Math´ematiques 3 Semaine du 9 novembre L2 CUPGE - automne 2020
Colle – Convergence de suites et s´ eries de fonctions
— Notion de limite simple et uniforme d’une suite de fonctions `a valeurs dans Cd´efinies sur une partie deC.
— Toute limite uniforme de fonctions continue est continue.
— Une limite simple de fonctions continues n’est pas forc´ement continue.
— Compatibilit´e de la convergence uniforme avec les sommes et la multiplication par une scalaire.
— Si (fn) (resp. (gn)) converge uniform´ement versf (resp.g) sur un segmentI, et pour toutn,fn etgn sont continues, alors (fngn) converge uniform´ement versf g surI.
— Si (fn) converge uniform´ement vers f sur un segment I, alors pour tout x0 ∈ I, la suite de fonctions Fn:x7→Rx
x0fn(t)dtconverge uniform´ement vers F :x7→Rx
x0f(t)dt.
— Si pour tout n, fn est C1 et (fn0) converge uniform´ement sur un segmentI vers g, et s’il existe x0 ∈I tel que (fn(x0)) converge, alors (fn) converge uniform´ement vers une fonction de classe C1 dont la d´eriv´ee est ´egale `a g.
— Si pour tout n, fn est de classe Ck et ses d´eriv´ees i-i`emes convergent uniform´ement pour i = 0, ..., k, alors la limite uniforme de (fn) est Ck et ses d´eriv´ees sont les limites uniformes des d´eriv´ees des fn.
— S´eries de fonctions, convergence normale d’une s´erie de fonctions, convergence normale implique convergence uniforme.
Questions de cours
— Prouver qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue.
— Prouver que la somme de deux limites uniformes est la limite uniforme des sommes.
— Montrer que le produit de deux limites uniformes n’est pas forc´ement la limite uniforme des produits, puis ´enoncer le th´eor`eme de convergence uniforme des produits de fonctions continues sur un segment.
— Montrer que si pour toutn,fn est de classeCket ses d´eriv´eesi-i`emes convergent uniform´ement pouri= 0, ..., k, alors la limite uniforme de (fn) estCket ses d´eriv´ees sont les limites uniformes des d´eriv´ees des fn.
— Montrer que si une s´erie de fonctions converge normalement, elle converge uniform´ement.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques
