Exercice 1. Recherche des rayons de convergence et ´etude sur le cercle de convergence des s´eries suivantes.

Universit´e du Littoral Ann´ee universitaire 2011-2012 Master 2 `eme ann´ee M´etiers de l’Enseignement en Math´ematiques

Pr´eparation ´ecrit analyse

S´eance 6 : S´eries enti`eres, s´eries de Fourrier

1. S ´ ERIES ENTI ERES `

Exercice 1. Recherche des rayons de convergence et ´etude sur le cercle de convergence des s´eries suivantes.

1. u _n = z ⁿ

n! , z ∈ C ; 2. u _n = z ⁿ

log n , z ∈ C ; 3. u _n = (nx) ⁿ , x ∈ R ; 4. u _n = (−1) ⁿ z ²ⁿ

n! , z ∈ C ; 5. u n = i ⁿ z ⁿ , z ∈ C 6. u _n = n ⁽⁻¹⁾

z ⁿ , z ∈ C ;

Exercice 2. Pour tout p ∈ N ^∗ , a ∈ C ^∗ , d´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere de 1

(z − a) ^p . Exercice 3.

1. Trouver le d´eveloppement en s´eries enti`eres des fonctions f (x) = 2x − 1

x ² − 5x + 6 et g(x) = x − 2 2x − 1 . 2. Quels sont les rayons de convergence ?

3. Faire le produit des deux s´eries trouv´ees.

4. Quel est le rayon de convergence de la s´erie produit ? Exercice 4. D´eterminer le d´eveloppement en s´eries enti`eres de

f (x) = x ² + x − 3 (x − 2) ² (2x − 1) et pr´eciser son rayon de convergence.

Exercice 5. On consid`ere l’´equation diff´erentielle :

(E) xy ⁰⁰ + 3y ⁰ − 4x ³ y = 0

Montrer qu’il existe une solution et une seule de (E), not´ee f, d´eveloppable en s´erie enti`ere autour de l’origine telle que f(0) = 1. On recherchera cette solution sous la forme

f (x) =

∞

X

n=0

a _n x ⁿ . Reconnaˆıtre f (x) comme expression de fraction ´el´ementaires.

1

2

Exercice 6.

1. Pour quelles valeurs de z la s´erie enti`ere X z ⁿ n

2

est-elle convergente ? Pour tout x ∈ [−1, 1], posons f (x) = P +∞

n=1 x

n

.

2. Montrer que la fonction f est continue sur [−1, 1] et calculer f ⁰ (x) pour tout x ∈]− 1, 1[.

3. Montrer qu’il existe un nombre r´eel c tel que, pour tout x ∈]0, 1[, on a f(x) + f (1 − x) = c − (ln x)(ln(1 − x)) 4. Calculer le nombre c. En d´eduire la valeur

+∞

X

n=1

1 2 ⁿ n ² .

2. S ´ ERIES DE F OURIER

Exercice 7.

1. D´evelopper en s´erie de Fourrier la fonction 2π-p´eriodique, impaire, ´egale `a 1 sur ]0, π[.

2. En d´eduire la valeur de

X

n>0

sin(2n + 1)x

2n + 1 , x ∈]0, π[.

Exercice 8.

1. D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction 2π-p´eriodique f(x) = |x| si |x| 6 π.

2. En d´eduire les valeurs de

X

n>0

1

(2n + 1) ² et X

n>1

1 n ² . 3. En utilisant le th´eor`eme de Parseval, calculer

X

p>0

1

(2p + 1) ⁴ et X

n>1

1

n ⁴ .