Exercice 1. Etudier la convergence simple, normale, et uniforme des s´ eries de fonctions P

MAT402 Ann´ ee 2017-2018 Feuille d’exercices 3

Exercice 1. Etudier la convergence simple, normale, et uniforme des s´ eries de fonctions P

n≥0 u _n de terme g´ en´ eral d´ efini par :

1. u _n (x) = e ^−nx , x ∈ R + . 2. u _n (x) = x ⁿ , x ∈ [0, 1].

3. u _n (x) = 1

2 ⁿ sin(3 ⁿ x), x ∈ R . 4. u _n (x) = 1

1 + (n − x) ² , x ∈ R .

Exercice 2. Mˆ emes questions pour les s´ eries de terme g´ en´ eral : 1. u _n (x) = n ^x , x ∈ R .

2. u _n (x) = (−1) ⁿ n ^x , x ∈ R . 3. u _n (x) = e ^−n(x

⁺¹⁾ , x ∈ R . 4. u _n (x) = _n ¹ arctan( ^x _n ), x ∈ R .

Exercice 3. Mˆ emes questions pour les s´ eries de terme g´ en´ eral : 1. u _n (x) = ne ^−nx , x ∈ R ^∗ + .

2. u _n (x) =

n ² x(1 − nx) si x ∈ [0, _n ¹ ] , 0 si x ∈ [ _n ¹ , 1] . 3. u _n (x) = e ^−nx sin x, x ∈ R ⁺ .

4. u _n (x) = sin(nx)

1 + n ² x ² , x ∈ R .

Exercice 4. On consid` ere la suite (u n ) n≥1 de fonctions u n : R ⁺ → R d´ efinies par u _n (x) = 1

n + xn ² (n ≥ 1, x ∈ R ).

1. D´ eterminer le domaine de convergence simple D ⊂ R de la s´ erie de fonctions P

n≥1 u _n . 2. ´ Etudier la convergence normale de la s´ erie de fonctions P

n≥1 u _n sur D, puis sur [a, +∞[

pour tout r´ eel a > 0.

3. La s´ erie de fonctions P

n≥1 u _n converge-t-elle uniform´ ement sur D ? 4. La fonction f = P +∞

n=1 u _n est-elle d´ erivable sur R ^∗ + ? 5. Montrer que f est int´ egrable sur [1, 2] et exprimer R 2

1 f (t) dt comme la somme d’une s´ erie num´ erique.

Exercice 5. Etudier la s´ erie de fonctions de terme g´ en´ eral suivant : u _n : x 7→ 1

n ³ + n ⁴ x ² , n ≥ 1, x ∈ R . La somme est-elle continue sur R ? d´ erivable sur R ?

Exercice 6. Mˆ emes questions pour la s´ erie de terme g´ en´ eral v _n : x 7→ 1

n ² + n ⁴ x ² , n ≥ 1, x ∈ R .

Exercice 7. Montrer que la s´ erie de fonctions de terme g´ en´ eral u _n : x 7→ (−1) ⁿ

2 √

n + cos x , n ≥ 1, x ∈ R , converge uniform´ ement sur R . ´ Etudier la convergence normale.

Exercice 8. On se propose de montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral v _n : x 7→ cos(nx)

√ n + x , n ≥ 1, x ∈ R ,

converge uniform´ ement sur l’intervalle I = [α, 2π − α], o` u 0 < α < π.

On se donne x ∈ R et n, p, q ∈ N ^∗ , avec n ≥ p. On note S _p,n (x) =

n

X

k=p

cos(kx).

1. Montrer en utilisant cos a = 1

2 (e ^ia + e ^−ia ) que si x 6= 2kπ, alors |S _p,n (x)| ≤ 1

| sin(x/2)| · 2. V´ erifier que

p+q

X

n=p

v n (x) =

p+q−1

X

n=p

S p,n (x) h 1

√ n + x − 1

√ n + 1 + x i

+ S _p,p+q (x)

√ p + q + x ·

3. En d´ eduire que pour tout x ∈ I, |

p+q

X

n=p

v _n (x)| ≤ 1

√ p + x 1

| sin( ^x ₂ )| · En d´ eduire le r´ esultat.

Exercice 9. Pour n ∈ N ^∗ et x > 0, on pose

f (x) =

∞

X

n=0

1

x(x + 1) . . . (x + n) .

1. Montrer que la somme ci-dessus d´ efinit une application continue f : R ^∗ + → R ^∗ + . 2. Exprimer f (x + 1) en fonction de f (x) pour tout x > 0.

3. ´ Etudier la d´ erivabilit´ e de f sur R ^∗ + .

4. Montrer que la fonction f est monotone, et donner un ´ equivalent de f (x) lorsque x → 0, ainsi que lorsque x → +∞.

5. Tracer le graphe de f .

Exercice 10. On consid` ere la suite (u _n ) _{n∈ N} de fonctions u _n : [0, 1] → R d´ efinies par u ₀ (x) = 1 et, si n ≥ 1,

u _n (x) =





 (−1) ⁿ

n! (x ln(x)) ⁿ si x ∈ ]0, 1] ,

0 si x = 0 .

1. Pour tout n ∈ N , v´ erifier que u _n est continue sur [0, 1].

2. En int´ egrant par parties, calculer R 1

0 u _n (x) dx pour tout n ∈ N . 3. Montrer que la s´ erie de fonctions P

n∈ N u _n converge normalement sur [0, 1], et calculer sa somme.

4. En d´ eduire que

Z 1 0

1

x ^x dx =

∞

X

n=1

1

n ⁿ .