Exercice 1. Etudier la convergence simple, normale, et uniforme des s´ eries de fonctions P

MAT402 Ann´ ee 2018-2019 Feuille d’exercices 3

Exercice 1. Etudier la convergence simple, normale, et uniforme des s´ eries de fonctions P

n≥0 u n

de terme g´ en´ eral d´ efini par :

1. u _n (x) = e ^−nx , x ∈ R + . 2. u _n (x) = x ⁿ , x ∈ [0, 1].

3. u _n (x) = 1

2 ⁿ sin(3 ⁿ x), x ∈ R . 4. u _n (x) = 1

1 + (n − x) ² , x ∈ R .

Exercice 2. Mˆ emes questions pour les s´ eries de terme g´ en´ eral d´ efini par : 1. u _n (x) = n ^x , x ∈ R .

2. u n (x) = (−1) ⁿ n ^x , x ∈ R . 3. u _n (x) = e ^−n(x

⁺¹⁾ , x ∈ R . 4. u _n (x) = _n ¹ arctan( ^x _n ), x ∈ R .

Exercice 3. Mˆ emes questions pour les s´ eries de terme g´ en´ eral d´ efini par : 1. u n (x) = ne ^−nx , x ∈ R ^∗ + .

2. u _n (x) =

n ² x(1 − nx) si x ∈ [0, _n ¹ ] , 0 si x ∈ [ _n ¹ , 1] . 3. u n (x) = e ^−nx sin x, x ∈ R ⁺ .

4. u _n (x) = sin(nx)

1 + n ² x ² , x ∈ R .

Exercice 4. On consid` ere la suite (u _n ) n≥1 de fonctions u _n : R + → R d´ efinies par u _n (x) = 1

n + xn ² (n ≥ 1, x ∈ R ).

1. D´ eterminer le domaine de convergence simple D ⊂ R de la s´ erie de fonctions P

n≥1 u _n . 2. ´ Etudier la convergence normale de la s´ erie de fonctions P

n≥1 u _n

sur D, puis sur [a, +∞[

pour tout r´ eel a > 0.

3. La s´ erie de fonctions P

n≥1 u _n

converge-t-elle uniform´ ement sur D ? 4. La fonction f = P +∞

n=1 u _n est-elle d´ erivable sur R ^∗ + ? 5. Montrer que f est int´ egrable sur [1, 2] et exprimer R 2

1 f (t) dt comme la somme d’une s´ erie num´ erique.

Exercice 5. Etudier la s´ erie de fonctions de terme g´ en´ eral u _n d´ efini pour n ≥ 1 par : u _n (x) = 1

n ³ + n ⁴ x ² , x ∈ R . La somme est-elle continue sur R ? d´ erivable sur R ?

Exercice 6. Mˆ emes questions pour la s´ erie de terme g´ en´ eral v _n d´ efini pour n ≥ 1 par : v _n (x) = 1

n ² + n ⁴ x ² , x ∈ R .

Exercice 7. Montrer que la s´ erie de fonctions de terme g´ en´ eral u _n d´ efini pour n ≥ 1 par u _n (x) = (−1) ⁿ

2 √

n + cos x , x ∈ R , converge uniform´ ement sur R . ´ Etudier la convergence normale.

Exercice 8. On se propose de montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral v _n d´ efini pour n ≥ 1 par : v _n (x) = cos(nx)

√ n + x , x ∈ R ,

converge uniform´ ement sur l’intervalle I = [α, 2π − α], o` u 0 < α < π.

On se donne x ∈ R et n, p, q ∈ N ^∗ , avec n ≥ p. On note S _p,n (x) =

n

X

k=p

cos(kx).

1. Montrer en utilisant cos a = 1

2 (e ^ia + e ^−ia ) que si x 6= 2kπ, alors |S _p,n (x)| ≤ 1

| sin(x/2)| · 2. V´ erifier que

p+q

X

n=p

v _n (x) =

p+q−1

X

n=p

S _p,n (x) h 1

√ n + x − 1

√ n + 1 + x i

+ S _p,p+q (x)

√ p + q + x ·

3. En d´ eduire que pour tout x ∈ I,

p+q

X

n=p

v _n (x)

≤ 1

√ p + x 1

| sin( ^x ₂ )| · En d´ eduire le r´ esultat.

Exercice 9. Pour x > 0, on pose f (x) =

∞

X

n=0

1

x(x + 1) . . . (x + n) .

1. Montrer que la somme ci-dessus d´ efinit une application continue f : R ^∗ + → R ^∗ + . 2. Exprimer f (x + 1) en fonction de f (x) pour tout x > 0.

3. ´ Etudier la d´ erivabilit´ e de f sur R ^∗ + .

4. Montrer que la fonction f est monotone, et donner un ´ equivalent de f (x) lorsque x → 0, ainsi que lorsque x → +∞.

5. Tracer le graphe de f .

Exercice 10. On consid` ere la suite (u _n ) n∈ N de fonctions u _n : [0, 1] → R d´ efinies par u ₀ (x) = 1 et, si n ≥ 1,

u _n (x) =





 (−1) ⁿ

n! (x ln(x)) ⁿ si x ∈ ]0, 1] ,

0 si x = 0 .

1. Pour tout n ∈ N , v´ erifier que u n est continue sur [0, 1].

2. En int´ egrant par parties, calculer R 1

0 u n (x) dx pour tout n ∈ N . 3. Montrer que la s´ erie de fonctions P

n∈ N u _n

converge normalement sur [0, 1], et calculer sa somme.

4. En d´ eduire que

Z 1 0

1

x ^x dx =

∞

X

n=1

1 n ⁿ .

Exercice 11. On souhaite ´ etudier la somme S de la s´ erie de fonctions de terme g´ en´ eral v _n d´ efini pour n ≥ 1 par :

v _n (: x 7→)x) = 1

n ² + n ⁴ x ² , x ∈ R .

1. Montrer que P

n≥1 v _n

converge simplement sur R . Sa somme S est donc une fonction de R dans R .

2. Montrer que S est paire, et (strictement) d´ ecroissante sur R + . 3. Montrer que S est continue sur R , et qu’elle tend vers 0 en +∞.

4. ´ Etudier la convergence normale de P

n≥1 v ⁰ _n

: montrer qu’elle n’a pas lieu sur R , mais par contre sur R \ [−a, a], pour tout a > 0. En d´ eduire que S est d´ erivable sur R ^∗ + . 5. Pour ´ etudier la d´ erivabilit´ e de S en 0, on forme le taux d’accroissement τ h S(0) = 1

h (S(h)−

S(0)), tout d’abord pour h > 0. ´ Ecrire ce taux d’accroissement sous la forme h P +∞

n=1 w _h (n), puis comparer les sommes partielles de la s´ erie P

n≥1 w _h (n)

avec des int´ egrales (de la fonction w _h : t 7→ (1 + h ² t ² ) ⁻¹ ). En d´ eduire que τ _h S(0) tend vers −π/2 lorsque h tend vers 0 ⁺ .

6. Donner l’allure du graphe de S.

7. La fonction S est-elle d´ erivable en 0 ?

Exercice 12. Escalier du diable ou de Cantor

On d´ efinit la suite (f _n ) n∈ N de fonctions de [0, 1] dans R par r´ ecurrence : f ₀ (x) = x pour tout x ∈ [0, 1] et, pour n ≥ 0, f _n+1 (x) =







1

2 f _n (3x) si x ∈ [0, ¹ ₃ ],

1

2 si x ∈ [ ¹ ₃ , ² ₃ ],

1

2 + ¹ ₂ f _n (3x − 2) si x ∈ [ ² ₃ , 1].

1. Tracer sur un mˆ eme graphique les graphes de f ₀ , f ₁ , f ₂ . 2. Montrer que chaque f _n est continue et croissante.

3. On consid` ere la s´ erie de fonctions de terme g´ en´ eral u _n = f _n − f n−1 (n > 0). Montrer que ( P

u _n ) converge normalement.

4. En d´ eduire que la suite (f n ) n∈ N converge uniform´ ement vers une fonction f continue et croissante.

Exercice 13. Soient a ∈]0, 1[ et b > 0. Pour tout n ∈ N , on d´ efinit la fonction u _n de R dans R par

u n (x) = a ⁿ sin(b ⁿ x) pour tout x ∈ R . 1. Montrer que la s´ erie P

n∈ N u _n

converge normalement. On note f sa somme.

2. Montrer que f est continue sur R .

3. Montrer que si ab < 1, f est de classe C ¹ .

4. Montrer que pour tout x ∈ R , f(x) = af (bx) + sin(x).

5. On suppose que ab = 1 et que b est un entier ≥ 2. Montrer que f n’est d´ erivable en aucun point de la forme

x = 2kb ⁿ π, (k, n) ∈ Z ² .

On commencera par le cas x = 0 et on montrera que f est 2π-p´ eriodique. Que dire de

cette famille de points (consid´ erer par exemple le cas b = 10) ?