1) Convergence simple, convergence uniforme d’une suite de fonctions

Sauf indication contraire, I désigne un intervalle non trivial de RetK représenteRou C.

II - Diverses notions de convergence

1) Convergence simple, convergence uniforme d’une suite de fonctions

Définitions

Soient (f_n)_n∈N une suite d’applications de I dansKetf :I →K.

1) On dit que la suite de fonctions (fn) converge simplement (CVS) vers f sur I si et seulement si, pour tout x deI, la suite numérique f_n(x) converge vers f(x) (la convergence simple est aussi appelée convergence ponctuelle ou convergence point par point).

Autrement dit,(fn) CVS versf surI si et seulement si

∀ε >0 ∀x∈I ∃n0 ∈N ∀n∈N n≥n₀ ⇒ |fn(x)−f(x)| ≤ε où n₀ dépend deεet de x.

2) On dit quela suite de fonctions (f_n)converge uniformément (CVU)vers f sur I si et seulement si sup

x∈I

|fn(x)−f(x)| −→

n→∞0

(ce qui suppose quef_n−f est bornée à partir d’un certain rang). Cette propriété équivaut à

∀ε >0 ∃n₀ ∈N ∀n∈N n≥n₀ ⇒ ∀x∈I |f_n(x)−f(x)| ≤ε où n₀ dépend deε,mais ne dépend pas de x.

NB : lorsque(fn)converge uniformément vers f surI avec les f_nbornées surI, alorsf est également bornée surI et la convergence uniforme de la suite de fonctions(fn) versf surI n’est autre que la convergence dans l’espace vectoriel normé B(I,K) muni de la norme N∞, appelée norme de la convergence uniforme. La notationN_∞ a le défaut de ne pas faire apparaître l’intervalleI. . . Propriété : si (fn) converge uniformément versf sur I, alors (fn) converge simplement versf sur I.

Attention ! Réciproque fausse !

Exemple : soit, pour toutndeN,f_n:x→xⁿ ;

•(f_n)CVS sur [0,1]vers f :x→ 0 six∈[0,1[

1 six= 1 (voir la suite numérique (xⁿ) pour x fixé).

•(fn) ne converge pas uniformément sur [0,1] : s’il y avait CVU, ce serait versf ; or, pour tout n, sup

x∈[0,1]

|f_n(x)−f(x)|= 1.

•Pourα∈]0,1[,(fn) converge uniformément vers 0 sur[0, α]: en effet sup

x∈[0,α]

|fn(x)−f(x)|=αⁿ.

•Il ne suffit pasd’écarter la valeur 1 : pas de CVU sur [0,1[puisque sup

x∈[0,1[

|fn(x)−f(x)|= sup

x∈[0,1[

xⁿ= 1.

Remarques pratiques

1) Plan d’étude standard pour étudier une suite de fonctions(f_n) surI

∗ CVS : fixer x dans I et étudier la suite numérique f_n(x) , ce qui fournit f le cas échéant (si nécessaire, distinguer différents cas selon la valeur dex) ;

∗ CVU : si (fn) CVS vers f sur I, fixer n dans N et chercher un majorant de |fn(x)−f(x)|

indépendant de x, δ_n, tel que la suite numérique (δ_n) converge vers 0 ; en cas de succès, on a la CVU puisque sup

I

|fn−f| ≤ δ_n. On peut éventuellement déterminer la valeur exacte de sup

I

|f_n−f|, par exemple en étudiant les variations de f_n−f, lorsque K = R (comparer alors le sup des valeurs positives et l’inf des valeurs négatives, puisque c’estsup

I

|fn−f|que l’on cherche !).

2) Pour nier la convergence uniforme de(fn) versf surI, il suffit d’exhiber une suite(xn)d’éléments deI telle que la suite numérique f_n(x_n)−f(x_n) ne converge pas vers 0.

En effet, si (f_n)CVU versf surI, alors pour toute suite(x_n) d’éléments deI

∀n∈N |fn(xn)−f(xn)| ≤sup

I

|fn−f| et donc fn(xn)−f(xn) converge vers 0 par encadrement.

3) En l’absence de convergence uniforme surI (par exemple si lesf_n−f ne sont pas bornées), on peut parfois établir la convergence uniforme sur certaines parties deI (en mettant à l’écart les points qui posent problème. . . Voir les exemples).

Exemples :

1) SurI =R⁺ soit, pour toutn deN,f_n:x→ nx 1 +nx ;

∗ (fn) CVS surR⁺ vers f :x→ 0 six= 0

1 six >0 (voir la suite numérique f_n(x) pour x fixé).

∗ (fn) ne converge pas uniformément sur R⁺, ni sur R^+∗ : s’il y avait CVU, ce serait versf ; or, pour x_n= 1

n,|fn(xn)−f(xn)|= 1 2.

∗ Poura >0,(fn)converge uniformément vers 1 sur [a,+∞[: en effet, pour nfixé

∀x∈[a,+∞[ |f_n(x)−1|= 1

1 +nx ≤ 1 1 +na etδ_n= 1

1 +na est un majorant indépendant de xqui tend vers 0 lorsque ntend vers l’infini.

2) Soit α∈Ret, sur I =R⁺ soit, pour toutnde N,f_n:x→n^αxe^−nx ;

∗ (fn) CVS surR⁺ vers 0 ;

∗ Pour étudier la convergence uniforme, je fixe n et j’essaie de trouver un majorant de f_n(x) indépendant dex: une majoration banale est improbable (produit d’une fonction croissante par une fonction décroissante) d’où l’idée d’étudier les variations def_n ; il vient :

sup

R⁺

|fn|=fn 1

n = n^α−1 e .

Conclusion : (fn) converge uniformément vers 0 surR⁺ si et seulement siα <1.

∗ Poura >0,(fn)converge uniformément vers 0 sur[a,+∞[: en effet, pournsuffisamment grand, a > 1

n et alors fn décroît sur[a,+∞[d’où

∀x∈[a,+∞[ |fn(x)| ≤fn(a)

orf_n(a) est indépendant de x et tend vers 0 lorsquen tend vers l’infini, cela quel que soitα.

Attention ! Certaines propriétés à caractèreponctuel(comme positive, paire, périodique, croissante. . . ) se transmettent à la limite par convergence simple (par exemple : “si la suite de fonctions (fn) converge simplement vers f sur un intervalleI de Ret si lesf_n sont croissantes sur I, alors f est croissante sur I”).

Mais une suite de fonctions continues peut converger simplement vers une fonction dis- continue (ça s’arrange avec la convergence uniforme : voir §II).

2) Convergence simple, uniforme, normale d’une série de fonctions

Notations : comme pour définir les séries numériques, à toute suite(fn) de fonctions de I dansKon associe la série de fonctions fn et la suite des sommes partielles (Sp) associée, qui est la suite de fonctions définie par

∀p∈N ∀x∈I S_p(x) =

p n=0

f_n(x).

Définition :soit (f_n) une suite d’applications de I dans K. On dit que la série de fonctions f_n converge simplement (resp. uniformément) sur I si et seulement si la suite (Sp) des sommes partielles converge simplement (resp. uniformément) surI.

En cas de convergence,la fonction somme S de la série de fonctions f_nest définie par

∀x∈I S(x) =

∞ n=0

f_n(x) = lim

p→∞S_p(x) et l’on écrit S =

∞ n=0

f_n.

Propriété : si f_n converge simplement sur I, alors on dispose de la suite des restes (Rp), suite de fonctions définie par

∀p∈N ∀x∈I R_p(x) =

∞ n=p+1

f_n(x)

et la série de fonctions f_n converge uniformément sur I si et seulement si la suite des restes (Rp)converge uniformément vers 0 sur I.

Dém.Si f_n converge simplement surI, soitS la fonction somme, alors f_nconverge uniformément sur I si et seulement si la suite de fonctions(Sp) converge uniformément versS surI, or

∀p∈N sup

I

|Sp−S|= sup

I

|Rp|

et donc (Sp) converge uniformément versS surI si et seulement si la suite de fonctions(Rp) converge uniformément vers 0 surI.

Théorème et définition :soit (fn) une suite de fonctions de B(I,K).

•On dit que la série de fonctions f_nconverge normalement (CVN)sur I si et seulement si la série numérique sup

I

|fn| converge (i.e. N∞(fn)converge, d’où le nom de convergence normale).

•Si la série de fonctions f_n converge normalement surI, alors elle converge uniformément surI. Attention ! Réciproque fausse ! (voir ci-dessous

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹

n ·xⁿsur [0,1])

Dém. Supposons que fn converge normalement sur I ; alors fn converge simplement sur I, car pour tout xdeI, la série numérique f_n(x) est absolument convergente (|fn(x)| ≤sup

I

|fn|).

Pour montrer la convergence uniforme, je considère la suite (de fonctions)(Rp)des restes de la série de fonctions f_n et la suite (numérique) (rp) des restes de la série numérique sup

I

|fn|.

(r_p) converge vers 0 par hypothèse, or

∀p∈N ∀x∈I ∀N > p ^N

n=p+1

f_n(x) ≤ ^N

n=p+1

|fn(x)| ≤ ^N

n=p+1

sup

I

|fn| ≤r_p

d’où, par passage à la limite pour N → ∞ : ∀p∈N ∀x∈I |Rp(x)| ≤r_p, d’où sup

I

|Rp| ≤r_p. Il en résulte que la suite de fonctions(R_p)converge uniformément vers 0 surI et la propriété précédente s’applique.

Remarques pratiques

1) Plan d’étude standard pour étudier une série de fonctions f_n sur I

∗ Étudier d’abord la CVN : fixer ndansNet chercher un majorant de|fn(x)|indépendant de x,un, tel que la série numérique un converge (étudier éventuellement les variations de fn).

∗ En cas d’échec, étudier la CVS (fixerxdansI et étudier la série numérique f_n(x)) puis la CVU (chercher un majorant de |R_p(x)| indépendant de x, δ_n, tel que la suite numérique (δ_n) con- verge vers 0 — penser au théorème spécial des séries alternées !).

2) Pour nier la CVU, il suffit de montrer que lasuite de fonctions (fn) ne converge pas uniformément vers 0 (en effet, si la série de fonctions fn CVU, alors la suite de fonctions (fn) CVU vers 0, puisquef_n=R_n−1−R_n. . . ).

Attention ! Réciproque fausse, voir exemple 3)ci-dessous.

Exemples :

1) Soit α >0 et, surI = [0,1]soit, pour tout nde N^∗,f_n:x→(−1)ⁿ⁻¹

n^α ·xⁿ ;sup

[0,1]

|fn|= 1 n^α.

∗ Pourα >1, fnCVN sur [0,1](donc CVU et CVS !).

∗ Pour0 < α≤1, pas de CVN sur [0,1], mais pour x fixé dans [0,1]la série numérique f_n(x) vérifie le théorème spécial des séries alternées, d’où la convergence simple de la série de fonctions

f_n et la majoration du reste :

∀p∈N^∗ ∀x∈[0,1] |Rp(x)| ≤ |fp+1(x)|= x^p+1

(p+ 1)^α ≤ 1 (p+ 1)^α ;

ce majorant est indépendant de x et tend vers 0 lorsque p tend vers l’infini, donc la suite de fonctions(Rp) converge uniformément vers 0 sur[0,1]: ainsi la série de fonctions f_n converge uniformément sur [0,1](alors qu’ici elle ne converge pas normalement. . . ).

2) SurI =R⁺ soit, pour toutn deN,f_n:x→ nx² n³+x².

∗ Déjà, pour tout n≥ 1, sup

R⁺

|fn| ≥ fn(n) = n³

n³+n² ≥ 1

2 : il n’y a donc, pour la série fn, ni CVN surR⁺ ( sup

R⁺

|f_n|DV grossièrement) ni même CVU surR⁺ (la suite de fonctions(f_n)ne converge pas uniformément vers 0, cf. la remarque 2)ci-dessus).

∗ Toutefois (et cela peut être bien utile, voir §II), pour toutM >0, f_n converge normalement sur [0, M], puisque

∀n∈N^∗ ∀x∈[0, M] |fn(x)| ≤ M² n² d’où la convergence de sup

[0,M]

|fn| ; a fortiori, f_n converge uniformément et simplement sur [0, M], cela pour tout M >0.

∗ Du résultat précédent, je déduis que f_n CVS surR⁺ (pourx fixé, choisir M tel quex∈[0, M]. . . ) mais. . .

Attention ! La convergence uniforme sur [0, M] pour tout M >0 n’entraîne pas la convergence uni- forme sur R⁺ (voir contre-exemple ci-dessus !).

3) SurI =R⁺ soit, pour toutn deN^∗, f_n:x→ x 1 +n²x².

∗ L’étude des variations defn montre que, pour tout n≥1, sup

R⁺

|fn|=f_n 1

n = 1 2n ; il n’y a donc pas CVN pour fnsurR⁺( sup

R⁺

|fn|DV par comparaison à une série de Riemann).

∗ Toutefois, toujours dans le même esprit, pour0< a < M, nconverge normalement sur[a, M], puisque

∀n∈N^∗ ∀x∈[a, M] |fn(x)| ≤ M 1 +a²n² d’où la convergence de sup

[a,M]

|f_n|. J’en déduis comme ci-dessus la convergence simple sur R^+∗, donc sur R⁺ puisque la série fn(0)converge trivialement.

∗ L’étude de la convergence uniforme de f_n sur R⁺ est ici plus délicate ; je montre qu’il n’y a pas CVU en minorant les restes : fixons p∈N^∗ etx∈R⁺,

∀N > p R_p(x)≥

N

n=p+1

f_n(x) =x

N

n=p+1

1

1 +n²x² ≥x· N −p 1 +N²x² d’où

sup

R⁺

|Rp| ≥R_p 1

N ≥ N−p

2N , cela pour toutN > p; il en résulte (en faisant tendreN vers l’infini) que :

sup

R⁺

|Rp| ≥ 1 2

donc la suite de fonctions (Rp)ne converge pas uniformément vers 0.

On a donc ici un exemple où la série de fonctions f_nne converge pas uniformément tandis que la suite de fonctions(f_n) converge uniformément vers 0.

II

II - Transmission (ou pas) de la régularité

1) Interversion de limites

Attention ! C’est un vrai problème ! ! lim

x→1^<

n→∞lim xⁿ = 0 alors que lim

n→∞ lim

x→1^<

xⁿ = 1 Théorème :soienta∈I et(fn) une suite de fonctions deI dansK, toutes continues ena.

a)Si la suite de fonctions (f_n) converge uniformément vers f sur I, alorsf est continue en a.

b)Si la série de fonctions fn converge uniformément surI, alors la fonction somme S est continue en a.

Théorème de la double limite

Soient aun point adhérent à I (aréel oua=±∞ lorsqueI est une demi-droite ouR tout entier) et (f_n) une suite de fonctions deI dansK telle que, pour toutn,f_n admet enaune limite finieb_n∈K. 1) Si la suite de fonctions (f_n) converge uniformément vers f sur I, alors la suite numérique (b_n)

converge dansK vers une limiteb etf admetb pour limite ena.

2) Si la série de fonctions f_n converge uniformément sur I, alors la série numérique b_n converge et la fonction sommeS =

∞ n=0

f_n admet ^∞

n=0

b_n pour limite ena.

NB : les résultats ci-dessus correspondent bien à une interversion de deux limites (ou à l’interversion d’une limite et d’une somme de série), puisqu’ils s’écrivent

x→alim lim

n→∞f_n(x) = lim

n→∞ lim

x→af_n(x) et lim

x→a

∞

n=0

f_n(x) =

∞

n=0

x→alimf_n(x) .

Attention ! Bien justifier la CVU (généralement obtenue dans le cas des séries par CVN ou grâce à la majoration du reste associée au TSSA).

2) Transmission de la continuité par convergence uniforme

Théorème :soit(fn) une suite de fonctions deI dansK, toutes continues surI.

a)Si la suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, alorsf est continue sur I.

b)Si la série de fonctions f_n converge uniformément surI, alors la fonction somme S est continue sur I.

NB : penser, s’il n’y a pas CVU sur I, à utiliser la CVU sur certains sous-intervalles de I (noter que la continuité est une notion locale, donc si par exemple f est continue sur tout segment[a, M], avec0< a < M, on en déduit que f est continue surR^+∗ ; attention en 0 dans ce cas. . . ).

Exemples :

1) Les résultats précédents peuvent permettre de nier rapidement la CVU : si une suite de fonctions continues CVS vers une fonction discontinue, il ne peut pas y avoir CVU ! (voir par exemple f_n:x→xⁿ sur[0,1]. . . ).

2) Fonction exponentielle : x → e^x est la fonction somme d’une série de fonctions continues qui converge normalement sur tout segment deR ; elle est donc continue sur R(on peut montrer que la fonction exponentielle est continue deCdansC, cf. le chapitre 6. . . ).

3) Intégration sur un segment des suites et séries de fonctions continues

Théorème :soit(f_n) une suite de fonctions deC⁰([a, b],K).

1) Si la suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur [a, b], alors la suite numérique

[a,b]

f_n converge et

n→∞lim [a,b]

f_n(t) dt =

[a,b]

f(t) dt =

[a,b]

n→∞lim f_n(t) dt.

2) Si la série de fonctions f_n converge uniformément sur [a, b], alors la série numérique

[a,b]

f_n converge et

∞

n=0 [a,b]

f_n(t) dt =

[a,b]

∞

n=0

f_n(t) dt (intégration terme à terme).

Attention ! La convergence simple n’est pas suffisante, la convergence uniforme est suffisante mais pas nécessaire (voir selon les valeurs deαla suite des(fn)où f_n:x→n^αxⁿ(1−x)sur[0,1]).

Exemples 1) Calculer I =

1 0

lnx.ln (1−x) dx en écrivant

f :x→ lnx.ln (1−x) six∈]0,1[

0 six∈ {0,1}

comme somme d’une série de fonctions :

∀x∈[0,1] f(x) =

∞

n=1

u_n(x) où ∀n≥1 u_n:x→

−xⁿ

n ·lnx si x∈]0,1]

0 si x= 0 .

2) Établir : ¹

0

x^xdx=

∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ nⁿ .

4) Suites et séries de fonctions de classe

Attention ! On peut avoir une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers une fonc- tion non dérivable : cf. le théorème de Weierstrass (hors programme), qui fournit une suite de polynômes (de classe C^∞ !) convergeant uniformément vers n’importe quelle fonction continue sur un segment.

On peut aussi avoir une suite (f_n) de fonctions dérivables qui converge uniformément vers une fonction dérivable f alors que (f_n^′) ne converge pas vers f^′ (voir par exemple f_n:x→ 1

nsinnx).

Théorème :soit(f_n) une suite de fonctions deC¹(I,K) telle que :

∗ (f_n) converge simplement versf sur I ;

∗ (f_n^′) convergeuniformémentvers g surI ; alorsf est de classeC¹ sur I etf^′=g (i.e. lim

n→∞f_n ^′ = lim

n→∞(f_n^′)).

NB : sous ces mêmes hypothèses, (f_n)converge uniformément versf sur tout segment deI. Théorème :soit(fn) une suite de fonctions deC¹(I,K) telle que :

∗ f_n converge simplement sur I ;

∗ f_n^′ convergeuniformément sur I ; alors

∞

n=0

f_n est de classeC¹ surI et

∞

n=0

f_n

′

=

∞

n=0

f_n^′ (dérivation terme à terme).

NB : penser, s’il n’y a pas CVU sur I, à utiliser la CVU sur certains sous-intervalles de I (noter que la continuité et la dérivabilité sont des notions locales, donc si par exemple f est C¹ sur toute demi-droite [a,+∞[, aveca >0, on en déduit quef est C¹ sur R^+∗ ; attention en 0. . . ).

Exemples :

1) Pourz dansC, la fonction e_z :t→e^tz est de classe C^∞ sur RetDez =z.e_z ;i.e. d

dt e^zt =z.e^zt. 2) Montrer quef :x→

∞

n=1

1

n·cosⁿx·sinnxest définie surR, de classeC¹ sur]kπ,(k+ 1)π[pour tout kdans Z; déterminerf^′, en déduire f.

5) Suites et séries de fonctions de classe

(

entier,

)

Théorème :soit(fn) une suite de fonctions deC^k(I,K) telle que :

∗ pour tout j tel que0≤j ≤k−1, f_n^(j) converge simplement surI vers g_j ;

∗ fn^(k) convergeuniformément surI vers g_k ;

alorsf =g₀ est de classe C^k sur I et : ∀j∈[[1, k]] f^(j)=g_j, autrement dit

∀j ∈[[1, k]] ∀x∈I f^(j)(x) = lim

n→∞f_n^(j)(x). Théorème :soit(fn) une suite de fonctions deC^k(I,K) telle que :

∗ pour tout j tel que0≤j ≤k−1, fn^(j) converge simplement surI ;

∗ f_n^(k) convergeuniformément sur I ; alors

∞

n=0

f_n est de classeC^k sur I et : ∀j∈[[1, k]]

∞

n=0

f_n

(j)

=

∞

n=0

f_n^(j). NB : là encore penser à utiliser une famille de sous-intervalles de I. . .

6) La fonction

(zeta) de Riemann (hors programme mais très classique)

Le résultat classique sur les séries de Riemann montre que la série de fonctions

n≥1

f_n, oùf_n:x→ 1 n^x, converge simplement sur]1,+∞[; la fonction somme est notéeζ.

∀x∈]1,+∞[ ζ(x) =

∞ n=1

1 n^x. sup

]1,+∞[

|fn|= 1

n : il n’y a donc pas CVN sur]1,+∞[; il n’y a pas non plus CVU sur ]1,+∞[: cela découle du théorème de la double limite, puisque pour tout nlim

1 f_n= 1

n et 1

n diverge !

Pour montrer la continuité de ζ sur ]1,+∞[, je constate que fn CVN, donc CVU sur [a,+∞[, cela pour tout a > 1 (en effet sup

[a,+∞[

|fn| = 1

n^a et la série numérique 1

n^a converge). Comme les f_n sont continues et que f_n CVU sur [a,+∞[, la fonction sommeζ est continue sur[a,+∞[, cela pour tout a >1. Il en résulte que ζ est continue sur ]1,+∞[(tout point x de ]1,+∞[se trouve dans [a,+∞[ si je choisis atel que1< a < x).

Le théorème de la double limite fournit la limite de ζ en +∞ : en effet, f_n CVN donc CVU sur [2,+∞[et, pour toutn,f_nadmet une limiteb_nen+∞(qui est une extrémité de[2,+∞[!) ; précisément b₁ = 1etb_n= 0pourn≥2; la conclusion apportée par le théorème de la double limite est la suivante : la série numérique b_n converge (ici ce n’est pas une grande nouvelle) et la fonction somme ζ admet

∞ n=1

bn pour limite en+∞; ainsilim

+∞ζ = 1.

Pour préciser le comportement de ζ au voisinage de 1, j’introduis g_n :x → (−1)ⁿ⁻¹

n^x etη =

∞ n=1

g_n ; la majoration du reste dans le cadre du TSSA permet de montrer que gn CVU sur [a,+∞[, cela pour touta >0; en effet, pourxfixé dans[a,+∞[,|gn(x)|décroît et tend vers 0 lorsquentend vers l’infini, donc, avec les notations habituelles,

∀p∈N^∗ |Rp(x)| ≤ |gp+1(x)| ≤ 1 (p+ 1)^a or la suite numérique 1

(p+ 1)^a converge vers 0, donc la suite de fonctions (Rp) CVU vers 0 sur [a,+∞[. J’en déduis que η est continue sur[a,+∞[pour touta >0, donc sur ]0,+∞[.

Orζ etη sont liées par une relation classique, obtenue en séparant les termes d’indices pairs et impair :

∀x >1 ζ(x)−η(x) = 2

∞

p=1

1

(2p)^x = 2^1−x·ζ(x) d’où ζ(x) = η(x) 1−2^1−x,

orη est continue en 1 etη(1) = ln 2 (classique. . . ), d’où : ζ(x) ∼

x→1⁺

1 x−1.

Montrons enfin que ζ est de classe C^∞ sur ]1,+∞[ : pour tout n dans N^∗, en vertu des théorèmes opératoires classiques,f_n:x→e^−xlnnest C^∞ surR^+∗ et

∀j∈N ∀x >0 f_n^(j)(x) = (−lnn)^je^−xlnn = (−1)^j (lnn)^j n^x .

Connaissant les séries de Bertrand, je fixe a > 1, k ∈ N^∗ et j’applique le théorème sur les séries de fonctions de classe C^k sur la demi-droite[a,+∞[:

•les f_nsont de classeC^k sur [a,+∞[

•pour toutj tel que 0≤j≤k−1, fn^(j) converge simplement sur [a,+∞[;

• fn^(k) converge uniformémentsur[a,+∞[.

En effet, pour tout j, f_n^(j) converge normalement sur [a,+∞[ puisque sup

[a,+∞[

f_n^(j) = (lnn)^j n^a , or le résultat (classique) sur les séries de Bertrand montre que (lnn)^j

n^a converge puisquea >1.

En conclusion,ζ est de classeC^k sur[a,+∞[, cela pour toutkdansN^∗, donc de classeC^∞ sur[a,+∞[, cela pour touta >1, donc ζ est de classe C^∞ sur ]1,+∞[.