Suites et s´eries de fonctions
Table des mati` eres
1 Convergences simple et uniforme 2
1.1 Cas des suites de fonctions . . . 2
1.1.1 D´efinitions . . . 2
1.1.2 Exemples . . . 4
1.1.3 Propri´et´es . . . 6
1.2 Cas des s´eries de fonctions . . . 7
2 Continuit´e de la limite uniforme 10 3 Th´eor`emes d’interversion entre limites et “ Z ” 14 3.1 Convergence uniforme . . . 14
3.2 convergence domin´ee . . . 16 4 D´erivation d’une suite ou d’une s´erie d’applications 20
Suites et s´eries de fonctions 1 Convergences simple et uniforme Dans ce chapitre K d´esigneR ou C.
On s’int´eresse dans ce chapitre `a l’´etude d’une suite ou d’une s´erie de fonctions d´efinies sur une partie d’un K-espace vectoriel de dimension finie et `a valeurs dans un second K-espace vectoriel de dimension finie.
Ainsi, dans tout ce chapitre, on fixe deux K-espaces vectoriels de dimensions finies E et F, D une partie non vide de E, (fn)n∈N une suite d’applications de D dans F etf une application de D dans F.
1 Convergences simple et uniforme
1.1 Cas des suites de fonctions
1.1.1 D´efinitions D´efinition. On dit que
la suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement (que l’on abr`ege en CVS) vers f surD si et seulement si ∀x∈D fn(x) −→
n→+∞f(x). On note alorsfn
CVS−→
D n→+∞
f. Propri´et´e. Unicit´e de la limite simple. Soit g :D−→F.
On suppose que fn CVS
−→D n→+∞
f et que fn CVS
−→D n→+∞
g. Alors f =g.
On peut donc appeler f la limite simple sur D de la suite d’applications (fn).
D´emonstration.
Soit x ∈ D. fn(x) −→
n→+∞f(x) et fn(x) −→
n→+∞g(x). D’apr`es l’unicit´e de la limite d’une suite de vecteurs, f(x) = g(x).
D´efinition. On dit que
la suite de fonctions (fn)n∈N converge uniform´ement (que l’on abr`ege en CVU) vers f surD si et seulement si la suite
sup
x∈D
kf(x)−fn(x)k
n∈N
est d´efinie
`
a partir d’un certain rang et tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.
On note alors fn CVU
−→
D n→+∞
f.
Propri´et´e. NotonsB(D, F) l’ensemble des applications born´ees deDdansF. On sait qu’en posant, pour tout f ∈ B(D, F), N∞(f) = sup
x∈D
kf(x)k, B(D, F) est unK-espace vectoriel norm´e.
Supposons que (fn)n∈N ∈ B(D, F)N. Alors fn CVU
−→
D n→+∞
f ⇐⇒fn −→N∞
n→+∞f.
C’est pourquoi la norme N∞ de B(D, F) est parfois aussi appel´ee la norme de la convergence uniforme ou encore la norme uniforme.
Propri´et´e. La convergence uniforme implique la convergence simple.
Suites et s´eries de fonctions 1 Convergences simple et uniforme D´emonstration.
Supposons que fn CVU
−→D n→+∞
f et fixons t ∈ D. Il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N, sup
x∈D
kf(x)−fn(x)k est d´efini.
Pour tout n≥N kf(t)−fn(t)k ≤sup
x∈D
kf(x)−fn(x)k −→
n→+∞0, donc fn(t) −→
n→+∞f(t), ce qui prouve que fn CVS
−→
D n→+∞
f.
Propri´et´e. Unicit´e de la limite uniforme. Soit g :D −→F. On suppose que fn CVU
−→D n→+∞
f et que fn CVU
−→D n→+∞
g. Alors f =g.
On peut donc appeler f la limite uniforme sur D de la suite d’applications (fn).
D´emonstration.
fn CVS
−→D n→+∞
f et fn CVS
−→D n→+∞
g, donc l’unicit´e de la limite simple prouve que f =g. Propri´et´e. Soit D0 une seconde partie non vide deE.
SiD0 ⊂D, la convergence uniforme sur D implique la convergence uniforme sur D0. D´emonstration.
En effet, sup
x∈D0
kf(x)−fn(x)k ≤sup
x∈D
kf(x)−fn(x)k.
Deux interpr´etations de la CVU.
• A l’aide des quantificateurs.
fn CVS
−→D n→+∞
f ⇐⇒(∀x∈D ∀ε∈R∗+ ∃N ∈N ∀n≥N kf(x)−fn(x)k ≤ε)
⇐⇒(∀ε∈R∗+ ∀x∈D ∃N∈N ∀n≥N kf(x)−fn(x)k ≤ε).
fn CVU
−→D n→+∞
f ⇐⇒(∀ε∈R∗+ ∃N ∈N ∀n ≥N sup
x∈D
kf(x)−fn(x)k ≤ε)
⇐⇒(∀ε∈R∗+ ∃N ∈N ∀n ≥N ∀x∈D kf(x)−fn(x)k ≤ε)
⇐⇒(∀ε∈R∗+ ∃N∈N ∀x∈D ∀n≥N kf(x)−fn(x)k ≤ε).
Ainsi, au niveau des quantificateurs, la diff´erence entre la notion de CVS et de CVU r´eside dans la distinction entre ∀∃ et ∃∀. Comme ∃∀ =⇒ ∀∃, on retrouve que la convergence uniforme implique la convergence simple.
• Graphiquement.
On se place dans le cadre des fonctions num´eriques, c’est-`a-dire que l’on suppose queE =F =R. Si g est une application num´erique, on convient de noter Cg son graphe.
fn CVU
−→D n→+∞
f ⇐⇒ ∀ε∈R∗+ ∃N ∈N ∀n≥N ∀x∈D f(x)−ε≤fn(x)≤f(x) +ε, donc fn CVU
−→D n→+∞
f si et seulement si pour tout ε >0, il existeN ∈N tel que, pour tout n≥N, Cfn est situ´e dans la bande d´elimit´ee parCf−ε etCf+ε.
´
Suites et s´eries de fonctions 1 Convergences simple et uniforme Remarque. Si D est de cardinal fini, surD, CVS⇐⇒CVU.
D´emonstration.
On sait d´ej`a que CVU=⇒CVS. Il suffit donc de montrer que CVS=⇒CVU. On suppose donc que fn CVS
−→
D n→+∞
f. Alors sup
x∈D
kf(x)−fn(x)k ≤X
x∈D
kf(x)−fn(x)k −→
n→+∞0.
Propri´et´e. (Hors programme) SiD=
p
[
i=1
Di et si, pour touti∈ {1, . . . , p},fn CVU
−→Di n→+∞
f,
alors fn CVU
−→
D n→+∞
f.
D´emonstration.
Pour toutx∈D, kfn(x)−f(x)k ≤
p
X
i=1
sup
t∈Di
kfn(t)−f(t)k, donc par passage `a la borne sup´erieure, 0 ≤sup
x∈D
kfn(x)−f(x)k ≤
p
X
i=1
sup
t∈Di
kfn(t)−f(t)k −→
n→+∞0.
Propri´et´e. (Hors programme) Supposons que (fn) converge simplement vers f sur D, mais qu’il n’y ait pas convergence uniforme surD. Alors, pour tout a∈D, la suite (fn) ne converge pas uniform´ement versf surD\ {a}.
D´emonstration.
Sinon, la convergence uniforme sur D1 = D\ {a} et sur D2 = {a} (D2 est fini, donc la convergence simple surD2 entraˆıne la convergence uniforme sur D2) impliquerait la convergence uniforme sur D=D1∪D2.
1.1.2 Exemples
En pratique, lorsque l’on d´esire ´etudier la convergence uniforme d’une suite (fn), on commence par ´etudier la convergence simple. Lorsqu’il n’y a pas CVS, il est inutile d’´etudier la CVU. On se limite donc `a un domaine D sur lequel la CVS est assur´ee.
L’´eventuelle limite uniforme est connue : c’est la limite simple, not´ee f. Si (fn) CVU vers f sur D, l’´etude est achev´ee. Sinon, on cherche comment restreindre le domaine D `a un domaine D0 sur lequel il y a CVU.
Premier exemple.
Pour n∈N, on note fn: [0,1] −→ R t 7−→ tn. Etude de la CVS. fn CVS
−→
[0,1]
n→+∞
f, o`u f : [0,1]−→ R est d´efinie par f(1) = 1 et, pour tout x∈[0,1[, f(x) = 0.
Etude de la CVU. Soit n∈N. L’´etude de la fonctionfn montre que
Suites et s´eries de fonctions 1 Convergences simple et uniforme sup
t∈[0,1]
|f(t)−fn(t)|= 1, donc il n’y a pas CVU sur [0,1].
[0,1] ´etant compact, il n’ y a pas non plus CVUTC.
Le probl`eme est ent = 1. En effet, pour touta∈]0,1[, sup
t∈[0,a]
|f(t)−fn(t)|=an −→
n→+∞0, donc fn CVU
−→
[0,a]
n→+∞
f.
On en d´eduit que fn
CVUTC
−→
[0,1[
n→+∞
f mais il n’y a pas CVU sur [0,1[.
Deuxi`eme exemple.
On fixe α∈R+. Pourn ∈N∗, on note fn : R+ −→ R
t 7−→ nαte−nt. Etude de la CVS. Si t = 0, fn(t) = 0 −→
n→+∞0. Si t > 0, nαe−nt −→
n→+∞0, donc fn(t) −→
n→+∞0. Ainsi fn CVS
−→
R+
n→+∞
0.
Etude de la CVU. Soit n∈N∗. fn est d´erivable sur R+ et pour tout t∈R+, fn0(t) = nαe−nt(1−nt), doncfn0(t) = 0 ⇐⇒t = n1.
Le tableau de variations defn montre alors que sup
t∈R+
fn(t) = fn(1
n) =nα−11 e. Premier cas. Siα <1, fn CVU
−→
R+
n→+∞
0.
Deuxi`eme cas. On suppose que α ≥ 1. Alors il n’y a pas CVU sur R+. On constate que le probl`eme se situe au voisinage de 0.
Soit a ∈ R∗+. Pour tout n > 1a, sup
t∈[a,+∞[
fn(t) = fn(a) −→
n→+∞0 d’apr`es la CVS, donc fn CVU
[a,+∞[−→
n→+∞
0.
On en d´eduit que fnCVUTC
−→
R∗ + n→+∞
0 sans qu’il y ait CVU sur R∗+. Troisi`eme exemple.
Pour n∈N, on note
fn: R −→ R t 7−→ nt
1 +n2t2 . Etude de la CVS.Sit = 0,fn(t) = 0 −→
n→+∞0. Sit6= 0,fn(t) −→
n→+∞0. Ainsifn
CVS−→
R n→+∞
0.
Etude de la CVU. Pour tout n ∈ N∗, fn(n1) = 12, donc sup
t∈R
|fn(t)| ≥ 1
2, ce qui montre qu’il n’y a pas CVU surR.
On constate que le probl`eme est localis´e au voisinage de 0.
Soit a∈R∗+. On note Da =]− ∞,−a[∪]a,+∞[.
Soit n ∈N∗. Pour toutt∈Da, |fn(t)| ≤ n|t|
n2t2 = 1
n|t| ≤ 1 na,
´
Suites et s´eries de fonctions 1 Convergences simple et uniforme donc sup
t∈Da
|fn(t)| ≤ 1 na −→
n→+∞0, ce qui prouve que fn
CVU−→
Da n→+∞
0.
On en d´eduit que fn
CVUTC
−→
R∗ n→+∞
0, mais il n’y a pas CVU sur R∗.
Remarque. Le second exemple illustre le fait que la borne sup´erieure d’une application peut parfois ˆetre calcul´ee exactement, en d´eterminant le tableau de variations de cette application.
Le dernier exemple montre comment on peut aller plus vite pour montrer la CVU ou la non CVU. Voici la g´en´eralisation des techniques mises en oeuvre.
Propri´et´e. S’il existe une suite (an)n∈N∈RN+ telle que
∀x∈D kf(x)−fn(x)k ≤an, avec an −→
n→+∞0, alors fn CVU
−→D n→+∞
f.
Remarque. Il est important de comprendre que la suite (an) apparaissant avant tout choix d’un x∈D, elle est ind´ependante dex.
Propri´et´e. S’il existe une suite (xn)n∈N ∈DN telle que la suite (f(xn)−fn(xn))n∈N
ne tend pas vers 0, alors la suite d’applications (fn) ne converge pas uniform´ement sur D.
D´emonstration.
Sifn CVU
−→
D n→+∞
f, alors pour tout n ∈N, kf(xn)−fn(xn)k ≤sup
x∈D
kf(x)−fn(x)k −→
n→+∞0, doncf(xn)−fn(xn) −→
n→+∞0.
1.1.3 Propri´et´es
Propri´et´e. Une limite uniforme d’applications born´ees est born´ee.
D´emonstration.
On suppose que fn CVU
−→D n→+∞
f et que pour tout n∈N, fn est born´ee sur D.
Il existeN ∈N tel que pour tout n≥N, sup
x∈D
kf(x)−fn(x)k ≤1.
Soit x∈D. kf(x)k ≤1 +kfN(x)k. Ainsi, fN ´etant born´ee, f est born´ee.
Remarque. Une limite simple d’applications born´ees n’est pas n´ecessairement born´ee.
D´emonstration.
Pour n ∈ N∗, on note fn : R∗+ −→ R l’application d´efinie par les relations suivantes : fn(x) = x1 si x≥ n1 etfn(x) = 0 si x < n1.
Pour tout n ∈ N∗, fn est born´ee par n, mais fn
CVS−→
R∗ + n→+∞
f o`u f : R∗+ −→ R x 7−→ x1 , et f n’est pas born´ee.
Suites et s´eries de fonctions 1 Convergences simple et uniforme Remarque. D’autres propri´et´es, elles, sont stables par passage `a la limite simple.
Exercice. Montrez qu’une limite simple d’applications croissantes est croissante.
R´esolution. Supposons que E = F = R, que D est un intervalle inclus dans R, que fn CVS
−→
D n→+∞
f et que pour tout n∈N, fn est croissante.
Soit (x, y)∈D2 tel que x≤y.
Pour tout n ∈ N, fn(x) ≤ fn(y), donc en faisant tendre n vers +∞, on obtient quef(x)≤f(y), ce qui prouve que f est croissante.
Exercice. Montrez qu’une limite simple
d’applications
d´ecroissantes paires impaires T −p´eriodiques
lin´eaires
est
d´ecroissante paire impaire T −p´eriodique
lin´eaire .
Remarque. Ainsi certaines propri´et´es sont stables par passage `a la limite simple alors que d’autres ne le sont que pour le passage `a la limite uniforme. Pour des propri´et´es aussi fondamentales en analyse que la continuit´e et la d´erivabilit´e, la stabilit´e n’est valable que pour la convergence uniforme (et encore pas toujours).
Il existe une seconde raison `a la sup´eriorit´e de la notion de CVU, c’est qu’elle correspond
`
a la notion bien connue de convergence d’une suite de vecteurs sur un espace vectoriel norm´e bien choisi.
1.2 Cas des s´ eries de fonctions
D´efinition. On appelle s´erie de fonctions de terme g´en´eral fn et on note P
fn l’ap- plication D −→ S(F)
x 7−→ P
fn(x).
Notation. Pour n ∈ N, on note Sn =
n
X
k=0
fk. Sn est une application de D dans F, appel´ee la somme partielle d’ordre n de la s´erie d’applicationsP
fn. D´efinition. On dit que la s´erie d’applications P
fn converge simplement sur D si et seulement si la suite de ses sommes partielles (Sn)n∈N converge simplement sur D.
AinsiP
fn converge simplement sur D si et seulement si, pour toutx∈D la s´erie P
fn(x) est convergente.
Dans ce cas, on notera
S: D −→ F x 7−→ S(x) =
+∞
X
n=0
fn(x). S est appel´ee la fonction somme de la s´erie d’applications P
fn. D´efinition. On dit que
´
Suites et s´eries de fonctions 1 Convergences simple et uniforme la s´erie d’applicationsP
fn converge uniform´ement sur Dsi et seulement si la suite de ses sommes partielles (Sn)n∈N converge uniform´ement surD.
Notation. Supposons que P
fn CVS surD. Pour tout n∈N, on note Rn : D −→ F
x 7−→ Rn(x) =
+∞
X
k=n+1
fk(x). Rn est appel´e le reste de Cauchy d’ordre n de la s´erie d’applications P
fn. Propri´et´e. On suppose que P
fn CVS sur D. Alors Pfn CVU sur D si et seulement si
la suite de ses restes de Cauchy converge uniform´ement vers 0 sur D.
D´emonstration.
Pfn CVU sur D si et seulement si (1) : Sn CVU
−→
D n→+∞
S.
Or (1)⇐⇒Sn−S CVU
−→D n→+∞
0⇐⇒Rn
CVU−→
D n→+∞
0.
Propri´et´e. Soit n0 ∈N. P
fn CVU sur D si et seulement si X
n≥n0
fn CVU sur D.
D´emonstration.
Pour n≥n0, les restes de Cauchy de P
fn et de X
n≥n0
fn sont ´egaux.
Propri´et´e. Si P
fn CVU sur D, alorsfn CVU
−→D n→+∞
0 . La r´eciproque est fausse.
D´emonstration.
Soit n ∈N∗.
Pour tout x ∈D, kfn(x)k=kRn−1(x)−Rn(x)k ≤sup
t∈D
kRn(t)k+ sup
t∈D
kRn−1(t)k, donc sup
x∈D
kfn(x)k ≤sup
t∈D
kRn(t)k+ sup
t∈D
kRn−1(t)k −→
n→+∞0, ce qui prouve que fn CVU
−→
D n→+∞
0.
D´efinition. On suppose que, pour toutn∈N, fn est born´ee sur D et on note N∞(fn) = sup
x∈D
kfn(x)k. Alors, on dit que la s´erie d’applicationsP
fn converge normalement (en abr´eg´e CVN) sur D si et seulement si la s´erie P
N∞(fn) est convergente.
Propri´et´e. Si P
fn CVN sur D, alorsP
fn CVU sur D . De plus, pour tout x∈D,P
fn(x) est absolument convergente et N∞
+∞
X
n=0
fn
!
≤
+∞
X
n=0
N∞(fn).
Suites et s´eries de fonctions 1 Convergences simple et uniforme D´emonstration.
Soit x∈D : Pour tout n ∈N,kfn(x)k ≤N∞(fn) et par hypoth`ese, X
N∞(fn) est convergente, donc P
kfn(x)kconverge, ce qui prouve l’absolue convergence de la s´erie Pfn(x), pour tout x∈D.
En particulier P
fn CVS sur D, donc il reste `a montrer que la suite de ses restes de Cauchy converge uniform´ement vers 0, c’est-`a-dire que sup
x∈D
k
∞
X
k=n+1
fk(x)k −→
n→+∞0.
Or, pour toutn∈Netx∈D,k
∞
X
k=n+1
fk(x)k ≤
∞
X
k=n+1
kfk(x)k ≤
+∞
X
k=n+1
N∞(fk), donc par passage au sup, sup
x∈D
k
∞
X
k=n+1
fk(x)k ≤
+∞
X
k=n+1
N∞(fk), mais
+∞
X
k=n+1
N∞(fk) −→
n→+∞0 car c’est le reste de Cauchy d’une s´erie convergente de r´eels, donc sup
x∈D
k
∞
X
k=n+1
fk(x)k −→
n→+∞0.
Soit x∈D. Pour toutN ∈N, k
N
X
n=0
fn(x)k ≤
N
X
n=0
kfn(x)k ≤
+∞
X
n=0
N∞(fn), donc, en faisant tendre N vers +∞, k
+∞
X
n=0
fn(x)k ≤
+∞
X
n=0
N∞(fn). On conclut en passant `a la borne sup´erieure.
Exemple. Pour n∈N∗, on note
fn: R −→ R
t 7−→ 1
n2+t2 . Etude de la CVS de X
n≥1
fn. Soit t ∈ R. 1
n2+t2 ∼ 1
n2, donc la s´erie converge simplement sur R.
Etude de la CVU.Soitn ∈N∗. Pour toutt ∈R, 1
n2+t2 ≤ 1
n2, donc sup
t∈R
fn(t)≤ 1 n2, or la s´erie X
n≥1
1
n2 est convergente, donc la s´erie CVN sur R. Ainsi la s´erie X
n≥1
fn CVU surR.
Remarque. La r´eciproque est fausse. Il existe des s´eries d’applications qui CVU sans converger normalement.
Exemple. Pour x∈Ret n∈N, posons fn(x) = (−1)n n+ 1 +|x|. sup
x∈R
|fn(x)|= 1
n+ 1, or P 1
n+ 1 diverge, donc P
fn ne converge pas normalement sur R.
Soit x ∈ R. La s´erie X (−1)n
n+ 1 +|x| est une s´erie altern´ee sp´eciale, donc elle converge
´
Suites et s´eries de fonctions 2 Continuit´e de la limite uniforme et
+∞
X
k=n+1
fk(x)
≤ 1
n+ 2 +|x| ≤ 1
n+ 2, donc sup
x∈R
+∞
X
k=n+1
fk(x)
≤ 1
n+ 2 −→
n→+∞0, ce qui prouve que P
fn converge uniform´ement surR. Propri´et´e.
S’il existe une suite (an)n∈N∈RN+ telle que
∀x∈D kfn(x)k ≤an, et telle que P
an converge, alors P
fn CVN sur D.
2 Continuit´ e de la limite uniforme
Th´eor`eme d’interversion des limites. Soit a∈D.
Hypoth`eses.
fn
CVU−→
D n→+∞
f.
Pour toutn ∈N, il existe ln∈F tel que fn(x)−→x→a
x∈D
ln. Conclusions.
Il existel ∈F tel que ln −→
n→+∞l.
f(x)−→x→a
x∈D
l.
D´emonstration.
Soit ε >0. Il existeN ∈N tel que pour tout x∈Det pour tout n ≥N, kf(x)−fn(x)k ≤ ε2.
Soient p≥N etq ≥N. Pour tout x∈D,
kfp(x)−fq(x)k ≤ kf(x)−fp(x)k+kf(x)−fq(x)k ≤ε.
On fait tendre xvers a en appartenant `a D. On obtient queklp−lqk ≤ε.
Ainsi la suite (ln) est une suite de Cauchy de vecteurs de F, lequel est de dimension finie, donc il existe l∈F tel que ln −→
n→+∞l.
Pour tout (x, M)∈D×N,
(1) : kf(x)−lk ≤ kf(x)−fM(x)k+kfM(x)−lMk+klM −lk.
Soit ε >0. Il existe N1 ∈N tel que pour toutx∈D et n≥N1, kf(x)−fn(x)k ≤ 3ε. Il existeN2 ∈Ntel que pour tout n≥N2, kl−lnk ≤ ε3.
PosonsM = max(N1, N2).fM(x)−→x→a
x∈D
lM donc il existe α >0 tel que pour toutx∈D, (ka−xk ≤α=⇒ kfM(x)−lMk ≤ ε3.
Soitx∈Dtel queka−xk ≤α. D’apr`es (1),kf(x)−lk ≤ε. Ceci prouve quef(x)−→
x→a x∈D
l.
Remarque. Le th´eor`eme reste valable lorqueD⊂R, aveca= +∞etD non major´e, ou biena =−∞ etD non minor´e.
En effet, la d´emonstration s’adapte sans difficult´e.
Suites et s´eries de fonctions 2 Continuit´e de la limite uniforme Remarque. Les conclusions du th´eor`eme sont encore vraies si l’on suppose seulement que fn CVU
−→
V∩D n→+∞
f, o`uV ∈ V(a).
Interpr´etation. Sous les hypoth`eses du th´eor`eme, les objets math´ematiques qui suivent sont d´efinis et v´erifient
n→+∞lim lim
x→a x∈D
fn(x)
!
= lim
x→a x∈D
n→+∞lim fn(x)
.
C’est la raison pour laquelle ce th´eor`eme porte le nom de th´eor`eme d’interversion des limites.
Remarque. Avec E =F = R, D = [0,1[, et pour tout n ∈ N, pour tout x ∈ [0,1[, fn(x) =xn,
on a lim
n→+∞ lim
x→1 x∈D
fn(x)
!
= 16= 0 = lim
x→1 x∈D
n→+∞lim fn(x)
, ce qui montre que l’interversion des limites n’a rien d’automatique.
Th´eor`eme. Limite de la somme d’une s´erie d’applications. Soit a∈D.
Hypoth`eses.
P
fn CVU sur D.
Pour toutn ∈N, il existe ln∈F tel que fn(x)−→x→a
x∈D
ln. Conclusions.
La s´erie P
ln est convergente.
+∞
X
n=0
fn(x)−→
x→a x∈D
+∞
X
n=0
ln. D´emonstration.
Avec les notations introduites au paragraphe 1.2, Sn CVU
−→D n→+∞
S, et pour tout
n ∈ N, Sn(x) −→
x→a x∈D
n
X
k=0
lk, donc d’apr`es le th´eor`eme d’interversion des limites, la suite
n
X
k=0
lk
!
n∈N
est convergente etS(x)−→
x→a x∈D
+∞
X
n=0
ln.
Remarque. Le th´eor`eme reste valable lorque D⊂R et que a=±∞.
Remarque. Les conclusions du th´eor`eme sont encore vraies si l’on suppose seulement que P
fn CVU sur V ∩D, o`u V ∈ V(a).
Interpr´etation. Sous les hypoth`eses du th´eor`eme, les objets math´ematiques qui suivent sont d´efinis et v´erifient
+∞
X
n=0
limx→a x∈D
fn(x)
!
= lim
x→a x∈D
+∞
X
n=0
fn(x)
! .
´
Suites et s´eries de fonctions 2 Continuit´e de la limite uniforme C’est encore un th´eor`eme d’interversion.
Exemple. lim
t→0 +∞
X
n=1
1
n2+t2 = π2
6 et lim
t→+∞
+∞
X
n=1
1
n2+t2 = 0.
Th´eor`eme. Soit a∈D.
S’il existe un voisinageV deatel que fn CVU
−→V∩D n→+∞
f et si, pour toutn∈N,fnest continue ena, alorsf est continue en a.
D´emonstration.
Pour tout n∈N, fn ´etant continue en a, fn(x) −→
x→a x∈V∩D
fn(a).
De plus a ∈ V ∩D et la convergence uniforme implique la convergence simple, donc fn(a) −→
n→+∞f(a). Alors d’apr`es le th´eor`eme d’interversion des limites, f(x) −→
x→a x∈V∩D
f(a), mais la notion de limite en un point est locale `a ce point, donc f(x)−→x→a
x∈D
f(a), ce qui prouve la continuit´e de f ena.
Th´eor`eme. Soit a ∈ D. S’il existe un voisinage V de a tel que P
fn converge uni- form´ement sur V ∩D et si, pour tout n ∈ N, fn est continue en a, alors
+∞
X
n=0
fn est continue en a.
Th´eor`eme.
Si une suite d’applications continues surD converge uniform´ement surD, la limite de cette suite est une application continue surD.
Remarque. Plus pr´ecis´ement, si (fn) est une suite d’applications continues sur Det si pour tout a∈D, il existe V ∈ V(a) tel quefn CVU
−→
V∩D n→+∞
f, alors f est continue.
LorsqueDest un intervalle deR, il suffit donc de v´erifier quefnconverge uniform´ement vers f sur tout segment inclus dans D.
Th´eor`eme.
La somme d’une s´erie d’applications continues sur D qui CVU sur D est une application continue sur D.
Remarque. Plus pr´ecis´ement, si P
fn est une s´erie d’applications continues sur Det si pour touta ∈D, il existeV ∈ V(a) tel queP
fn converge uniform´ement surV ∩D, alors
+∞
X
n=0
fn est continue.
LorsqueDest un intervalle deR, il suffit donc de v´erifier quefnconverge uniform´ement vers f sur tout segment inclus dans D.
Exercice. Soit D une partie compacte de E. Montrer que l’ensemble C(D, F) des applications continues D dans F est un ferm´e de B(D, F).
Solution :D´etant compacte, toute application continue deDdansF est born´ee, doncC(D, F)⊂ B(D, F).
Suites et s´eries de fonctions 2 Continuit´e de la limite uniforme Soit (fn) est une suite dansC(D, F) qui converge vers f ∈ B(D, F),
alors fn CVU
−→
D n→+∞
f, donc f est continue. Ainsi f ∈ C(D, F), ce qui prouve que C(D, F) est un ferm´e de B(D, F).
Exercice. Etude de la fonction Z´eta.
Pour toutx∈]1,+∞[, on pose ζ(x) =
+∞
X
n=1
1 nx .
1◦) Montrez que ζ est une application d´efinie et continue sur ]1,+∞[.
2◦) Montrez que c’est une application strictement d´ecroissante.
3◦) D´eterminez la limite de ζ en +∞ ainsi qu’un ´equivalent de ζ(x) lorsque x tend vers 1.
R´esolution.
1◦) Pour tout n∈N∗, posons
fn: ]1,+∞[ −→ R x 7−→ 1 nx
. Soit a >1.
Soit n∈N∗. Pour tout x∈[a,+∞[, 0≤fn(x)≤ 1
na, donc sup
x∈[a,+∞[
|fn(x)| ≤ 1 na. Or X
n≥1
1
na est convergente, donc la s´erie d’applications X
n≥1
fn converge normale- ment sur [a,+∞[, doncX
n≥1
fn converge uniform´ement sur [a,+∞[.
De plus, pour toutb ∈]1,+∞[, il existea∈]1,+∞[ tel que
[a,+∞[∈ V(b) : il suffit de choisira∈]1, b[. Or, pour tout n∈N∗,fn est continue sur ]1,+∞[, donc, d’apr`es le cours,ζ =
+∞
X
n=1
fn est d´efinie et continue sur ]1,+∞[.
Remarque.On peut d´emontrer que la s´erie d’applicationsX
n≥1
fn ne converge pas uniform´ement sur ]1,+∞[.
Sinon, en effet, le fait que, pour tout n ∈ N∗, fn(x) −→
x→<1
1
n impliquerait d’apr`es un th´eor`eme d’interversion que la s´erie X
n≥1
1
n est convergente, ce qui est faux.
2◦) Soit (x, y)∈]1,+∞[2 tel que x < y.
1
2x =e−xln(2)> e−yln(2) et, pour tout n≥3, 1 nx ≥ 1
ny, donc ζ(x) = 1 + 1
2x +
+∞
X
n=3
1
nx >1 + 1 2y +
+∞
X
n=3
1
ny =ζ(y).
Ainsi, l’application est strictement d´ecroissante sur ]1,+∞[.
´
Suites et s´eries de fonctions 3 Th´eor`emes d’interversion entre limites et “ Z
” 3◦)
• Pour tout n ≥ 2,fn(x) −→
x→+∞0, et f1(x) = 1 −→
x→+∞1, or, d’apr`es la premi`ere question, X
n≥1
fn converge uniform´ement sur [2,+∞[, donc, d’apr`es un th´eor`eme d’interversion,ζ(x) −→
x→+∞1.
• Soit x∈]1,+∞[. Posons
f : [1,+∞[ −→ R t 7−→ 1 tx
. f est d´ecroissante.
Appliquons la technique de comparaison entre s´erie et int´egrale.
Pour toutn ≥2,f(n)≤ Z n
n−1
f(t)dt≤f(n−1), donc pour tout N ≥2,
N−1
X
n=1
1 nx =
N
X
n=2
f(n−1)≥ Z N
1
f(t)dt = Z N
1
dt tx ≥
N
X
n=2
f(n) = −1 +
N
X
n=1
1 nx, donc, en faisant tendreN vers +∞, on obtient que
ζ(x)≥ Z +∞
1
dt
tx = [ t1−x
1−x]+∞1 = 1
x−1 ≥ −1 +ζ(x).
Ainsi 1≤(x−1)ζ(x)≤(x−1) + 1. D’apr`es le th´eor`eme des gendarmes, (x−1)ζ(x)−→
x→1 x>1
1, donc ζ(x) ∼
x→1 x>1
1 x−1. Remarque.
Lorsque l’on recherche un ´equivalent en a de la somme d’une s´erie d’applications, dans le cas o`u le th´eor`eme d’interversion entre limite et X
ne permet pas de conclure, il est souvent int´eressant d’utiliser la technique de comparaison entre s´erie et int´egrale, en s’inspirant de l’exemple pr´ec´edent.
3 Th´ eor` emes d’interversion entre limites et “ Z
”
3.1 Convergence uniforme
Notation. Pour ce paragraphe, E =R et D est un segment, not´e [a, b], o`u a, b∈ R avec a < b.
Th´eor`eme. Interversion entre limite et signe R . Si pour tout n∈N, fn est continue sur [a, b] et si fn
CVU−→
[a,b]
n→+∞
f, alors Z b
a
fn −→
n→+∞
Z b a
f.
D´emonstration.
D’abord, f est continue en tant que limite uniforme d’applications continues, donc Rb
a f(t)dt est d´efinie. De plus, pour tout n∈N,
Rb
a fn−Rb af
≤Rb
a kfn(t)−f(t)kdt ≤(b−a)× sup
t∈[a,b]
kfn(t)−f(t)k −→
n→+∞0.
Suites et s´eries de fonctions 3 Th´eor`emes d’interversion entre limites et “ Z
”
Remarque. Sous les hypoth`eses du th´eor`eme, Z b
a
n→+∞lim fn(t)dt= lim
n→+∞
Z b a
fn(t)dt.
Il s’agit donc bien d’un th´eor`eme d’interversion.
Exemple.
Z 1
1 2
(1−x2)ndx −→
n→+∞0. En effet, ici [a, b] = [1 2,1], et en posant fn(x) = (1 − x2)n, 0 ≤ fn(x) ≤ (3
4)n, donc fn CVU
−→
[a,b]
n→+∞
0, ce qui permet d’appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent.
Th´eor`eme. Interversion entre P
et signe R . Si pour tout n ∈ N, fn est continue sur [a, b] et si P
fn converge uniform´ement sur [a, b], alors
Z b a
+∞
X
n=0
fn=
+∞
X
n=0
Z b a
fn (et ces s´eries sont bien convergentes).
D´emonstration.
Sn =
n
X
k=0
fk CVU
−→
[a,b]
n→+∞
+∞
X
n=0
fn = S et pour tout n ∈ N, Sn est continue, donc d’apr`es la propri´et´e pr´ec´edente,
n
X
k=0
Z b a
fk(t)dt = Z b
a
Sn(t)dt −→
n→+∞
Z b a
S(t)dt. Ceci prouve que la
s´erie XZ b a
fn(t)dt est convergente et que
+∞
X
n=0
Z b a
fn(t)dt= Z b
a +∞
X
n=0
fn(t)dt.
Exemple. Soit x∈]−1,1[. 1 1 +x =
+∞
X
n=0
(−x)n, donc ln(1 +x) =
Z x 0
dt 1 +t =
Z x 0
+∞
X
n=0
(−t)ndt.
Ici, I = [0, x]. Posons fn(t) = (−t)n : pour tout t ∈ [0, x], |fn(t)| ≤ |x|n, donc sup
t∈[0,x]
|fn(t)| ≤ |x|n, or X
|x|n converge, doncX
fn converge normalement, donc uni- form´ement, sur [0, x]. On peut donc appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent. Ainsi,
ln(1 +x) =
+∞
X
n=0
Z x 0
(−t)ndt =
+∞
X
n=0
(−1)nxn+1 n+ 1 .
Remarque. Les deux th´eor`emes pr´ec´edents deviennent faux si l’on remplace
l’hypoth`ese de convergence uniforme par une hypoth`ese de convergence simple, et ceci mˆeme si on suppose que la limite simple est continue.
D´emonstration.
Pour n∈N, on d´efinit fn : [0,1]−→Rpar les relations suivantes : si t∈[0, 1
2(n+ 1)], fn(t) = 2(n+ 1)2t, si t∈[ 1
2(n+ 1), 1
n+ 1], fn(t) = 2(n+ 1)2( 1
n+ 1 −t)
´
Suites et s´eries de fonctions 3 Th´eor`emes d’interversion entre limites et “ Z
” et pour t∈[ 1
n+ 1,1], fn(t) = 0.
fn
CVS−→
[0,1]
n→+∞
0, mais Z 1
0
fn(t)dt= 1
2. Ainsi, lim
n→+∞
Z 1 0
fn= 1 2 et
Z 1 0
n→+∞lim fn = 0.
Au paragraphe suivant, nous allons ´enoncer des th´eor`emes d’interversion faisant seule- ment l’hypoth`ese d’une convergence simple, mais, en vertu du contrexemple pr´ec´edent, nous aurons toujours besoin d’une hypoth`ese suppl´ementaire.
3.2 convergence domin´ ee
Notation. Pour ce paragraphe, E =Ret D est un intervalle quelconque, not´e I. De plus, F =K.
Th´eor`eme de convergence domin´ee.
Hypoth`eses.
Pour toutn ∈N, fn est continue par morceaux.
fn CVS
−→I n→+∞
f, o`uf est continue par morceaux.
Hypoth`ese de domination. Il existeϕ :I −→R+ telle que
∀n∈N ∀t∈I |fn(t)| ≤ϕ(t).
ϕest continue par morceaux et int´egrable sur I, ce qui implique l’int´egrabilit´e des fn.
Conclusions.
f est int´egrable surI.
Z
I
fn −→
n→+∞
Z
I
f. D´emonstration.
Hors programme.
Remarque. Les hypoth`eses de continuit´e par morceaux, impos´ees par les limitations du programme, n’ont pas l’importance de l’hypoth`ese de domination.
Exemple. Posons In = Z 1
0
(1−t2)ndt. En notant fn(t) = (1−t2)n, fn CVS
−→
[0,1]
n→+∞
f, o`u f(x) = 0 lorsque x ∈]0,1] et f(0) = 1. les fn sont domin´es par la fonction constante
´
egale `a 1, qui est int´egrable sur [0,1], donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, In −→
n→+∞0.
Exemple. Montrons que Z
R
dx
1 + xn2n −→
n→+∞
Z
R
e−x2dx(=√ π).
• Pour toutn ∈N∗ etx∈R, posons fn(x) = 1
1 + xn2n etf(x) =e−x2. Soit x∈R. fn(x) =e−nln(1+x
2
n)=e−n(x
2 n+o( 1n))
n→+∞−→ e−x2. Ainsi fn CVS
−→
n→+∞R
f.
Suites et s´eries de fonctions 3 Th´eor`emes d’interversion entre limites et “ Z
” Il suffit maintenant de montrer que la suite d’applications (fn)n∈N∗ est domin´ee par une application int´egrable sur R.
Mais (1 + x2 n)n =
n
X
k=0
n k
x2k
nk ≥1 +nx2
n, donc |fn(x)| ≤ 1
1 +x2 =ϕ(x).ϕ est bien une application positive, continue et int´egrable sur R.
Th´eor`eme de convergence domin´ee g´en´eralis´e.
Soit J un intervalle de R eta∈R∪ {+∞,−∞} tel que J rencontre tout voisinage de a. Pour tout λ∈J, soit fλ une application continue par morceaux de I dans K. On suppose que, pour toutx∈I, fλ(x)−→
λ→a λ∈J
f(x), o`u f est continue par morceaux.
On suppose surtout, qu’il existe ϕ :I −→R+ telle que ∀λ∈J ∀t ∈I |fλ(t)| ≤ ϕ(t), o`uϕ est continue par morceaux et int´egrable surI.
Alorsf est int´egrable sur I et Z
I
fλ −→
λ→a λ∈J
Z
I
f.
D´emonstration.
Dans l’hypoth`ese de domination, en faisant tendre λ vers a, on obtient |f(t)| ≤ ϕ(t), orϕ est int´egrable sur I, donc f est int´egrable sur I.
Soit (λn)n∈N ∈ JN telle que λn −→
n→+∞a. Posons fn = fλn. Alors fn CVS
−→I n→+∞
f et pour tout n ∈ N, pour tout t ∈ I, |fn(t)| ≤ ϕ(t), donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee,
Z
I
fλn(t) −→
n→+∞
Z
I
f(t), ce qu’il fallait d´emontrer d’apr`es la caract´erisation s´equentielle de la notion de limite en un point.
Exemple. Sif est une application continue par morceaux de R dansC et int´egrable surR, alors
Z +∞
−∞
cos(xt)f(t)dt −→
x→0
Z +∞
−∞
f(t)dt.
En effet, si l’on pose fx(t) = cos(xt)f(t), on a bien, pour tout t∈R, fx(t)−→
x→0 f(t) et
|fx(t)| ≤ |f(t)| avect 7−→ |f(t)| int´egrable sur R par hypoth`ese.
´
Suites et s´eries de fonctions 3 Th´eor`emes d’interversion entre limites et “ Z
” Th´eor`eme. Th´eor`eme d’int´egration terme `a terme.
Hypoth`eses.
Pour toutn ∈N,fn est continue par morceaux et int´egrable sur I.
X
fn CVS surI, et
+∞
X
n=0
fn est continue par morceaux surI.
La s´erie XZ
I
|fn| converge.
Conclusions.
+∞
X
n=0
fn est int´egrable sur I.
La s´erie XZ
I
fn converge.
Z
I +∞
X
n=0
fn =
∞
X
n=0
Z
I
fn. D´emonstration.
Hors programme.
Remarque. Les hypoth`eses de continuit´e par morceaux, impos´ees par les limita- tions du programme, n’ont pas l’importance de l’hypoth`ese de convergence de la s´erie XZ
I
|fn|.
Exercice.
1◦) Montrer que
∀x∈[−1,1]
Z 1 0
1−t 1−xt3dt=
+∞
X
n=0
xn
(3n+ 1)(3n+ 2). 2◦) En d´eduire la valeur de
+∞
X
n=0
1
(3n+ 1)(3n+ 2). Solution de l’exercice :
1◦) Soit x∈[−1,1]. Pour tout t ∈[0,1[, notons f(t) = 1−t 1−xt3.
• Lorsquex6= 1, f(t)−→
t→1 0 et lorsque x= 1,f(t) = 1
1 +t+t2 −→
t→1
1
3, donc dans tous les cas, f est prolongeable par continuit´e en 1, donc f est int´egrable sur [0,1[. Ainsi,
Z 1 0
1−t
1−xt3dt est d´efinie.
De plus, pour toutn ∈N∗,
xn
(3n+ 1)(3n+ 2) ≤ 1
9n2, orX
n≥1
1
n2 est convergente, donc
+∞
X
n=0
xn
(3n+ 1)(3n+ 2) est d´efinie.
Suites et s´eries de fonctions 3 Th´eor`emes d’interversion entre limites et “ Z
”
• Pour tout t∈[0,1[, 1 1−xt3 =
+∞
X
n=0
(xt3)n, donc
Z 1 0
f(t)dt = Z
[0,1[
+∞
X
n=0
xn(t3n−t3n+1)dt.
Supposons pour le moment que l’on peut intervertir les symboles R etP
. Alors Z 1
0
f(t)dt =
+∞
X
n=0
xn Z 1
0
(t3n−t3n+1)dt
=
+∞
X
n=0
xn 1
3n+ 1 − 1 3n+ 2
=
+∞
X
n=0
xn
(3n+ 1)(3n+ 2).
• Pour tout n∈N et t∈[0,1[, posons fn(t) = xn(t3n−t3n+1).
XZ 1 0
|fn(t)|dt
= X
|x|n Z 1
0
(t3n −t3n+1)dt = X |x|n
(3n+ 1)(3n+ 2) et on a montr´e ci-dessus la convergence de cette s´erie. De plus, pour tout n ∈ N, fn est continue et int´egrable sur [0,1[,P
fn converge simplement sur [0,1[ et la somme de cette s´erie d’applications est f, qui est continue sur [0,1[, donc l’interversion est justifi´ee d’apr`es un th´eor`eme du cours.
2◦) En particulier, pour x= 1,
+∞
X
n=0
1
(3n+ 1)(3n+ 2) = Z 1
0
1−t 1−t3dt=
Z 1 0
dt 1 +t+t2 =
Z 1 0
dt (t+12)2+ 34
=h 2
√3arctan2t+ 1
√3 i1
0
= 2
√3
arctan(√
3)−arctan 1
√3
= 2
√3(π 3 − π
6) donc
+∞
X
n=0
1
(3n+ 1)(3n+ 2) = π 3√
3 .
´
Suites et s´eries de fonctions 4 D´erivation d’une suite ou d’une s´erie d’applications
4 D´ erivation d’une suite ou d’une s´ erie d’applica- tions
Notation. I d´esigne encore un intervalle deR dont l’int´erieur est non vide, f est une application de I dans un K-espace vectorielF de dimension finie, et (fn) est une suite d’applications de I dans F.
Exemple. Pour n∈N∗ et t∈R, posons fn(t) = r
t2+ 1 n2. Soit t∈R. fn(t) −→
n→+∞|t|. Ainsi fn CVS
−→
R n→+∞
|.|.
Soit n ∈N∗. Pour tout t ∈ R, 0 ≤ fn(t)− |t|= 1 n2(|t|+
q
t2+n12)
≤ 1 n −→
n→+∞0, donc fn
CVU−→
R n→+∞
|.|.
Ainsi, sifn
CVU−→
I n→+∞
f et si, pour toutn ∈N, fn est d´erivable, f n’est pas n´ecessairement d´erivable.
Exemple. Pour n∈N∗ et t∈R, posons fn(t) = 1
n sin(nt).
Soit n ∈N∗. Pour toutt∈R, |fn(t)| ≤ 1n −→
n→+∞0, donc fn CVU
−→
R n→+∞
0.
Ainsi, pour tout n∈N, fn est d´erivable (et mˆeme de classeC∞) et la limite uniforme de (fn)n∈N est d´efinie, et est de classe C∞.
Cependant,fn0(t) = cos(nt), doncfn0(π) = (−1)n, ce qui prouve que (fn0)n∈Nne converge pas simplement sur R.
Ainsi, sifn
CVU−→
I n→+∞
favecfnetfde classeC∞, la suite (fn0) ne converge pas n´ecessairement vers f0, mˆeme au sens de la convergence simple.
Notation. Lorsque fn converge uniform´ement vers f sur tout segment inclus dans I, on notera fnCVUTS
−→
I n→+∞
f.
Propri´et´e. Primitivation de la limite d’une suite de fonctions. Soit a∈I.
On suppose que pour toutn ∈N, fn est continue sur I.
SifnCVUTS
−→I n→+∞
f, alors
x7−→
Z x a
fn(t)dt
CVUTS
−→I n→+∞
x7−→
Z x a
f(t)dt
. D´emonstration.
D’abord, la CVUTS de fn vers f montre que, pour tout segment S inclus dans I, f/S est continue, or pour toutx∈I, il existe un segment deI de la forme V ∩I o`u V est un voisinage de x, donc f est continue sur I.
Suites et s´eries de fonctions 4 D´erivation d’une suite ou d’une s´erie d’applications Pour tout x∈I, posons hn(x) =
Z x a
fn(t)dt eth(x) = Z x
a
f(t)dt.
Soit K un segment inclus dansI. On noteH = [min(K∪ {a}), max(K∪ {a})].H est encore un segment inclus dans I.
Soit n ∈N. Pour tout x∈K, kh(x)−hn(x)k= k
Z x a
f(t)dt− Z x
a
fn(t)dtk
≤
Z max(a,x) min(a,x)
kf(t)−fn(t)kdt≤ |a−x|sup
t∈H
kf(t)−fn(t)k, donc en notantl la longueur de H, pour tout x∈K,
kh(x)−hn(x)k ≤lsup
t∈H
kf(t)−fn(t)k. On en d´eduit que pour tout n ∈N, sup
x∈K
kh(x)−hn(x)k ≤lsup
t∈H
kf(t)−fn(t)k −→
n→+∞0, carH est un segment inclus dans I.
Ceci prouve que hn CVUTS
−→I n→+∞
h.
Corollaire. Primitivation de la somme d’une s´erie de fonctions. Soit a∈I.
On suppose que pour toutn ∈N, fn est continue sur I.
SiP
fn CVUTS sur I, alors P
x7−→
Z x a
fn(t)dt
CVUTS sur I, et
+∞
X
n=0
x7−→
Z x a
fn(t)dt
est l’unique primitive de
+∞
X
n=0
fn qui s’annule en a.
D´emonstration.
Exercice.
Th´eor`eme. D´erivation de la limite d’une suite de fonctions.
Hypoth`eses.
Pour tout n∈N, fn est de classe C1, fn
CVS−→
I n→+∞
f et
Il existe h telle quefn0 CVUTS
−→I n→+∞
h.
Conclusion.
f est de classeC1 surI etf0 =h.
D´emonstration.
Fixons a∈I. Pour tout n∈N, fn0 est continue sur I etfn0 CVUTS
−→
I n→+∞
h,
donc d’apr`es le th´eor`eme de primitivation de la limite d’une suite de fonctions, (1) :
x7−→
Z x a
fn0(t)dt
CVUTS
−→I n→+∞
x7−→
Z x a
h(t)dt
. Soit x∈I. Soit n∈N.
fn(x)−fn(a) = Z x
a
fn0(t)dt −→
n→+∞
Z x a
h(t)dt etfn(x)−fn(a) −→
n→+∞f(x)−f(a), donc
´
