence uniforme, lien entre CVU et CVS (Rn CVU vers 0), Convergence normale,
CVN ⇒CVU ⇒ CVS , Exemples.
— CONTINUIT´E ET LIMITE : Convergence uniforme et continuit´e, convergence uniforme sur tout segment et continuit´e, Th´eor`eme de la double limite (pour les suites et les s´eries), exemples.
— TH ´EOR`EMES D’INT ´EGRATION ET DE D´ERIVATION :
— Th´eor`emes de permutation limite-int´egrale,
— Th´eor`eme d’int´egration terme `a terme (sur un segment),
— Th´eor`eme de convergence domin´ee,
— Th´eor`eme d’int´egration terme `a terme (sur un intervalle pour des fonctions cpmx),
— Th´eor`eme d’interversion limite-d´eriv´ee,
— Th´eor`eme de d´erivation terme `a terme (+ versions similaires pour les d´eriv´ees d’ordre sup´e- rieures)
Questions de cours (´enonc´es de cours ou d´emonstration)
D´efinitions et propri´et´es :
Savoir ´enoncer impeccablement :
— le th´eor`eme de la double limite (suites et s´eries),
— le th´eor`eme permutation limite-int´egrale (sur un segment),
— le th´eor`eme d’int´egration terme `a terme (sur un segment),
— le th´eor`eme de convergence domin´ee (sur un intervalle),
— le th´eor`eme d’int´egration terme `a terme (sur un intervalle),
— le th´eor`eme d’interversion limite-d´eriv´ee et le th´eor`eme de d´erivation terme `a terme.
D´emonstrations exigibles :
• La convergence normale de P
fn sur I implique la convergence uniforme sur I (p.10)
• Si (fn) converge uniform´ement vers f et chaque fn est continue ena alors f est continue en a. (p.12)
• Etude de la fonction´ ζ de Riemann : Existence, continuit´e, d´erivabilit´e et limite en +∞ (p.20)
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 2019-2020
