Fonctions trigonom´etriques

Fonctions trigonom´etriques

1 D´ efinition g´ eom´ etrique

D´ efinition g´ eom´ etrique du sinus, cosinus et tangente sur le cercle unit´ e.

2 cosinus et sinus

Les fonctions cos et sin sont 2π-p´ eriodiques (rappeler ce que c’est), d´ erivables sur R . Donner un tableau de d´ eriv´ ee (cos(x) , cos(u(x)),...) ainsi que les repr´ esentations graphiques.

3 la fonction tangente

La fonction tan est d´ efinie sur R priv´ e des multiples impairs de π/2 par tan(x) = sin(x)

cos(x) .

Elle est d´ erivable en tout point o` u elle est d´ efinie, et sa d´ eriv´ ee vaut 1 + tan

ou encore 1/ cos

. C’est une fonction π-p´ eriodique. On l’´ etudie sur l’intervalle ]−π/2; π/2[. Donner la repr´ esentation graphique, les limites en π/2 et −π/2.

4 La fonction Arctangente

La fonction tangente est d´ erivable sur ] −

;

[, strictement croissante, et ` a valeurs dans R . Elle r´ ealise donc une bijection sur ] −

;

[. Son application r´ eciproque est appel´ ee Arctangente et not´ ee arctan.

Elle est d´ efinie sur R , et valeurs dans ] −

;

[, impaire (donc sa repr´ esentation graphique dans un rep` ere orthonorm´ e est sym´ etrique par rapport ` a l’origine du rep` ere). Elle est strictement croissante et bijective. Sa d´ eriv´ ee vaut 1/(1 + x

). Donner ses limites en +∞ et −∞.

x 0

√3

3

1 √

3 arctan(x) 0

On peut ´ egalement d´ efinir les fonctions arcsin et arcos mais la fonction arctangente est particuli` erement

int´ eressante car elle permet de calculer plusieurs int´ egrales.