Chapitre 1 Les s´eries

Les s´ eries

Cours de math´ ematiques de BCPST Deuxi` eme ann´ ee

1 D´efinition et premi`eres propri´et´es 2

1.1 S´eries de r´ef´erence . . . 4

1.2 Divergence grossi`ere . . . 7

1.3 Somme de s´erie et op´eration . . . 8

1.4 Notion de reste . . . 9

2 Convergence de s´eries `a termes positifs 10 2.1 Le th´eor`eme de majoration . . . 10

2.2 Le th´eor`eme de comparaison . . . 10

2.3 Par ´equivalence . . . 12

2.4 Par domination . . . 12

2.5 Par comparaison avec une int´egrale . . . 13

2.6 Notion d’absolue convergence . . . 13

2.7 Les s´eries commutativement convergentes (Hors-programme) . . . 14

3 Les s´eries doubles 16

4 Exercices du td 18

Ce que l’on va voir dans ce chapitre n’est abord´e en BCPST que dans un seul but : faire des probabilit´es. Cela explique les objectifs relativement modestes du programme concernant ces notions.

1 D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es

Soit (S_n)n∈N une suite num´erique. On dit que (S_n)n∈N est une s´erie s’il existe une suite (u_n)n∈N telle que :

∀k∈N, S_n=

n

X

k=0

u_k. Si tel est le cas alors :

• On note X

un ou X

n

un ouX

n>0

un la suite (Sn)n∈N.

• Pour tout entier naturel p, on dit que Sp est la somme partielle de rang p de la s´erie X

u_n.

• On dit que u_n est le terme g´en´eral deX u_n. D´efinition 1

, Exemple :

On peut expliciter les s´eries X 0, X

1, X

k, X

k², X

k³, X ln

k+ 1 k+ 2

, X

2^k, X 1

2^k

. Cela donne : ...

* Remarque :

1. Quand on ´ecrit que : ∀p ∈N, Sp =

p

X

n=0

un, un ne d´epend pas de p. On ne s’int´eresse pas, par exemple, `a une suite (Sp)p∈N d´efinie par : ∀p∈N, Sp =

p

X

n=0

p n² +p.

2. Une s´erie n’est donc pas autre chose qu’une suite. On peut donc lui appliquer tous les r´esultats concernant les suites qu’elles soient r´eelles ou complexes. Cependant, une s´erie est donn´ee par son terme g´en´eral et non pas explicitement. Le propos de ce chapitre est de d´evelopper des

outils sp´ecifiques `a l’´etude d’une s´erie op´erant sur le terme g´en´eral de cette s´erie.

3. On peut transformer une suite en s´erie. Soit une suite (a_n)n∈N. (a_n)n∈N est X

u_n avec, pour tout entier naturel non nul n, on pose :

u_n=a_n−a_n−1

et u₀ =a₀. Ainsi, les outils que l’on va d´evelopper pour les s´eries seront exportables pour les suites.

4. Soit n0 un entier naturel. On peut consid´erer des s´eries dont le premier indice est n0 au lieu de 0. On appelle s´erie de terme g´en´eral u_n d´efinie `a partir de n₀ et on note X

n>n0

u_n la suite

(S_p)_p>n0 d´efinie par :

∀p∈N tel que p>n₀ , S_p =

p

X

n=n0

u_n.

Soient X

u_k une s´erie et (S_n)_n∈N la suite de ses sommes partielles.

• On dit que X

uk est convergente si (Sn)n∈N est convergente.

• Dans ce cas, on note

+∞

X

k=0

u_k sa limite. Si X

u_k est convergente, on a donc :

+∞

X

k=0

u_k = lim

n→+∞

n

X

k=0

u_k

! .

• SiX

u_k est convergente, on appelle somme de la s´erie la quantit´e

+∞

X

k=0

u_k.

• SiX

u_k n’est pas convergente, on dit que la s´erie est divergente.

• D´eterminer la nature d’une s´erie signifie d´eterminer si elle est convergente ou divergente. En particulier, deux s´eries sont dites de mˆeme nature si elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes.

D´efinition 2

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la pr´ec´edente d´efinition. Ne pas confondre X u_n et

+∞

X

k=0

u_k. X

u_n est une suite et

+∞

X

k=0

u_k est sa limite (si elle existe !). Cette limite n’existant pas toujours, il ne faut pas manipuler le r´eel

+∞

X

k=0

u_k avant de prouver la convergenceX u_n .

* Remarque :

1. Soientn₀ un entier naturel et X

k>n0

u_kune s´erie d´efinie `a partir den₀. Si X

k>n0

u_kest convergente, on note

+∞

X

k=n0

u_k la somme de cette s´erie.

2. Soit X

u_k une s´erie. Si la suite des sommes partielles diverge vers +∞ (resp. −∞), la s´erie Xu_k est divergente mais on notera tout de mˆeme

+∞

Xu_k= +∞ (resp.−∞).

, Exemple : X

1 2

k

est convergente car, pour tout entier natureln, on a :

n

X

k=0

1 2

k

= 1−

1 2

n+1

1− 1 2

= 2− 1

2 n

.

On en d´eduit que

+∞

X

k=0

1 2

k

= 2.

1.1 S´ eries de r´ ef´ erence

S´eries g´eom´etriques et d´eriv´ees

Soit q un r´eel. On a :

• X

(q)^k est convergente si et seulement si|q|<1. Si |q|<1, on a :

+∞

X

k=0

(q)^k = 1 1−q.

• X

k(q)^k est convergente si et seulement si|q|<1. Si |q|<1, on a :

+∞

X

k=1

k(q)^k = q (1−q)².

• X

k(k−1) (q)^k est convergente si et seulement si|q|<1. Si |q|<1, on a :

+∞

X

k=2

k(k−1) (q)^k = 2q² (1−q)³. Proposition 3

, Exemple : Xk

2 3

k

est convergente car 2 3

<1. On a :

+∞

X

k=1

k 2

3 k

= 2 3

1− 2 3

2

= 6.

* Remarque :

Soient q un r´eel et p un entier naturel non nul.

1. Avec la proposition pr´ec´edente, on peut ´etablir ais´ement la nature de

+∞

X

k=2

k²(q)^k ainsi que la valeur de sa somme. Cette s´erie est convergente si et seulement si |q| < 1 et sa somme vaut

q

(1−q)² + 2q²

(1−q)³ car...

2. En g´en´eralisant la d´emonstration, on peut prouver que X

n(n−1)× · · · ×(n−p+ 1) (q)ⁿ est convergente si et seulement si |q|<1 et qu’on a, si|q|<1, l’´egalit´e suivante :

+∞

X

n=p

n(n−1)× · · · ×(n−p+ 1) (q)ⁿ = q^p×p!

(1−q)^p+1.

S´eries t´elescopiques

Soit (v_n)n∈N une suite num´erique. X

n

(v_n+1−v_n) est convergente si et seulement si la suite (v_n)n∈N est convergente et dans ce cas, on a :

+∞

X

k=0

(vk+1−vk) = lim

n→+∞(vn)−v0. Proposition 4

, Exemple :

On peut ainsi prouver la convergence de X

n>1

1

n(n+ 1) et sa somme vaut 1. En effet, ....

S´erie exponentielle

Soit x un r´eel. X

n

xⁿ n!

est convergente et sa somme vaut exp(x).

Proposition 5

S´erie de Riemann Du blanc !

6 Un peu de python:

Listing 1 – serie.py i m p o r t m a t p l o t l i b.p y p l o t as plt

i m p o r t n u m p y as np def s e r i e (n, a l p h a):

s=np. z e r o s (n) s[0] = 1

x=l i s t(r a n g e(1 ,n+ 1 ) ) for i in r a n g e (n -1):

s[i+1] = s[i] + 1/(i+ 2 ) * *a l p h a plt.p l o t(x,s," r - ")

plt.g r i d ()

plt.t i t l e(" V i s u a l i s a t i o n des s ´e r i e s de R i e m a n n a v e c a l p h a = " + str(a l p h a)) plt.a x h l i n e(c o l o r=" b l a c k ")

X

n>1

1 n

est divergente et X

n>1

1 n²

est convergente.

Proposition 6

(Hors-programme) Soit α un r´eel. X

n>1

1 n^α

est convergente si et seulement si α >1.

Proposition 7

, Exemple : X

n>1

1 n³

est convergente et X

n>1

1

√n

est divergente.

* Remarque :

Cette proposition ´etant explicitement hors-programme (sauf bien sˆur dans le cas o`u α vaut 1 ou 2), il faudra refaire la d´emonstration pour avoir le droit de l’invoquer !

1.2 Divergence grossi` ere

Soit X

u_n une s´erie.

• Si X

un converge alors lim

n→+∞(un) = 0.

• Si lim

n→+∞(u_n) n’existe pas ou n’est pas nulle alors X

u_n diverge.

Proposition 8

, Exemple :

On prouve ainsi queX

(2)ⁿ, X n²−3

2n²+ 3n+ 5 etX

cos(n) divergent.

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Il est possible que X

u_n diverge bien que

n→+∞lim (u_n) = 0. Ainsi, X

n>1

√1

n diverge.

1.3 Somme de s´ erie et op´ eration

Soient X

n

u_n etX

n

v_n deux s´eries etλ un r´eel.

• Si X

n

un converge alors X

n

λun converge et :

+∞

X

k=0

λu_k =λ×

+∞

X

k=0

u_k.

• X

n

u_n etX

n

λu_n sont de mˆeme nature si λ est non nul.

• Si X

n

u_n etX

n

v_n convergent alors X

n

(u_n+v_n) converge et :

+∞

X

k=0

(u_k+v_k) =

+∞

X

k=0

u_k

! +

+∞

X

k=0

v_k.

• Si X

n

u_n converge et X

n

v_n diverge ou bien si X

n

u_n diverge et X

n

v_n converge alors X

n

(u_n+v_n) diverge.

Proposition 9

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.

1. Si X

n

u_n et X

n

v_n divergent alors il est possible que X

n

(u_n+v_n) converge.

2. L’application qui a une s´erie convergente associe sa somme est donc une forme lin´eaire.

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Ne pas ´ecrire

+∞

X

k=0

(u_k+v_k) =

+∞

X

k=0

u_k

! +

+∞

X

k=0

v_k

avant de prouver la convergence des deux s´eries ! , Exemple :

On peut, en utilisant cette proposition, ´evaluer sans difficult´e la somme de X

n

n²qⁿ avec q un r´eel de ]−1,1[.

1.4 Notion de reste

Soient X

n

un une s´erie et n0 un entier naturel non nul.

• X

n

u_n et X

n>n0

u_n sont de mˆeme nature.

• Si X

n

u_n converge alors :

+∞

X

k=0

(uk) =

n0−1

X

k=0

uk

! +

+∞

X

k=n0

uk. Proposition 10

SoitX

u_kune s´erie. SiX

u_k converge alors, pour tout entier natureln, on appelle reste de rangn de la s´erie X

u_k et on note R_n le r´eel suivant :

R_n=

+∞

X

k=n+1

u_k. D´efinition 11

+ Mise en garde :

Ne pas parler de reste d’une s´erie sans avoir prouv´e avant la convergence de cette derni`ere. Les sommes partielles existent pour les s´eries divergentes, pas les restes !

Soit X

n

u_n une s´erie convergente. On note (R_n)n∈N la suite de ses restes et (S_n)n∈N la suite de ses sommes partielles.

• (R_n)n∈N converge et converge vers 0.

• Pour tout entier naturel n, on a :

S_n+R_n =

+∞

X

k=0

(u_k).

Proposition 12

, Exemple :

On note (R_n)_n∈N la suite des restes de X 1 2

k

. Pour tout entier naturel n, on a donc : R_n =· · ·

2 Convergence de s´ eries ` a termes positifs

Soit X

n

u_n une s´erie. On dit que X

n

u_n est une s´erie `a termes positifs si, pour tout entier naturel n, on a u_n>0.

D´efinition 13

2.1 Le th´ eor` eme de majoration

Soient X

n

u_n une s´erie `a termes positifs et (S_N)_N∈N la suite de ses sommes partielles.

(S_N)N∈N´etant une suite croissante, on en d´eduit que : 1. X

n

un converge si et seulement si (SN)N∈N est major´ee.

2. Si (SN)N∈N est major´ee alors la s´erie X

n

un est convergente et, pour tout entier naturelN, on a :

S_N 6

+∞

X

k=0

u_k.

3. Si (S_N)_N∈N n’est pas major´ee alors la s´erie X

u_nest divergente et

+∞

X

k=0

u_k = +∞.

Th´eor`eme 14

* Remarque :

Cette proposition est une simple application du th´eor`eme de la limite monotone !

2.2 Le th´ eor` eme de comparaison

Soient X

n

u_n etX

n

v_n deux s´eries `a termes positifs telles que : ∀n ∈N, u_n6v_n. 1. SiX

n

v_n est convergente alors X

n

u_n l’est aussi et

+∞

X

n=0

u_n6

+∞

X

n=0

v_n.

2. SiX

n

un est divergente alorsX

n

vn l’est aussi et

+∞

X

n=0

vn = +∞.

Th´eor`eme 15

* Remarque :

On ne peut pas appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent si on a affaire `a des s´eries dont le signe varie. Par contre, si on a des s´eries dont le signe est stable au del`a d’un certain rang, on peut invoquer le th´eor`eme de comparaison en signalant que :

1. X

n

u_n et X

n>n0

u_n sont de mˆeme nature pour tout entier natureln₀ non nul (`a dire si la s´erie n’est de signe constant qu’`a partir d’un certain rang).

2. X

n

u_n etX

n

(−u_n) (`a dire si la s´erie est `a terme n´egatif) sont de mˆeme nature.

Ainsi, si X

n

un etX

n

vn sont deux s´eries `a termes n´egatifs, telles que ∀n∈N, un 6vn alors :

1. Si X

n

v_n est divergente alorsX

n

u_n l’est aussi et

+∞

X

n=0

u_n =−∞.

2. Si X

n

un est convergente alors X

n

vn l’est aussi et

+∞

X

n=0

un6

+∞

X

n=0

vn.

M´ethode:

Pour prouver la convergence d’une s´erie X

n

u_n positive, il suffit donc de comparer son terme g´en´eral au terme g´en´eral d’une s´erie positive dont on connaˆıt d´ej`a la nature (les s´eries de r´ef´erence par exemple).

• Pour d´emontrer la convergence, on tente de majorer notre terme g´en´eral par le terme g´en´eral d’une s´erie positive et convergente.

• Pour d´emontrer la divergence, on essaye de minorer notre terme g´en´eral par le terme g´en´eral d’une s´erie positive et divergente.

+ Mise en garde : Ne pas ´ecrire

+∞

X

n=0

u_n6

+∞

X

n=0

v_n avant de prouver la convergence de X

n

v_n et X

n

u_n.

, Exemple :

Soit (d_n)_n>1 une suite de chiffres. On peut ainsi prouver que la s´erieX

n>1

d_n

10ⁿ est une s´erie convergente et que sa somme appartient `a [0,1].

- Exercice 1 :

1. Donner la nature de X

n>2

1

n(n−1) et de X

n>1

ln

1 + 1 n

. 2. En d´eduire la nature de X

n>1

1

n et de X

n>1

1 n².

2.3 Par ´ equivalence

SoientX

n

u_n etX

n

v_n deux s´eries `a termes positifs telles queu_n ∼

+∞v_n.X

n

v_n etX

n

u_n sont alors de mˆeme nature.

Proposition 16

* Remarque :

Cette proposition ´etant explicitement hors-programme, il faudra refaire la d´emonstration pour avoir le droit de l’invoquer ! Comme elle est tr`es pratique, on l’utilise souvent. Sa d´emonstration est donc

`

a maˆıtriser.

, Exemple :

On peut ainsi facilement trouver la nature deX

n>1

sin 1

n

et de X

n

ln

1 + 1 2ⁿ

.

2.4 Par domination

Soit X

n

u_n et X

n

v_n deux s´eries `a termes positifs telles que telles que u_n =

+∞o (v_n).

1. Si X

v_n converge,X

u_n sera ´egalement convergente.

2. Si X

u_n diverge,X

v_n sera ´egalement divergente.

Proposition 17

* Remarque :

Cette proposition ´etant explicitement hors-programme, il faudra refaire la d´emonstration pour avoir le droit de l’invoquer ! Comme elle est tr`es pratique, on l’utilise souvent. Sa d´emonstration est donc

`

a maˆıtriser.

2.5 Par comparaison avec une int´ egrale

Soit f une fonction positive, continue et d´ecroissante surR⁺.

• Pour tout entier naturel k non nul, on a : Z k+1

k

f(t)dt6f(k)6 Z k

k−1

f(t)dt.

• Pour tout entier naturel non nul n, on a donc : Z n+1

1

f(t)dt 6

n

X

k=1

f(k)6 Z n

0

f(t)dt.

• X

f(k) et Z +∞

0

f(t)dt sont donc de mˆeme nature.

Proposition 18

* Remarque :

1. On va voir le concept d’int´egrale g´en´eralis´ee, comme l’est Z +∞

0

f(t)dt, juste apr`es.

2. Il peut ˆetre plus simple de trouver la nature de Z +∞

0

f(t)dt, ceci explique l’int´erˆet de cette proposition.

3. Cette proposition ´etant explicitement hors-programme, il faudra refaire les deux parties de la d´emonstration (cas convergent et cas divergent) pour avoir le droit de l’invoquer.

, Exemple :

On peut ainsi facilement prouver la nature deX

n>1

1

n^α pour tout r´eel α.

2.6 Notion d’absolue convergence

SoitX

n

u_nune s´erie. SiX

|u_n|converge, on dit queX

u_nest absolument convergente.

D´efinition 19

Soit X

n

u_n une s´erie. Si X

u_n est absolument convergente alors X

u_n est convergente.

On a alors :

+∞

X

n=0

u_n

6

+∞

X

n=0

|u_n|.

Th´eor`eme 20

+ Mise en garde :

On utilise les notations du pr´ec´edent th´eor`eme. Ce th´eor`eme ne donne pas une une condition n´ecessaire et suffisante ! X(−1)ⁿ

n est une s´erie convergente alors que X1

n est une s´erie diver- gente. Si on prouve que X

|u_n| converge alors X

u_n converge mais si X

|u_n| diverge, on ne peut ni dire que X

un converge, ni que X

un diverge ! M´ethode:

On utilise les notations du pr´ec´edent th´eor`eme. Pour prouver la convergence deX

un, il suffit donc de prouver celle de X

|u_n|. L’int´erˆet est qu’on peut appliquer `a X

|u_n| tous les outils sp´ecifiques aux s´eries `a termes positifs (th´eor`eme de majoration, utilisation des ´equivalents, comparaison avec une int´egrale...).

- Exercice 2 :

Pour tout entier naturel non nul n, on pose w_n =v_n+1−v_n avec (v_n)n∈N^? = −ln(n) +

n−1

X

k=1

1 k

!

n∈N^?

. 1. ´Etudier f :x7→x−ln(1 +x)− x²

2 et en d´eduire une majoration de (w_n)_n∈N^?. 2. En d´eduire que (v_n)n∈N^? converge et donne un ´equivalent de

n

X

k=1

1 k.

2.7 Les s´ eries commutativement convergentes (Hors-programme)

Soit X

u_k une s´erie. On dit que X

u_k est commutativement convergente si elle v´erifie les deux propri´et´es suivantes :

• X

u_k est convergente.

• Pour toute bijection ϕ de N dans N, X

u_ϕ(k) est aussi une s´erie convergente et la valeur de sa somme est

+∞

X

k=0

u_k, soit la somme deX u_k. D´efinition 21

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente d´efinition. Autrement dit, X

uk est commutativement convergente si, en sommant ses termes dans n’importe quel sens, cela donne toujours la mˆeme chose.

Cette notion d´epasse le programme mais est fondamental pour comprendre la d´efinition de l’esp´erance d’une variable al´eatoire discr`ete.

, Exemple :

On peut d´emontrer que X

k>1

(−1)^k+1

k converge et converge vers ln(2). Les premiers termes de cette suite sont :

1, −1 2, 1

3, −1 4, 1

5, −1 6, 1

7, · · · On consid`ere maintenant la s´erie dont les premiers termes sont :

1, 1 3, −1

2, 1 5, 1

7, −1 4, 1

9, 1 11, −1

6, · · ·

Il s’agit donc de la mˆeme s´erie mais on prend deux termes positifs puis un n´egatif puis on poursuit ainsi. On trace ces suites (`a l’aide du programme donn´e apr`es), on obtient les r´esultats suivants :

0 20 40 60 80 100

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

X(−1)^k+1

sommes des s´eries propos´ees n’ont pas la mˆeme valeur.

def phi(n):

if n% 3 = = 0 :

r e t u r n( 2 * (n/ / 3 ) ) if n% 3 = = 1 :

r e t u r n( 4 * (n/ / 3 ) + 1 ) e l s e:

r e t u r n( 4 * (n/ / 3 ) + 3 )

def s e r i e (n):

s=n* [ 0 ] s[0] = 0 z=s[:]

x=l i s t(r a n g e(1 ,n+ 1 ) ) for i in r a n g e (n -1):

s[i+1] = s[i] + ( -1)**(i)/(i+1)

z[i+1] = z[i] + ( -1)**(phi(i+ 1 ) + 1 ) / (phi(i+ 1 ) ) plt.p l o t(x,s," r - ")

plt.p l o t(x,z," b - ")

SoitX

u_k une s´erie. Si X

u_k est une s´erie absolument convergente alorsX

u_k est une s´erie commutativement convergente.

Proposition 22

3 Les s´ eries doubles

Soit (u_n,p)(n,p)∈N² une suite double de r´eels. On dit que la suite double (u_n,p)(n,p)∈N² est sommable si X

n

X

p

u_n,p converge, cela signifie que les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :

• Pour tout entier naturel n, X

p

u_n,p converge.

• La s´erie X

n

+∞

X

p=0

u_n,p

!

converge.

Lorsque c’est le cas, cette somme est appel´ee somme de la suite double (u_n,p)(n,p)∈N² et est not´ee X

(n,p)∈N²

u_n,p. D´efinition 23

Th´eor`eme de Fubini

Soit (u_n,p)_(n,p)∈N² une suite double de r´eels positifs. (u_n,p)_(n,p)∈N² est sommable si et seulement si l’une des conditions suivantes est v´erifi´ee :

1. Pour tout entier natureln,X

p>0

u_n,pconverge puis la s´erieX

n>0 +∞

X

p=0

u_n,p

!

converge.

2. Pour tout entier naturelp,X

n>0

un,pconverge puis la s´erieX

p>0 +∞

X

n=0

un,p

!

converge.

De plus, si l’une des assertions est vraie, on a : X

(n,p)∈N²

un,p=

+∞

X

n=0 +∞

X

p=0

un,p

!

=

+∞

X

p=0 +∞

X

n=0

un,p

! . Th´eor`eme 24

+ Mise en garde :

Ne pas oublier l’hypoth`ese de positivit´e des termes g´en´eraux pour appliquer ce th´eor`eme ! Les s´eries doubles de r´eels non positifs ne font pas partie du programme des BCPST2.

- Exercice 3 :

Montrer que la s´erie double (exp (−(n²+p²)))_(n,p)∈

N² est sommable.

4 Exercices du td

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

1. ´Etudier la convergence des s´eries X

w_n, X

g_n, X

t_n et X

z_n et donner la valeur de la somme en cas de convergence avec, pour tout entier naturel n, on pose :

g_n= 7

5ⁿ⁺³ − 5

7ⁿ⁻³, z_n= n!

2ⁿ, w_n = 2 +n³−n²

1 +n³ et t_n= (−1)ⁿn²+ 1 3ⁿ . 2. Donner la nature de X

n²2ⁿsin 1

3ⁿ

.

. Exercice 2 : Donner la nature deX

√n+ 1−2√ n+ 1

2ⁿ . ´Evaluer sa somme en cas de convergence.

. Exercice 3 :

Soit λ un r´eel. Justifier la convergence des s´eries suivantes et donner la valeur de leur somme : 1. X (−1)ⁿ

(n+ 1)!

2. X

n(n−1)λⁿ n!

3. X λ²ⁿ (2n)!

4. Xn²+n+ 1 n!

. Exercice 4 :

Soit (u_n)n∈N d´efinie par u₀ = 2 et, pour tout entier naturel n, u_n+1 = u_n

1 +u_n. Montrer que

−ln(u_n+1) + ln(u_n) ∼

+∞u_n et en d´eduire la nature de X u_n. . Exercice 5 :

On note (Sp)p∈N la suite des sommes partielles de X

n>1

1 n.

1. Montrer que , pour tout entier naturel non nul n, on a :S_2n−S_n> 1 2. 2. En d´eduire la nature de X

n>1

1 n. . Exercice 6 :

Soit a un r´eel strictement positif. Montrer que

a^(n+p) n!p!

(n,p)∈N²

est sommable.

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 7 :

On consid`ere (u<sub>n</sub>)<sub>n>0</sub> une suite r´eelle, `a termes positifs, d´ecroissante et tendant vers 0. On note (S_n)_n>0 la s´erie de terme g´en´eral (−1)^ku_k.

1. Montrer que les suites (S_2n)_n>0 et (S_2n+1)_n>0 sont adjacentes.

2. En d´eduire la nature de X

n>0

(−1)ⁿu_n. 3. On note (R_n)_n>0 la suite des restes de X

n>0

(−1)ⁿu_n et S sa somme.

(a) Donner un encadrement de S.

(b) En d´eduire que (|R_n|)_n>0 6(|u_n+1|)_n>0 (Penser `a distinguer le cas pair/impair).

4. Donner la nature de X

n>1

(−1)ⁿsin 1

n

.

- Exercice 8 :

1. Simplifier, pour tout r´eelxde ]−1,1[ et tout entier naturel non nuln, la quantit´e−

n

X

k=1

x^k−1−

xⁿ 1−x.

2. Montrer que pour tout r´eel x de ]−1,1[ et tout entier naturel non nuln, on a : ln(1−x) = −

n

X

k=1

x^k k −

Z x 0

tⁿ 1−t dt.

3. En d´eduire la nature de X

n>1

1

2ⁿn et la valeur de sa somme.

Exercices bonus

M Exercice 9 :

Etablir la nature de chacune des s´´ eries suivantes : X

n>1

2ⁿsin

(−1)ⁿ 3ⁿ

etX

n>0

n³+ 1 n⁴+ 5. M Exercice 10 :

Etudier la convergence des s´´ eries X

n>1

u_n, X

g_n et X

z_n et donner la valeur de la somme en cas de convergence avec :

(u_n)_n>1 = 1

n²+n

n>1

,(g_n)_n∈

N= 4

3ⁿ⁺² − 3 4ⁿ⁻²

n∈N

et (z_n)_n∈

N =

n²−3n 2n²+ 4

n∈N

M Exercice 11 :

1. X2ⁿ n!

2. Xnλⁿ n!

3. Xn(n−1) n!

4. Xn²−n2ⁿ (n+ 1)!

M Exercice 12 :

Etablir la nature de chacune des s´´ eries suivantes : X

n>1

(n³+ 3n²) exp(−n²) et X

n>0

n(n+ 1)√ n−1 (n+ 5)(n+π) . X

n>1

7

n⁴+ 2ⁿ et X

n>0

n n⁴+ 3ⁿ.

M Exercice 13 :

Soient a et b deux r´eels. On consid`ere la suite (un)_n>0 d´efinie par :

u₀ =a, u₁ =b et ∀n∈N, u_n+2=−u_n+ 3(u_n+1).

1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur a et b assurant la convergence de la s´erie X

n

un et donner la valeur de sa somme.

2. Soit p un entier naturel. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur a et b assurant la convergence de la s´erie X

n>p

u_n et donner la valeur de sa somme.

M Exercice 14 :

On consid`ere la fonction f suivante : f :







]0; +∞[ →R

x 7→ 1

x .

1. Montrer que, pour tout entier naturel n sup´erieur `a 2, on a : Z n+1

1

1 t dt6

n

X

k=1

1 k 6

Z n 1

1

t dt+ 1.

2. En d´eduire la nature de X

n>1

1

n et un ´equivalent de la suite de ses sommes partielles.