´ Exercice 1. Trouver la nature des s´eries de termes g´en´eral u

Universit´e du Littoral Ann´ee universitaire 2011-2012 Master 2 `eme ann´ee M´etiers de l’Enseignement en Math´ematiques

Pr´eparation ´ecrit analyse

S´eance 5 : S´eries, suites et s´eries de fonctions

1. S ´

´ Exercice 1. Trouver la nature des s´eries de termes g´en´eral u

:

1. u

= n

2

, α ∈ R ; 2. u

= n!

n

; 3. u

= a

n

, a > 0 ; 4. u

= a ln n

n − 1 − ln 1 + a

n

, a ∈ R ;

5. u

=

1 + 1 n

− e 6. u

= sin

(a + n) π n

, a ∈ R ;

7. u

= cosh n cosh 2n ; 8. u

=

cosh 1

n

, α ∈ R .

Exercice 2. Etudier la convergence de la s´erie de la s´erie de s´erie de terme g´en´eral u

=

∞

X

p=0

1 (n + p)

Remarquer que lim

u

= 0. La s´erie P

u

sera compar´ee `a une int´egrale.

Exercice 3. Soit la suite S

=

1

+

2

+ ... +

− 2 √

n. En utilisant la s´erie associ´ee, montrer que S

admet une limite.

Exercice 4.

1. Etudier la nature des s´eries

u

= 1

n

(ln n)

, avec (α, β) ∈ R

Etudier les s´eries de termes g´en´eral

2. u

= n

− 1 3. u

= p

ln(2n + 1) − p ln(2n)

Exercice 5. D´eterminer la nature et si possible la somme des s´eries suivantes

1. u

= 1

n(n + 1)(n + 2) , n > 1 ; 2. u

= arctan 1

n

+ n + 1 , n > 1 ; 3. u

= ln

1 − 1

n

, n > 2.

Exercice 6. Monter que si P

u

est une s´erie `a termes positifs, P

u

et P

ln(1 + u

) sont de mˆeme nature.

1

2

Exercice 7. Quelle est la nature des s´eries suivantes : 1. u

= ln(1 + 1

n ) 2. u

= (−1)

n

+ (−1)

, α > 0 3. u

= a − (−1)

√

n n − (−1)

√

n , a ∈ R 4. u

= cos n

√ n + cos n

5. u

= n + 1 (−1)

√

n − n 6. u

=

s

1 + (−1)

√ n − 1 7. u

= (−1)

n

√ n

+ 1 8. u

= (−1)

n

+ cos n Exercice 8. On consid`ere la s´erie de terme g´en´eral u

= (−1)

n

, n > 3 et v

=

. Soient S =

∞

X

k=1

(−1)

k

, T =

∞

X

k=1

1

k

, S

=

2n

X

k=1

(−1)

k

et T

=

2n

X

k=1

1 k

1. Monter que lim

T

−

S

= 0.

2. En d´eduire que T =

S.

3. Calculer T (en utilisant S) avec deux d´ecimales exactes.

Exercice 9. On consid`ere la s´erie de terme g´en´erale u

= 3n

4

pour n > 1. Montrer qu’elle est convergente et calculer sa somme avec une erreur inf´erieur `a 10

.

2. S

Exercice 10. Etudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites 1. f

: R

→ R d´efinie par f

(x) =

.

2. f

: [0, 1] → R d´efinie par

f

(x) =



 

 

2n

x si x ∈ 0,

2n(1 − nx) si x ∈

2n

,

0 sinon

Exercice 11. Soit la suite de fonctions (f

(x))

d´efinie pour x ∈ [0, 1] par f

(x) = x

(1 − x).

1. Trouver la limite f(x) de f

(x) quand n → ∞.

2. Montrer que f

converge uniform´ement sur [0, 1].

3. En d´eduire sans calcul lim

n→∞

Z

x

(1 − x) dx.

Exercice 12. Etudier la suite de fonction (f

(x))

d´efinie sur R par f

(x) = sin(nx)

1 + n

x

. Pour montrer que la convergence n’est pas uniforme, on construira une suite (x

)

particuli`ere ten- dant vers 0 telle que f

(x

) ne tende pas vers 0.

Exercice 13. Montrer que la suite f

des fonctions d´efinie sur [0, +∞[ par f

(x) =

( 1 −

pour x ∈ [0, n]

0 pour x > n

converge vers une fonction f. La convergence est-elle uniforme ?

3

3. S ´

Exercice 14. On consid`ere la s´erie de fonctions de terme g´en´eral u

(x) = sin nx

x

+ n

. Etudier le domaine de convergence ∆ de cette s´erie, et ´etudier sa convergence uniforme sur ∆. Mˆeme question pour la s´erie de fonction de terme v

(x) = x

sin nx

x

+ n

. Exercice 15. 1. Quel est le domaine de d´efinition ∆ de la fonction

f : x 7→

∞

X

n=0

(−1)

e

n + 1 2. Montrer que f est continue sur ∆.

Exercice 16.

1. Quel est le domaine de d´efinition ∆ de la fonction g : x 7→

∞

X

n=0

(−1)

e

n

+ 1 2. Montrer que g est de classe C

sur ∆.

Exercice 17. On consid`ere la s´erie de foncions de terme g´en´eral u

(x) = 1

√ n (x

− x

) 1. Montre qu’elle converge uniform´ement sur [0, 1].

Soit f sa somme.

2. Monter que f est continue sur [0, 1].

Soit la s´erie de terme g´en´eral u

(x).

3. Etudier la fonction u

(x) pour x ∈ [0, 1].

4. En d´eduire que la s´erie u

(x) converge uniform´ement sur tout intervalle [0, a] pour tout a < 1.

5. En d´eduire que f(x) est d´erivable sur [0, 1[.

Exercice 18. D´emontrer que les s´eries de fonction u

(x) = cos nx

n

et v

(x) = sin nx

n

sont

uniform´ement convergentes pour x ∈ [a, 2π − a] pour tout a ∈]0, π[.