S´eries de vecteurs

(1)

S´eries de vecteurs

Table des mati` eres

1 D´efinitions 2

1.1 Définition d’une série de vecteurs . . . 2 1.2 Convergence d’une série de vecteurs . . . 3 1.3 Convergence absolue . . . 7

2 S´eries `a termes positifs 8

2.1 Théorèmes généraux . . . 8 2.2 Séries de Riemann . . . 12 2.3 Critère de D’Alembert . . . 14

3 Les s´eries altern´ees 15

3.1 Le théorème des séries alternées . . . 15 3.2 Non commutativité des séries semi-convergentes. . . 17 3.3 La transformation d’Abel (hors programme) . . . 18

(2)

Séries de vecteurs 1 Définitions Notation. K désigne R ouC.

D´efinition. Un espace de Banach est un K-espace vectoriel norm´e complet.

Notation. On fixe dans ce chapitre un espace de Banach not´e E.

1 D´ efinitions

1.1 D´ efinition d’une s´ erie de vecteurs

Soit (a_n)_n∈_N une suite de vecteurs de E. Alors (

n

X

k=0

a_k)_n∈_N est une nouvelle suite de vecteurs. Etudier la “série de terme général a_n”, c’est étudier cette nouvelle suite et notamment s’intéresser à l’existence et à la valeur de lim

n→+∞

n

X

k=0

a_k.

Exemple. Sia_n=aⁿ o`ua∈C\ {1},

n

X

k=0

a_k = 1−aⁿ⁺¹

1−a , donc lorsque|a|<1, la s´erie converge et a pour somme 1

1−a.

Définition. Soit (a_n)n∈N une suite de vecteurs. On appelle série de terme général a_n, et on note P

an, la suite de terme g´en´eral (an,

n

X

k=0

ak).

Ainsi, P

a_n est une suite d’´el´ements deE².

Remarque. L’intérêt de cette définition un peu formelle est de distinguer les séries de vecteurs des suites de vecteurs.

Propriété. L’ensemble des séries de vecteurs, notéS(E) est un K-espace vectoriel.

De plus,P

a_n+αP

b_n=P

(a_n+αb_n), lorsqueP

a_netP

b_nsont dansS(E) et lorsque α∈K.

D´emonstration.

On v´erifie queS(E) est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites de E², c’est-

`

a-dire qu’il est non vide et stable par combinaison lin´eaire.

Notation. Soit (a_n)n∈N une suite de vecteurs.

n

X

k=0

ak est appelée la somme partielle (des n+ 1 premiers termes) deP an. Propriété. Soit (A_n) une suite de vecteurs. Il existe une unique série P

a_n dont la suite des sommes partielles est (A_n). Il s’agit de la s´erie P

(A_n−An−1), en convenant que A₋₁ = 0. Cette série est appelée la série télescopique associée à la suite (A_n).

(3)

Séries de vecteurs 1 Définitions Démonstration.

• Pour toutn ∈N, posons a_n=A_n−An−1.

n

X

k=0

a_k =

n

X

k=0

A_k−

n−1

X

k=−1

A_k=A_n, donc la suite des sommes partielles de P

a_n est (A_n).

On a ainsi montr´e l’existence.

Formule. En généralisant le calcul précédent, on obtient les formules suivantes, appelées principe des dominos :

max

X

k=min

u_k−u_k−1=u_max−u_min₋₁ et

max

X

k=min

u_k−u_k+1=u_min−u_{max +1}.

• Soit P

bn une seconde s´erie dont la suite des sommes partielles est (An).

Pour tout n∈N, b_n =A_n−An−1 =a_n, ce qui prouve l’unicit´e.

méthode Cette propriété permet de ramener l’étude de la convergence d’une suite à celle de la convergence d’une série. On profite ainsi au choix de la théorie des suites ou de la théorie des séries.

Attention !

n

X

k=1

1

n+k n’est pas une somme partielle de s´erie car 1

n+k d´epend de n.

Plus généralement, une quantité de la forme

n

X

k=0

a_k,n n’est pas une somme partielle de s´erie si a_k,n d´epend effectivement de n.

D´efinition. Soient n0 ∈N^∗ et (an)n≥n0 une suite de vecteurs.

X

n≥n0

an est la s´erie P

bn o`ubn= 0 si n < n0 et bn =an si n≥n0. On dit que X

n≥n0

an est une série tronquée à l’ordre n0.

1.2 Convergence d’une s´ erie de vecteurs

D´efinition. Soit P

a_n une s´erie de vecteurs.

On dit que P

a_n converge si et seulement si la suite des sommes partielles de P a_n converge. Dans ce cas, la limite de la suite des sommes partielles est appel´ee la somme de la s´erie P

a_n, et on note

+∞

X

n=0

a_n = lim

n→+∞

n

X

k=0

a_k.

Lorsque la suite des sommes partielles n’admet pas de limite, on dit que la s´erie P a_n diverge.

Remarque. Comme pour les suites, la “nature” d’une s´erie, c’est sa convergence ou sa divergence.

Propri´et´e. Soient P

a_n une s´erie de vecteurs et n₀ ∈N^∗.

(4)

Séries de vecteurs 1 Définitions Les séries P

a_n et X

n≥n₀

a_n sont de même nature et en cas de convergence, si la somme de la série tronquée est notée

+∞

X

n=n0

a_n,

(1)

+∞

X

n=0

a_n=

n0−1

X

n=0

a_n+

+∞

X

n=n0

a_n.

D´emonstration.

Posons C =

n0−1

X

k=0

a_k. Pour n ≥ n₀,

n

X

k=0

a_k = C +

n

X

k=n0

a_k, donc les suites (

n

X

k=0

a_k) et (

n

X

k=n0

a_k) ont la mˆeme nature et lorsqu’elles convergent, en passant `a la limite, on obtient (1).

Corollaire. On ne change pas la nature de la s´erie P

a_n si l’on modifie un nombre fini d’éléments de la suite (a_n). Cependant, en cas de convergence, la somme de la série serait modifiée.

D´emonstration.

NotonsP

b_n la nouvelle s´erie, obtenue `a partir deP

a_nen ne modifiant qu’un nombre fini d’´el´ements de la suite (a_n). Ainsi, il existe n₀ ∈ N tel que, pour tout n ≥ n₀, b_n =a_n.

Alors, P

a_n a mˆeme nature que X

n≥n0

a_n = X

n≥n0

b_n, qui a même nature que P b_n. Propriété. Soit (u_n) une suite de vecteurs.

La s´erie t´elescopique P

(u_n+1−u_n) converge si et seulement si la suite (u_n) converge et dans ce cas,

+∞

X

n=0

(un+1−un) = lim

n→+∞un−u0. D´emonstration.

D’apr`es le principe des dominos, pour toutN ∈N,

N

X

n=0

(u_n+1−u_n) = u_N+1−u₀, donc les suites (u_N)_N∈Net (

N

X

n=0

(u_n+1−u_n))N∈Nont la mˆeme nature. C’est dire queP

(u_n+1−u_n) converge si et seulement si la suite (un) converge. De plus, en faisant tendre N vers +∞dans l’égalité précédente, on démontre la fin de la propriété.

Exemples.

On dit que (a_n) est une suite de vecteurs presque nulle lorsque {n ∈N/a_n6= 0} est de cardinal fini. Dans ce cas, la s´erie P

a_n est convergente.

En effet, la suite (a_n) ne diffère de la suite identiquement nulle qu’en un nombre fini d’éléments, donc P

a_n a même nature que la série dont le terme général est identiquement nul ; elle converge.

(5)

Séries de vecteurs 1 Définitions Etude de la série X

n≥1

ln(1 + 1 n).

ln(1 + 1

n) = ln(n+ 1)−ln(n), donc d’apr`es le principe des dominos,

n

X

k=1

ln(1 + 1

k) = ln(n+ 1), ce qui montre que la série est divergente. C’est un cas particulier de la propriété précédente.

Etude de la s´erie X

n≥1

1 n(n+ 1). 1

n(n+ 1) = 1 n− 1

n+ 1, donc d’après la propriété précédente, cette série est convergente et

∞

X

n=1

1

n(n+ 1) = 1.

Propri´et´e. Si P

a_n et P

b_n sont deux s´eries convergentes et si λ ∈ K, la s´erie P(a_n+λb_n) est convergente et

+∞

X

n=0

(a_n+λb_n) =

+∞

X

n=0

a_n+λ

+∞

X

n=0

b_n. D´emonstration.

Pour tout N ∈N,

N

X

n=0

(an+λbn) =

N

X

n=0

an+λ

N

X

n=0

bn −→

N→+∞

+∞

X

n=0

an+λ

+∞

X

n=0

bn.

Propriété. L’ensemble des séries convergentes de vecteurs est un sous-espace vectoriel deS(E), noté S_conv(E) et l’application

S_conv(E) −→ K Pa_n 7−→

+∞

X

n=0

a_n est lin´eaire.

D´emonstration.

• La s´erie dont tous les termes sont nuls est convergente, donc S_conv(E)6=∅.

De plus, si P

an et P

bn sont dans Sconv(E), on vient de voir que Pa_n +λP

b_n = P

(a_n +λb_n) ∈ S_conv(E), donc S_conv(E) est bien un sous-espace vectoriel de S(E).

• Notons ϕl’application de l’´enonc´e.

ϕ(P

a_n+λP

b_n) =ϕ(P

(a_n+λb_n)) =

+∞

X

n=0

(a_n+λb_n) =

+∞

X

n=0

a_n+λ

+∞

X

n=0

b_n, donc ϕ(P

a_n+λP

b_n) =ϕ(P

a_n) +λϕ(P b_n).

Propriété. La somme d’une série convergente et d’une série divergente est une série divergente.

D´emonstration.

Soient P

an une s´erie convergente et P

bn une s´erie divergente.

Si P

(a_n+b_n) est convergente, P

b_n = P

((a_n+b_n)−a_n) est convergente, ce qui est faux. Ainsi la s´erie P

(a_n+b_n) est divergente.

(6)

Séries de vecteurs 1 Définitions Remarque. On en déduit que, si la somme de deux séries est convergente, ces deux séries ont même nature. Cependant, il est possible qu’elles divergent toutes les deux.

Par exemple, P

an+P

(−an) converge, mˆeme lorsque P

an diverge.

Propri´et´e.

Si une série converge, son terme général tend vers 0. La réciproque est fausse.

D´emonstration.

• Soit P

a_n une s´erie convergente. Pour tout n∈N^∗, an =

n

X

k=0

ak−

n−1

X

k=0

ak −→

n→+∞

+∞

X

k=0

ak−

+∞

X

k=0

ak= 0.

• ln(1 +1 n) −→

n→+∞0 mais on a vu que la s´erieX

n≥1

ln(1 + 1

n) diverge. Ainsi la r´eciproque est fausse.

D´efinition. Lorsque la suite a_n ne tend pas vers 0, on dit que la s´erie P

a_n diverge grossi`erement.

Définition. On appelle série géométrique les séries P

aⁿ oùa∈C. Propriété. La série géométrique P

aⁿ converge si et seulement si |a|<1 et dans ce cas

+∞

X

n=0

aⁿ= 1 1−a. D´emonstration.

Le cas où|a|<1 est traité au début de ce chapitre.

Lorsque |a| ≥1, la série géométrique diverge grossièrement.

Propriété. Séries à valeurs dans un produit.

Soient p∈N^∗ etE₁, . . .,E_p pespaces vectoriels normés, leurs normes étant notéesN₁, . . ., N_p. On noteE =E₁× · · · ×E_p que l’on munit de l’une des trois normes classiques.

Soient (x_n)n∈N = ((x_1,n, . . . , x_p,n))n∈N une suite d’´el´ements deE.

Alors la s´erieP

x_nconverge si et seulement si, pour touti∈Np,P

x_i,nest convergente.

De plus, dans ce cas,

+∞

X

n=0

x_n=X^+∞

n=0

x_1,n, . . . ,

+∞

X

n=0

x_p,n . D´emonstration.

On applique la propriété, portant sur la limite d’une suite à valeurs dans un produit,

`

a la suite des sommes partielles Xⁿ

k=0

xk

n∈N

: c’est une suite de E dont la suite des i-`emes composantes est Xⁿ

k=0

x_i,k

n∈N

. Exemple. X

n≥1

1

n(n+ 1), 1 3ⁿ

est une s´erie convergente dans R².

(7)

Séries de vecteurs 1 Définitions Propriété. Soit P

a_n une serie de complexes. Elle converge si et seulement si les s´eries P

Re(a_n) et P

Im(a_n) convergent, et dans ce cas

+∞

X

n=0

a_n=

+∞

X

n=0

Re(a_n) +i

+∞

X

n=0

Im(a_n).

1.3 Convergence absolue

Définition. Critère de Cauchy pour les séries. Soit P

a_n une série à termes dans E. On dit qu’elle vérifie le critère de Cauchy si et seulement si

∀ε∈R^∗+ ∃N ∈N ∀n ≥N ∀p∈N k

p

X

k=1

a_n+kk ≤ε.

Propri´et´e. Soit P

a_n une série à termes dansE. Elle converge si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy.

D´emonstration.

Pour tout n∈N, posons A_n =

n

X

k=0

a_k. Si (p, n)∈N²,

p

X

k=1

a_n+k=A_n+p−A_n.

Pa_n converge si et seulement si la suite (A_n) est convergente, or E est un espace vectoriel de Banach, donc il est complet, ainsi la suite (A_n) converge si et seulement si c’est une suite de Cauchy. Ainsi P

an converge si et seulement si

∀ε∈R^∗+ ∃N ∈N ∀n≥N ∀p∈N kA_n+p−A_nk ≤ε.

a_n une s´erie `a termes dans E.

Pan est absolument convergente si et seulement si la s´erie P

kank est convergente.

a_n une s´erie `a termes dans E. Si elle est absolument convergente, alors elle est convergente et dans ce cas,

k

+∞

X

n=0

a_nk ≤

+∞

X

n=0

ka_nk (In´egalit´e triangulaire).

Cependant la r´eciproque est fausse.

D´emonstration.

Soit P

a_n une s´erie dans E absolument convergente.

Pka_nkv´erifie le crit`ere de Cauchy.

Soit ε >0. Il existe N ∈N tel que pour toutn ≥N et p∈N, |

p

X

k=1

ka_n+kk| ≤ε.

Soient n ≥N et p ∈N. k

p

X

k=1

an+kk ≤

p

X

k=1

kan+kk ≤ ε, ce qui prouve que P

an v´erifie le crit`ere de Cauchy, et donc qu’elle converge.

(8)

Séries de vecteurs 2 Séries à termes positifs De plus, pour tout N ∈ N, k

N

X

n=0

a_nk ≤

N

X

n=0

ka_nk. En faisant tendre N vers +∞, on obtient que k

+∞

X

n=0

a_nk ≤

+∞

X

n=0

ka_nk.

Exemple. La s´erie X

n≥1

cosn

n(n+ 1) converge car elle est absolument convergente.

a_n une s´erie `a termes dans E.

On dit que P

a_n est semi-convergente si et seulement si elle converge sans ˆetre absolument convergente.

Remarque. Ainsi, pour ´etudier une s´erie de vecteurs P

a_n, on commencera par

´

etudier la s´erieP

ka_nk. Cette dernière est une série de réels positifs. On a donc intérêt

`

a étudier de plus près les séries de réels positifs.

2 S´ eries ` a termes positifs

Introduction : SoitP

a_nune série de réels positifs. Si a_nne tend pas vers 0, la série diverge (grossièrement), donc pour que P

an converge, il faut, informellement, que an

tende vers 0 “suffisamment vite”, ou encore, que a_n soit suffisamment petit lorsque n tend vers +∞. On verra par exemple que P₁

n diverge, donc ¹_n n’est pas assez petit, mais que P ₁

n² converge.

2.1 Th´ eor` emes g´ en´ eraux

Th´eor`eme. Soit P

a_n une s´erie de r´eels.

On suppose que, pour toutn∈N, a_n ≥0.

AlorsP

a_n converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est major´ee.

Dans ce cas, en posant pour tout n∈N, A_n =

n

X

k=0

a_k,

+∞

X

n=0

a_n= sup

n∈N

A_n. D´emonstration.

La suite (A_n) est croissante, donc elle converge si et seulement si elle est majorée et dans ce cas, sa limite est égale à sa borne supérieure.

Remarque. SoitP

a_nune s´erie divergente de r´eels positifs. AlorsA_n −→

n→+∞+∞. Dans ce cas, on note parfois

+∞

X

n=0

a_n = +∞.

Propri´et´e. Soient P

a_n et P

b_n deux s´eries `a termes positifs telles que ∀n∈N a_n≤b_n.

(9)

Séries de vecteurs 2 Séries à termes positifs

• Si P

b_n converge, alors P

a_n converge et

+∞

X

n=0

a_n≤

+∞

X

n=0

b_n.

• SiP

a_n est divergente, alorsP

b_n diverge.

D´emonstration.

• Pour toutn∈N, posonsA_n =

n

X

k=0

a_ketB_n =

n

X

k=0

b_k. Supposons que P

b_nconverge.

Alors la suite (B_n) est majorée, or pour tout n ∈N, A_n ≤B_n. Ainsi la suite (A_n) est aussi majorée et la série P

• Pour toutN ∈N,

N

X

n=0

a_n≤

N

X

n=0

b_n, donc en faisant tendre N vers +∞, on obtient :

+∞

X

n=0

a_n ≤

+∞

X

n=0

b_n.

• La fin de la propriété se démontre en prenant la contraposée.

Remarque. Si dans la propriété précédente on suppose seulement que

∃n₀ ∈ N ∀n ≥ n₀ a_n ≤ b_n, elle reste vraie mais, en cas de convergence, l’in´egalit´e devient

+∞

X

n=n0

a_n ≤

+∞

X

n=n0

b_n. D´emonstration.

On applique la propriété précédente aux séries tronquées à l’ordre n0. Remarque. Lorsque P

a_n une série de complexes absolument convergente, on peut montrer qu’elle est convergente de manière élémentaire, sans utiliser la notion hors programme de suite de Cauchy :

Supposons d’abord que pour toutn ∈N,a_n ∈R. Soit n ∈N. Posons a⁺_n = max(a_n,0) et a⁻_n = max(−a_n,0).

On v´erifie quean =a⁺_n −a⁻_n et|an|=a⁺_n +a⁻_n. Ainsi, 0≤a⁺_n ≤ |a_n| et 0 ≤a⁻_n ≤ |a_n|, donc P

a⁺_n et P

a⁻_n sont convergentes.

Or a_n=a⁺_n −a⁻_n, donc P

Supposons maintenant que (an) est une suite de complexes. Posons, pour toutn∈N, a_n =x_n+iy_n avec x_n, y_n∈R.

|x_n| ≤ |a_n|, donc P

|x_n| converge, mais (x_n) est une suite de réels, donc d’après le point précédent, P

xn converge. De mˆeme, on montre que P

yn converge.

AlorsP

(x_n+iy_n) = P

Propri´et´e. On note l¹(K) = {(u_n)n∈N∈K^N/P

|u_n|converge }.

C’est un K-espace vectoriel.

Pour tout u= (u_n)_n∈_N∈l¹(K), posons kuk₁ =X

n∈N

|u_n|.

Alors (l¹(K),k.k₁) est un K-espace vectoriel norm´e.

D´emonstration.

Pour tout u∈l¹(K), kuk1 ≥0.

(10)

Séries de vecteurs 2 Séries à termes positifs Soitx= (x_n)n∈N ∈l¹(K) tel quekxk₁ = 0. AinsiX

n∈N

|x_n|= 0, donc pour toutj ∈N, 0≤ |x_j| ≤X

n∈N

|x_n|= 0, ce qui prouve que x= 0.

Soient λ∈K etx= (x_n)n∈N∈l¹(K).kλxk₁ =X

n∈N

|λx_n|=|λ|kxk₁. Soient x= (x_n)_n∈_N∈l¹(K) et y= (y_n)_n∈_N ∈l¹(K).

kx+yk₁ =X

n∈N

|x_n+y_n| ≤X

n∈N

|x_n|+|y_n| ≤ kxk₁+kyk₁. Ainsik.k1 est une norme sur l¹(K).

Notation. On note l²(K) l’ensemble des suites (u_n)n∈N d’´el´ements de K telles que P|u_n|² converge.

Propri´et´e. l²(K) est un K-espace vectoriel.

Pour tout u= (u_n)_n∈_N∈l²(K), posons kuk₂ = s

X

n∈N

|u_n|². Alors (l²(K),k.k₂) est un K-espace vectoriel norm´e.

D´emonstration.

• Soient x= (xn)n∈N∈l²(K) et y= (yn)n∈N ∈l²(K).

Soit n ∈N. (|x_n| − |y_n|)² ≥0, donc |x_ny_n| ≤ ¹₂(|x_n|²+|y_n|²).

On en d´eduit que|x_n+y_n|² ≤(|x_n|+|y_n|)² =|x_n|²+|y_n|²+ 2|x_n||y_n| ≤2(|x_n|²+|y_n|²).

Ainsi, x+y∈l²(K). De plus, pour toutα∈C,αx ∈l²(K) etl²(K) est non vide, donc c’est unK-espace vectoriel .

• Pour montrer la seconde partie de la propriété, seule l’inégalité triangulaire pose un problème. Soient x= (xn)n∈N∈l²(K) et y= (yn)n∈N∈l²(K). Soit N ∈N.

PosonsX_N = (x_n)0≤n≤N ∈K^N⁺¹ etY_N = (y_n)0≤n≤N ∈K^N⁺¹. On sait quek.k₂ est une norme sur K^N+1, donc kX_N +Y_Nk₂ ≤ kX_Nk₂+kY_Nk₂.

Ainsi, v u u t

N

X

n=0

(xn+yn)² ≤ v u u t

N

X

n=0

x²_n + v u u t

N

X

n=0

y²_n. On conclut en faisant tendre N vers +∞.

D´efinition. Soit (an) et (bn) deux suites d’un K-espace vectoriel norm´e E.

— a_n=O(b_n)⇐⇒ ∃C ∈R+, ∃N ∈N, ∀n≥N, ka_nk ≤Ckb_nk.

— a_n=o(b_n)⇐⇒ ∀ε >0, ∃N ∈N, ∀n ≥N, ka_nk ≤εkb_nk.

— an∼bn⇐⇒an−bn =o(bn).

Remarque. Lorsque E =C, si pour tout n ∈N, b_n6= 0, alors

— a_n=O(b_n)⇐⇒ a_n

b_n est born´ee ;

— a_n=o(b_n)⇐⇒ a_n b_n −→

n→+∞0 et

— a_n∼b_n⇐⇒ an

b_n −→

n→+∞1.

(11)

Séries de vecteurs 2 Séries à termes positifs Notation. Pour la suite, notons S(R+) l’ensemble des séries de réels positifs.

a_n une s´erie de vecteurs et P

b_n une s´erie de r´eels positifs.

On suppose que kank=O(bn) . Si la s´erie P

b_n converge, alors P

a_n est absolument convergente.

Si la s´erie P

ka_nkdiverge, alors P

b_n est divergente.

D´emonstration.

Il existeC > 0 etn0 ∈Ntels que∀n ≥n0 kank ≤Cbn. Supposons queP

bnconverge.

Alors P

Cb_n est convergente et, d’après une remarque précédente, la série Pka_nk converge.

Remarque. En pratique, on utilise souvent ce th´eor`eme lorsque an=o(bn).

Th´eor`eme. Soient P

a_n et P

b_n deux séries de S(R+). On suppose que a_n ∼b_n. Alors les deux séries ont la même nature.

D´emonstration.

SiP

b_n converge, comme a_n =O(b_n), P

a_n converge ´egalement.

De mˆeme, siP

a_n converge, comme b_n =O(a_n), P

b_n converge ´egalement.

Th´eor`eme. Soit P

b_n une série de réels. On suppose que b_n est positif à partir d’un certain rang ou bien que b_n est négatif à partir d’un certain rang.

Soit P

a_n une seconde s´erie de r´eels.

Sia_n∼b_n, alors P

a_n et P

b_n ont la mˆeme nature.

D´emonstration.

Quitte `a remplacer P

a_n et P

b_n par P

(−a_n) et P

(−b_n), on peut se limiter au cas o`ubn est positif `a partir d’un certain rang N1. Supposons que an∼bn.

Ainsi, il existe N₂ ∈N tel que, pour tout n≥N₂, |a_n−b_n| ≤ ¹₂|b_n|.

Posons N = max(N₁, N₂). Pour n≥N, b_n−a_n ≤ ¹₂b_n, donc ¹₂b_n ≤a_n. En particulier, a_n ≥ 0. On peut donc appliquer le théorème précédent aux séries tronquées X

n≥N

a_n et X

n≥N

bn et conclure.

méthodeEn pratique, pour déterminer la nature d’une série de vecteurs, on commence par étudier l’absolue convergence, ce qui nous ramène à des séries à termes positifs.

Pour étudier la convergence de séries de réels positifs, on les compare à l’aide des propriétés précédentes avec des séries dont on connaˆıt déjà la nature (cf ci-dessous).

La technique de comparaison la plus souvent utilis´ee est la relation d’´equivalence, puis vient le “O”, puis la relation d’ordre.

En résumé, pour étudier la nature d’une série, on commence par rechercher un équivalent de son terme général.

(12)

2.2 S´ eries de Riemann

Technique de comparaison entre séries et intégrales (TCSI) : Soit n0 ∈N. Soitf : [n₀,+∞[−→Rune application décroissante et continue. La TCSI consiste en la présentation des trois étapes suivantes :

Première étape : Soit k > n0.f étant décroissante, pour tout t∈[k−1, k],f(k)≤f(t)≤f(k−1).

Deuxième étape : On intègre ces inégalités entre k−1 et k, en tenant compte du fait que

Z k k−1

f(k)dt=f(k) et Z k

k−1

f(k−1)dt =f(k−1), on obtientf(k)≤

Z k k−1

f(t)dt≤f(k−1).

Troisième étape : Soit n > n₀ : on somme ces dernières inégalités pour k variant de n₀ + 1 àn. Ainsi, grâce à la relation de Chasles,

n

X

k=n0+1

f(k)≤ Z n

n0

f(t)dt ≤

n−1

X

n=n0

f(k).

Théorème de comparaison entre séries et intégrales :Sous les mêmes notations et hypothèses, la série X

n≥n₀

f(n) a mˆeme nature que la suite Z n n0

f(t)dt

n≥n0

. D´emonstration.

La s´erie P

f(n) a mˆeme nature que la suite de ses sommes partielles Xⁿ

k=n0

f(k)

n≥n0

. Les deux suitesXⁿ

k=n0

f(k)

n≥n0

etZ n n0

f(t)dt

n≥n0

sont croissantes, carf est positive, donc elles convergent si et seulement si elles sont majorées, or la TCSI montre que l’une est majorée si et seulement si l’autre est majorée.

Définition. Les séries de Riemann sont les séries de la forme X

n≥1

1

n^α, oùα ∈R. Propriété. La série de Riemann X

n≥1

1

n^α converge si et seulement si α >1.

D´emonstration.

Si α≤0, 1

n^α ne tend pas vers 0 lorsque n tend vers +∞, donc la s´erie X

n≥1

1

n^α diverge grossi`erement.

Supposons maintenant queα >0 et posons, pour toutt ≥1,f(t) = 1

t^α :f est positive, d´ecroissante et continue, donc d’apr`es le TCSI, X

n≥1

1

n^α a même nature que la suite de terme général

Z n 1

dt t^α =

(lnn si α= 1 1

1−α(n^1−α−1) si α6= 1 . Cette derni`ere suite converge si et seulement si α >1.

(13)

Séries de vecteurs 2 Séries à termes positifs Exercice. Nature deX n+ 1

n³+ 3. n+ 1

n³+ 3 ∼ 1

n² or X

n≥1

1

n² est convergente, donc, comme il s’agit de s´eries de r´eels positifs,X n+ 1

n³+ 3 est absolument convergente.

Crit`ere de Riemann : Soient P

a_n ∈ S(R+).

S’il existe α >1 tel quen^αa_n −→

n→+∞0, alors P

a_n converge.

S’il existe α≤1 tel quen^αan −→

n→+∞+∞, alors P

an diverge.

Exercice. Soit α∈R. Nature de la s´erie X

n≥1

(cos 1 n)ⁿ^α. a_n= (cos_n¹)ⁿ^α = exp(n^αln(1− 1

2n² +o( 1

n²))) = exp(−1

2n^α−2+o(n^α−2)).

Premier cas. Siα ≤2, alorsanne tend pas vers 0, donc la s´erie diverge grossi`erement.

Deuxi`eme cas. Si α > 2. [a_n, sous cette forme exponentielle, apparaˆıt comme “tr`es petit”

lorsquentend vers +∞. Ainsi, on conjecture quePa_n converge, et mˆeme quea_n =o(1 n²).]

n²a_n =exp(−¹₂n^α−2+o(n^α−2) + 2 ln(n)) = exp(−¹₂n^α−2+o(n^α−2)) −→

n→+∞0, donc n²an =o(1). Ainsi an =o( 1

n²) etP

an est une série de réels positifs, donc cette série est convergente.

Propri´et´e. (Hors programme).

n

X

k=1

1

k = ln(n)+γ+o(1), oùγest une constante appelée la constante d’Euler (par le calcul numérique, on montre que γ = 0,5772±10⁻⁴), et où o(1) désigne une suite qui tend vers 0.

D´emonstration.

Posonsx_n =−ln(n) +

n

X

k=1

1

k. Soit n≥2. x_n−xn−1 = 1

n + ln(1− 1 n).

Pour tout x∈ [−¹₂,+∞[, | d²

dx²(ln(1 +x))| = 1

(1 +x)² ≤ 4, donc d’après l’inégalité de Taylor-Lagrange, pour tout u∈[−¹₂,+∞[, |ln(1 +u)−u| ≤ u²

2 ×4.

Ainsi, pour tout n ≥ 2, |x_n−xn−1| ≤ 2

n², or la s´erie de Riemann X 1

n² est convergente, donc la s´erie t´elescopique P

(x_n−xn−1) converge. Ainsi, il existeγ ∈R tel que x_n −→

n→+∞γ.

Exercice. Etude des s´eries de Bertrand de la formeX

n≥2

1

n^αln^βn, o`u (α, β)∈R².

• Premier cas. Si α >1, Il existe α⁰ ∈]1, α[.

1

n^αln^βn =o 1

n^α⁰

, doncX

n≥2

1

n^αln^βn est convergente.

(14)

• Deuxi`eme cas. Si α <1, 1 n =o

1 n^αln^βn

, donc X

n≥2

1

n^αln^βn est divergente.

• Troisi`eme cas. Si α= 1.

Siβ <0, 1 n =O

1 nln^βn

, donc la s´erie de Bertrand est divergente.

On suppose maintenant queβ ≥0. Ainsi l’application f : [2,+∞[ −→ R

t 7−→ 1

tln^βt

est d´ecroissante et positive.

La s´erie de Bertrand est donc convergente si et seulement si la suite Z n

2

dt tln^βt

n≥2

est convergente.

Or, pour toutx >2, Z x

2

dt tln^βt =







ln^1−βt 1−β

^x

2

siβ 6= 1 [ln lnt]^x₂ si β = 1

, donc la s´erie converge si et seulement siβ >1.

2.3 Crit` ere de D’Alembert

Propriété. Critère de D’Alembert. Soit P

a_n une s´erie de r´eels positifs, non nul

`

a partir d’un certain rang, telle que a_n+1 a_n −→

n→+∞l ∈R . Si l <1,P

a_n est convergente, Si l >1 ou si l= 1⁺, P

Lorsque l = 1, on ne peut conclure. On est dans le cas douteux du crit`ere de d’Alembert.

D´emonstration.

Par hypoth`ese, il existe N₁ ∈N tel que, pour tout n≥N₁, a_n 6= 0.

• Supposons que l <1. posons L= 1 +l

2 . Alors l < L <1, donc d’apr`es le lemme du tunnel, il existeN ≥N₁ tel que pour tout n≥N, a_n+1

a_n ≤L.

Par récurrence, on en déduit : pour tout n ≥N, a_n ≤ a_NL^n−N. Ainsia_n =O(Lⁿ), or PLⁿ est une série géométrique convergente, doncP

a_n converge.

• Supposons que l > 1 ou que l = 1⁺. Il existe N ≥ N1 tel que pour tout n ≥ N, a_n+1

a_n ≥ 1. Ainsi la suite (a_n)_n≥N est croissante, donc ∀n ≥ N a_n ≥ a_N 6= 0, ce qui montre que a_n ne tend pas vers 0, donc que P

• Pour une s´erie de Riemann, on a toujours l = 1, ce qui montre que c’est un cas douteux.

Exemple. Nature de P

a_n, o`ua_n = n!

nⁿ. a_n+1

an

= (n+ 1) nⁿ

(n+ 1)ⁿ⁺¹ = (1 + 1

n)⁻ⁿ =e⁻ⁿ^ln(1+¹ⁿ⁾ =e^−1+o(1) −→

n→+∞

1 e <1, donc la s´erie est convergente.

(15)

Séries de vecteurs 3 Les séries alternées méthode Le critère de D’Alembert sert peu. En effet, il ne permet qu’un tri assez grossier entre les séries qui convergent plus vite qu’une série géométrique de raison strictement inférieur à 1 et les séries qui divergent grossièrement. Toute autre série

“tombe” dans le cas douteux.

Ce critère est donc à réserver au cas où la quantité a_n+1

a_n est nettement plus simple que a_n, comme dans l’exemple ci-dessus.

Dans le cadre des séries entières, ce critère fera un formidable “come back”. Il est utile pour calculer le rayon de convergence d’une série entière.

Remarque. Hors programme : Si (a_n) et (b_n) sont deux suites de r´eels strictement positifs telles que, pour tout n∈N, a_n+1

a_n ≤ b_n+1

b_n , alors a_n=O(b_n). En effet, an+1

b_n+1 ≤ an

b_n, donc la suite de terme g´en´eral an

b_n est d´ecroissante. Ainsi, pour tout n∈N, a_n

bn

≤ a₀ b0

, donc a_n=O(b_n).

En particulier, si pour tout n ∈N, an+1

a_n ≤b <1, alors an =O(bⁿ) et P

an converge, et si a_n+1

a_n ≥b≥1,bⁿ=O(a_n) et P

a_n diverge.

Propri´et´e. Formule de Stirling.n!∼√

2πne⁻ⁿnⁿ. D´emonstration.

cf DM.

Exemple. Reprenons a_n = n!

nⁿ : a_n ∼ √

2πne⁻ⁿ, donc d’apr`es les croissances com- par´ees, n²a_n −→

n→+∞0. Ainsi a_n =o( 1

n²) ce qui montre que P

a_n converge, sans utiliser le crit`ere de d’Alembert.

3 Les s´ eries altern´ ees

3.1 Le th´ eor` eme des s´ eries altern´ ees

Définition. On appelle série alternée toute série réelle de la forme P

(−1)ⁿα_n ou P(−1)ⁿ⁺¹α_n, o`u pour tout n ∈R,α_n ∈R+.

Remarque. Dans le cas d’une série alternée, a_k et a_k+1 sont de signes opposés, donc dans la somme partielle

n

X

k=0

a_k, chaque terme est compensé par le suivant. C’est pourquoi on peut s’attendre à une condition assez faible pour garantir la convergence d’une série alternée.

Théorème des séries alternées.

Soit P

a_n une série alternée telle que la suite (|a_n|) est décroissante et tend vers 0 . AlorsP

(16)

Séries de vecteurs 3 Les séries alternées De plus, en cas de convergence, pour tout (n, N)∈N² avec N ≥n, la quantité

N

X

k=n

a_k est du signe de son premier terme (qui est an) et a un module inf´erieur ou ´egal au module de son premier terme.

C’est encore vrai lorsqueN = +∞, donc pour toutn ∈ {−1}∪N, le reste de Cauchy

+∞

X

k=n+1

a_k est du signe de son premier terme (qui est a_n+1) et,

pour toutn ∈ {−1} ∪N, |

+∞

X

k=n+1

a_k| ≤ |a_n+1| . D´emonstration.

• On se limite au cas o`uP

a_n =P

(−1)ⁿ|a_n| car, en multipliant par−1, le cas o`uP

an =P

(−1)ⁿ⁺¹|an| s’en d´eduit facilement.

Pour tout n∈N, posons A_n =

n

X

k=0

a_k (en convenant que A−1 = 0).

Soit n ∈ N. A_2n+2 −A_2n = |a_2n+2| − |a_2n+1| ≤ 0, car la suite (|a_k|) est d´ecroissante.

Ainsi la suite (A_2n) est une suite d´ecroissante. De mˆeme on montre que la suite (A_2n+1) est croissante. De plusA_2n+1−A_2n=−|a_2n+1| −→

n→+∞0, donc les suites (A_2n) et (A_2n+1) sont adjacentes. Ainsi elles admettent une limite commune que nous noterons A. On a prouv´e que An −→

n→+∞A, donc la s´erie P

an est convergente.

• De plus, la suite décroissante (A_2n) est supérieure à Aet la suite croissante (A_2n+1) est inférieure à A.

Ainsi, pour tout n ≥ 0, A₀ ≥ A_2n ≥ A_2n+1 ≥ A₁ = |a₀| − |a₁| ≥ 0, donc, pour tout n∈N, A₀ ≥A_n ≥0.

Ainsi, en regroupant les cas o`u P

a_n = P

(−1)ⁿ|a_n| et o`u P

a_n =P

(−1)ⁿ⁺¹|a_n|, on vient de montrer que la quantit´e

n

X

k=0

a_k est du signe de son premier terme (qui est a₀) et a un module inf´erieur ou ´egal au module de son premier terme.

• Soit (n, N) ∈N² avec N ≥n.

N

X

k=n

ak =

N−n

X

k=0

ak+n est la somme partielle d’une série spéciale alternée, donc elle est du signe de son premier terme (qui est a_n) et a un module inférieur ou égal au module de son premier terme.

• La propriété précédente, pour n fixé, est vraie pour tout N ≥ n, donc en faisant tendre N vers +∞, on en déduit la propriété pour les restes de Cauchy.

Remarque. La réciproque de ce théorème est fausse, c’est-à-dire qu’une série alternée Pa_n peut converger sans que la suite (a_n) ne soit décroissante. On est par exemple dans cette situation lorsque a_2n= 1

n² eta_2n+1=−2a_2n. En effet,|a_2n+1|>|a_2n|, donc la suite (|a_n|) n’est pas d´ecroissante, maisX

n≥2

a_nconverge car elle est mˆeme absolument

(17)

Séries de vecteurs 3 Les séries alternées convergente. En effet, pour tout N ∈N,

2N

X

n=2

|a_n|=

N

X

n=1

a_2n+

N−1

X

n=1

a_2n+1 ≤3

+∞

X

n=1

1 n². Exemple. Nature de X

n≥1

(−1)ⁿ n^α .

Siα >1, la s´erie est absolument convergente.

Siα ≤0, la s´erie diverge grossi`erement.

Siα ∈]0,1], comme la suite de terme g´en´eral 1

n^α est décroissante et tend vers 0, on peut appliquer le théorème des séries alternées, donc la sérieX

n≥1

(−1)ⁿ

n^α est semi-convergente.

Exemple. Nature de X

n≥2

(−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ. (−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ ∼ (−1)ⁿ

√n , donc

(−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ

∼ 1

√n et la s´erie n’est pas absolument convergente.

Cependant, (−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ = (−1)ⁿ

√n

1

1 + ⁽⁻¹⁾^√_nⁿ = (−1)ⁿ

√n (1− (−1)ⁿ

√n +o( 1

√n)).

Ainsi (−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ = (−1)ⁿ

√n − 1

n +o(1 n).

Mais 1 n+o(1

n)∼ 1

n, donc la s´erieX

n≥1

(−1 n+o(1

n)) est divergente, etX

n≥1

(−1)ⁿ

√n est semi- convergente d’après l’exemple précédent. Ainsi la sérieX

n≥2

(−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ est divergente, alors qu’elle est équivalente au terme général d’une série convergente.

3.2 Non commutativit´ e des s´ eries semi-convergentes.

Considérons la série harmonique alternée X

n≥1

u_n, o`uu_n = (−1)ⁿ n .

X

u_n converge et

+∞

X

n=1

u_n=−ln 2.

En effet :

On d´ecide de sommer les termes de la suite (u_n) dans l’ordre suivant : u2, u4, u1, u6, u8, u3, u10, u12, u5, . . .. Appelons (wn)n≥1 cette nouvelle suite.

Ainsi, pour tout n∈N, w_3n+1=u_4n+2, w_3n+2 =u_4n+4, et w_3n+3 =u_2n+1. PosonsS_N =

3N

X

k=1

w_k.

(18)

Séries de vecteurs 3 Les séries alternées S_N =

N−1

X

k=0

(w_3k+1+w_3k+2+w_3k+3) =

N−1

X

k=0

( 1

4k+ 2 + 1

4k+ 4 − 1 2k+ 1)

=

N−1

X

k=0

( 1

4k+ 4 − 1

4k+ 2) = 1 4

N

X

k=1

1 k − 1

2

N−1

X

k=0

1 2k+ 1. Posons T_N =

N

X

k=1

1

k. On sait que T_N = lnN +γ +o(1), o`u γ d´esigne la constante d’Euler. Ainsi,

S_N = 1

4T_N − 1

2(T_2N −

N

X

k=1

1 2k)

= 1

2T_N − 1 2T_2N

= 1

2(lnN +γ +o(1))− 1

2(ln(2N) +γ+o(1)) =−1

2ln(2) +o(1).

AinsiS_N −→

N→+∞−¹₂ln(2). De plus, w_n −→

n→+∞0, donc

3N+1

X

k=1

w_k =S_N +w_3N₊₁ −→

N→+∞−1 2ln(2) et de mˆeme, on montre que

3N+2

X

k=1

w_k −→

N→+∞−1 2ln(2).

Ceci prouve que P

wk converge et que

+∞

X

k=1

wk6=

+∞

X

k=1

uk.

Pourtant les suites (u_n) et (w_n) possèdent les mêmes termes, mais dans un ordre différent. Ainsi, lorsque le nombre de termes que l’on somme est infini, la sommation n’est plus commutative.

On peut démontrer un résultat (hors programme) beaucoup plus général ; siX an

est une série semi-convergente (c’est-à-dire convergente mais non absolument convergente) de réels, pour toutl ∈R, il existe une bijectionσ : N−→Ntelle que X

a_σ(n) converge et a pour somme l.

On peut ´egalement d´emontrer que, lorsque P

a_n est une s´erie absolument convergente, pour toute bijection σ de N dans N, P

a_σ(n) est aussi absolument convergente et

+∞

X

n=0

a_σ(n) =

+∞

X

n=0

a_n.

3.3 La transformation d’Abel (hors programme)

Propriété. Hors programme Si (a_n) et (x_n) sont deux suites de complexes, on dispose de la formule suivante, appelée transformation d’Abel : en posantX_n=

n

X

k=0

x_k,

(19)

Séries de vecteurs 3 Les séries alternées pour tout (p, q)∈N² avec p≤q,

q

X

n=p

a_nx_n =a_qX_q−a_pXp−1−

q−1

X

n=p

(a_n+1−a_n)X_n.

D´emonstration.

q

X

n=p

a_nx_n =

q

X

n=p

a_n(X_n−Xn−1) =

q

X

n=p

a_nX_n−

q−1

X

n=p−1

a_n+1X_n

=

q−1

X

n=p

(a_n−a_n+1)X_n+a_qX_q−a_pXp−1.

Remarque. Cette formule ressemble fort `a de l’int´egration par parties si l’on assimile la suite (a_n+1 −a_n) = ( an+1−an

(n+ 1)−n) à “la dérivée” de la suite (a_n) et la suite (X_n) à

“la primitive” de la suite (x_n).

Propriété. Hors programme : théorème d’Abel.

Soient (a_n) une suite d´ecroissante de r´eels qui tend vers 0 etP

x_nune s´erie de complexes dont les sommes partielles sont born´ees.

Alors la s´erie P

a_nx_n converge.

D´emonstration.

On va montrer que P

a_nx_n v´erifie le crit`ere de Cauchy.

Soit n ∈N et p∈N^∗. D’apr`es la transformation d’Abel,

|

p

X

k=1

a_n+kx_n+k|=|

n+p

X

k=n+1

a_nx_n|=|a_n+pX_n+p−a_n+1X_n−

n+p−1

X

k=n+1

(a_k+1−a_k)X_k|.

Il existeM > 0 tel que, pour tout k ∈N,|X_k| ≤M.

De plus a_k+1−a_k ≤0, car la suite (a_n) est d´ecroissante, donc

|

p

X

k=1

a_n+kx_n+k| ≤a_n+pM +a_n+1M +

n+p−1

X

k=n+1

(a_k−a_k+1)M

=M(an+p+an+1+an+1−an+p) = 2M an+1. Or a_n+1 −→

n→+∞0, donc il existe N ∈ N tel que, pour tout n ≥ N, 2M a_n+1 ≤ ε. Ainsi, pour tout n≥N etp∈N^∗, |

p

X

k=1

a_n+kx_n+k| ≤ε.

Remarque. Les sommes partielles de la s´erie P

(−1)ⁿsont bornées, donc le théorème des séries alternées est un cas particulier du théorème d’Abel.

Exemple. Nature de la s´erie Xe^iβn

n^α , o`u (α, β)∈R². Solution. |e^iβn

n^α | = 1

n^α, donc la série de l’énoncé est absolument convergente si et seulement si α >1.

(20)

Séries de vecteurs 3 Les séries alternées De plus, lorsque α ≤ 0, 1

n^α ne tend pas vers 0, donc la série de l’énoncé diverge grossièrement.

Supposons maintenant que α∈]0,1]. Posonsxn =e^iβn et Xn =

n

X

k=1

xk.

Siβ ∈2πZ,xn = 1 et la série de l’énoncé est une série de Riemann divergente.

Supposons maintenant que β /∈2πZ. Xn=

n

X

k=1

(eîβ)^k = eîβ−eîβ(n+1)

1−e^iβ , donc |Xn| ≤ 2

|1−eîβ|. Ainsi, la suite (Xn) est bornée et d’après le théorème d’Abel, la série de l’énoncé est semi-convergente.