Licence MI 2`eme ann´ee, Analyse, Semestre 1, Feuille 7 (S´eries de Fourier), Ann´ee 2004-2005.
Exercice 1
Calculer les s´eries de Fourier associ´ees aux fonctions 2π p´eriodiques suivantes : 1)f(x) = π−x pour 0< x≤π etf impaire.
2)g(x) =π−x pour 0≤x≤π et g paire.
Exercice 2
Soit f la fonction de p´eriode 2π, ´egale `a π−x2 sur ]0,2π].
1) Calculer la s´erie de Fourier def. 2) Montrer l’´egalit´e suivante :
π−x
2 =
+∞
X
n=1
sin(nx) n , en pr´ecisant pour quelle valeur de x cette ´egalit´e est vraie.
Exercice 3
Soit f la fonction paire, de p´eriode 2π, ´egale `a (π−x)2 pour 0 ≤x≤π.
1) Calculer les coefficients de Fourier def.
2) Montrer que la s´erie de Fourier def est convergente enx de somme f(x).
3) En d´eduire que
+∞X
n=1
1 n2 = π2
6.
Licence MI 2`eme ann´ee, Analyse, Semestre 1, Feuille 7 (S´eries de Fourier), Ann´ee 2004-2005.
Exercice 1
Calculer les s´eries de Fourier associ´ees aux fonctions 2π p´eriodiques suivantes : 1)f(x) = π−x pour 0< x≤π etf impaire.
2)g(x) =π−x pour 0≤x≤π et g paire.
Exercice 2
Soit f la fonction de p´eriode 2π, ´egale `a π−x2 sur ]0,2π].
1) Calculer la s´erie de Fourier def. 2) Montrer l’´egalit´e suivante :
π−x
2 =
+∞
X
n=1
sin(nx) n , en pr´ecisant pour quelle valeur de x cette ´egalit´e est vraie.
Exercice 3
Soit f la fonction paire, de p´eriode 2π, ´egale `a (π−x)2 pour 0 ≤x≤π.
1) Calculer les coefficients de Fourier def.
2) Montrer que la s´erie de Fourier def est convergente enx de somme f(x).
3) En d´eduire que
+∞
X
n=1
1 n2 = π2
6.
