1 Autour des s´eries g´eom´etriques Ex 1

1 Autour des s´eries g´eom´etriques

Ex 1 Facile

On consid`ere une suite d’entiers (q_n)_n≥0 croissante telle queq₀≥2. Montrer que la suite de terme g´en´eral S_n=Xⁿ

k=0

1 q₀. . . q_k converge vers une limitel≤1.

Ex 2 Facile

On consid`ere un r´eelx∈[0,1[ et la suite de terme g´en´eral

S_n(x) = 1−x+x²−x³+· · ·+ (−1)ⁿxⁿ a. D´eterminer la limitel(x) de cette suite.

b. Trouver (sans calculatrice !) en n’utilisant que des multiplications et des additions, une valeur approch´ee de 1

1.01 `a 10<sup>−5</sup> pr`es.

Ex 3 Moyen

Trouver un ´equivalent de la suite de terme g´en´eral

S_n= 1 + 11 + 111 +· · ·+ 1| {z }. . .1

k fois

Ex 4 Moyen, classique, `a faire

Soitx∈]−1,1[. D´eterminer la limite de la suite de terme g´en´eral S_n= 1 +x+ 2x²+ 3x³+· · ·+nxⁿ

2 Limites de fonctions

Ex 5 Facile

Montrer que la fonction d´efinie sur ]0,+∞[ parf(x) = cos(ln(x)) n’admet pas de limite en +∞.

Ex 6 Facile Cacluler lim_x→0+ E(1/x) +x

E(1/x)−x Ex 7 Facile Soit la fonction

f :







R −→ R

x 7→

(1 six∈Q 0 six6∈Q Montrer que la fonctionf est discontinue en tout pointx₀∈R.

Ex 8 Moyen

On consid`ere les fonctions d´efinies sur [1,+∞[ par : f(x) = sin(√

x) etg(x) = sin(x²) Sont-elles lipschitziennes sur [1,+∞[?

Ex 9 Moyen

Soit une fonctionf : [0,+∞[7→R continue sur l’intervalle [0,+∞[ telle que

∀x≥0, f(x²) =f(x) D´eterminer la fonctionf.

Indication :Soitx >0, consid´erer la suite r´ecurrente

u0 =xet∀n∈N, un+1=√un

Ex 10 Moyen

Soit une fonctionf :R7→Rcontinue v´erifiant :

∀(x,y)∈R², f(x+y) =f(x)f(y) a) Montrer que∀x∈R,f(x)≥0.

b) On suppose qu’il existex∈Rtel que f(x) = 0. Montrer quef = 0.

c) On suppose quef n’est pas la fonction nulle. D´eterminer la fonctionf.

3 Propri´et´es globales des fonctions continues

Ex 11 Facile

Soit une fonctionf : [0,1]7→ R continue sur le segment [0,1]. Soient deux r´eels p,q > 0. Montrer qu’il existe x₀∈[0,1] tel que

pf(0) +qf(1) = (p+q)f(x₀) Ex 12 Moyen

On consid`ere deux fonctions continues sur [0,1] v´erifiant :

∀x∈[0,1],0< f(x)< g(x)

On consid`ere une suite (x_n) v´erifiant∀n∈N,x_n∈[0,1] et on d´efinit la suite (u_n) de terme g´en´eral u_n=hf(x_n)

g(x_n) i_n Etudier la suite (u´ _n).

Corrig´e des exercices

Q1 On montre facilement que la suite (S_n) est croissante. La majorer par une s´erie g´eom´etrique :∀k∈N,q₀. . . q_k≥ q^k+1₀ ≥2^k+1 et donc∀n∈N,

S_n≤ Xn k=0

1

2^k+1 = 21−(1/2)ⁿ⁺¹

1−1/2 = 1−(1/2)ⁿ⁺¹≤1

D’apr`es le th´eor`eme de la limite monotone, la suite (S_n) converge vers l∈R. Par passage `a la limite dans les in´egalit´es, il vient ensuite quel≤1.

Q2

a. C’est une suite g´eom´etrique de raison−x, avec−x6= 1. Par cons´equent, S_n(x) = 1−(−x)ⁿ⁺¹

1−(−x) = 1

1 +x+ (−1)ⁿxⁿ⁺¹ 1 +x

Elle converge vers l= 1 1 +x .

b. Prenonsx= 0.01 = 10⁻². On dispose d’une majoration de l’erreur : ε_n=|Sn(x)−l|= |x|ⁿ⁺¹

1 +x ≤xⁿ⁺¹ Pour ˆetre sˆur que S_n(x) soit une valeur approch´ee de 1

1.01 = 1

1 + 10⁻² `a 10<sup>−5</sup> pr`es, il suffit de choisir n tel que 10^−2(n+1) ≤10⁻⁵, c’est `a dire 10<sup>2n+1</sup> ≥10<sup>5</sup> , c’est `a dire 2n+ 1≥5 ou encore n ≥2. Alors S₂(x) = 1−10⁻²+ 10⁴= 0.9901 est une valeur approch´ee de 1/1.01 `a 10<sup>−5</sup>pr`es.

Q3 Remarquons que

1. . .1

| {z }

k fois

= 1 + 10 +· · ·+ 10^k−1=10^k−1

10−1 = 10^k−1 9 Alors, on calcule explicitementS_n pourn≥1 :

S_n =Xⁿ

k=1

10^k−1 9

=10 9

n−1X

i=0

10ⁱ−n 9

=10ⁿ⁺¹ 81 −n

9 −10 81 d’o`u S_n ∼

n→+∞

10ⁿ⁺¹ 81 .

Q4 Nous allons calculer explicitementS_n en utilisant une technique classique. Posons

f :

]−1,1[ −→ R x 7→ 1 +x+· · ·+xⁿ Alors∀x∈]−1,1[,f(x) =xⁿ⁺¹−1

x−1 . Maisf est d´erivable surI=]−1,1[ et∀x∈I, f⁰(x) = 1 + 2x+· · ·+nxⁿ⁻¹

Par cons´equent,S_n(x) = 1 +xf⁰(x). Mais on calcule pourx∈I,f⁰(x) = nxⁿ⁺¹−(n+ 1)xⁿ+ 1

(x−1)² et donc

S_n(x) = 1 +nxⁿ⁺²−(n+ 1)xⁿ⁺¹+x (1−x)²

et puisquenxⁿ −−−−−→

n→+∞ 0, (carn=o((1/x)ⁿ)), il vient que S_n(x)−−−−−→

n→+∞ 1 + x

(x−1)² =x²−x+ 1 (x−1)²

On peut g´en´eraliser cette technique en d´erivant plusieurs foisf pour calculer les sommes 1+x+2²x²+· · ·+n²xⁿ . . .

Q5 D´efinissons les suitesx_n=e^2nπ et y_n=e^2nπ+π2. Elles tendent vers +∞. Supposons quef(x)−−−−−→

x→+∞ l. Alors f(x_n)−−−−−→

n→+∞ l or ∀n∈N, f(x_n) = 1. Doncl = 1. Mais de mˆeme, puisquef(y_n) = 0, on devrait avoirl = 0, une contradiction avec l’unicit´e de la limite. Doncf n’admet pas de limite en +∞.

Q6 La fonction

f(x) = E(¹_x) +x E(¹_x)−x est bien d´efinie pourx∈]0,1[, carE(¹_x)≥1> x. Encadrons

1

x−1< E(1 x)≤ 1

x et donc

1

x+x−1 1

x−x ≤f(x)≤ 1 x+x 1

x−x−1 1 +x²−x

1−x² ≤f(x)≤ 1 +x² 1−x²−1 et par le th´eor`eme des gendarmes, on obtient quef(x)−−−−→

x→0⁺ 1.

Q7 Soitx∈R. PuisqueQ est dense dansR,

∀ε >0,∃a∈Q tq|x−a| ≤ε Soitn∈N^?. Pourε= 1

n, on trouvea_n∈Qtel que|x−a_n| ≤ 1

n. On construit ainsi une suite (a_n) de rationnels v´erifiant∀n≥1,|x−a_n| ≤ 1

n et donc la suite (a_n) converge versx. De la mˆeme fa¸con, puisqueR\Qest dense dansR, on construit une suite (b_n) de nombres irrationnels qui converge versx. Mais alors si l’on suppose que f est continue au pointx,∀n≥1,f(a_n) = 1 et doncf(a_n)−−−−−→

n→+∞ 1, mais puisquef est continue au pointx, f(a_n)−−−−−→

n→+∞ f(x), ce qui montre quef(x) = 1. D’autre part,∀n≥1,f(b_n) = 0 et f(b_n)−−−−−→

n→+∞ f(x) ce qui montre quef(x) = 0, une absurdit´e. Par cons´equent, la fonction f n’est pas continue au pointx.

Q8

– Montrons que f est lipschitzienne. PosonsK = 1/2. Soient (x,y)∈[1,+∞[². En utilisant la formule de trigonom´etrie :

sinp−sinq= 2 sin p−q 2

cos p+q 2

la majorationsinθ≤ |θ| et les quantit´es conjugu´ees, on majore : f(x)−f(y)=2 sin

√x− √y 2

cos

√x+√y

2

≤2sin

√x− √y

2

≤ |√

x−√y|

≤√|x−y|

x+√y

≤|x−y|

2 ≤K|x−y|

– Montrons que g n’est pas lipschitzienne. Par l’absurde, supposons qu’il existe K > 0 tel que ∀(x,y) ∈ [1,+∞[²,|g(x)−g(y)| ≤K|x−y|. Consid´erons les deux suites (xn) et (y_n) d´efinies par :

∀n∈N, xn=p

2nπ+π/2, y_n=√ 2nπ On calcule alors pourn∈N:

|g(xn)−g(y_n)|= 1 et|xn−y_n|=p

2nπ+π/2−√

2nπ= π/2

p2nπ+π/2 +√ 2nπ Mais alors

∀n∈N,1≤Kp π/2 2nπ+π/2 +√

2nπ

Et en passant `a la limite dans cette in´egalit´e lorsque n→+∞, on aurait 1≤0 ce qui est absurde.

Q9 La suite r´ecurrente de l’´enonc´e s’´etudie classiquement : six >0,u_n −−−−−→

n→+∞ 1. Comme la fonctionf est suppos´ee continue, six >0,f(u_n)−−−−−→

n→+∞ f(1). Mais puisque∀n∈N, f(u_n+1) =f(u²_n+1) =f(u_n), la suite f(u_n) est constante. Par cons´equent,f(x) =f(1).

On a montr´e que la fonction f est constante sur ]0,+∞[. Ensuite puisque la fonction f est continue en 0, lim_x→0f(x) =f(0) et comme∀x >0,f(x) =f(1), il vient quef(0) =f(1). Par cons´equent les seules fonctions v´erifiant l’hypoth`ese de l’´enonc´e sont les fonctions constantes.

R´eciproquement, les fonctions constantes conviennent.

Q10 Soit un r´eelx∈R. Puisquef(x) =f(^x₂)² ≥0, il vient que la fonctionf est positive. S’il existex∈Rtel que f(x) = 0, alors siz∈R, f(z) =f(x)f(z−x) = 0, et donc f est la fonction nulle. Supposons donc quef 6= 0.

Posons alors∀x∈R,g(x) = lnf(x). Alorsg v´erifie

∀(x,y)∈R², g(x+y) =g(x) +g(y)

On sait alors qu’il existea∈Rtel que g(x) =ax. Mais alors∀x∈R,f(x) =e^ax=a^x. Q11 Introduisons la fonction d´efinie parφ(x) = (p+q)f(x)−pf(0)−qf(1).

Cette fonctionφest continue sur le segment [0,1] et

φ(0) =q(f(0)−f(1)), φ(1) =p(f(1)−f(0))

Commep,q >0,φ(0) etφ(1) sont de signes oppos´es, d’apr`es le TVI,∃x₀∈[0,1] tel queφ(x₀) = 0.

Q12 Consid´erons la fonctionhd´efinie sur [0,1] parh(x) = f(x)

g(x). Elle est continue sur le segment [0,1] et v´erifie

∀x∈[0,1],0< h(x)<1

Comme [0,1] est un segment, cette fonction poss`ede un maximum : il existex₀∈[0,1] tel que

∀x∈[0,1],0≤h(x)≤h(x₀) Posonsk=h(x₀). Par hypoth`ese,k=h(x₀)<1. Soit alorsn∈N,

0≤u_n ≤kⁿ

Et la suite g´eom´etrique (kⁿ) converge vers 0 (car 0 ≤k < 1). La suite (u_n) converge donc vers 0 d’apr`es le th´eor`eme des gendarmes.