Sommes et s´eries
1 Synth` ese sommes finies
D´efinitions Pb
k=auk est d´efini pour a ≤ b; Pb
k=auk = ua +ua+1 +
· · ·+ub pour les petites sommes.
Pn+1
k=0uk =Pn
k=0uk+un+1 et P0
k=0uk =u0 pour les r´ecurrences.
1.1 Op´ erations
Chasles (d´ecoupage horizontal) Valable uniquement si toutes les bornes sont en ordre croissant !
Lin´earit´e (d´ecoupage vertical) Somme de sommes.
Factorisation des constantes par rapport `a l’indice de sommation.
R´eindexation Change les deux bornes et le contenu. Mais ce n’est pas le meilleur moyen pour rectifier les bornes.
Pourx6= 1,calculer (1−x)Pn
k=0kxk et en d´eduirePn
k=0kxk. D´erivation Pour les sommes finie !x→x0 se d´erive enx→0.
Calculer Pn
k=1k·xk−1
Simplification diagonale Il faut avoir exactement Pn
k=0uk+1−uk = un+1−u0
In´egalit´es Montrer que pour tout k ≥2 : k12 ≤ k−11 − k1 en d´eduire un majorant dePn
k=1 1 k2
1.2 Sommes usuelles
Pb
k=a1 =b−a+ 1 si b≤a Pn
k=0k = n(n+1)2 :Pn
k=0k2 = n(n+1)(2n+1) 6
Pn
k=0k3 = n2(n+1)4 2 pour a≤b :Pb
k=aqk =
( b−a+ 1 si q= 1
qa1−q1−qb−a+1 si q6= 1 Pn
k=0 n k
akbn−k = (a+b)n
1.3 M´ ethodes
Constantes si elles sont en facteur !Pn
k=02k+ 1 Borne sup´erieure Pn+2
k=0k2 Borne inf´erieure Pn
k=3k2 Puissance manquante Pn
k=0 n k
Puissance en puissance k Pn k=0q2k
Puissance en produit par une constante Pn k=0qk+1 Produit en puissance Pn
k=02k·3k Produit en somme Pn
k=0(k+ 1) (k+ 2)
Binˆome O`u doit on retrouver l’indice de sommation ? O`u retrouve-t-on la puissance ? Calculer Pn
k=0 n−1 k+1
Ecriture factorielle de nk
uniquement si 0≤k ≤n.
(n+ 1)! = (n+ 1)·n! uniquement si n≥0 Transformation du coefficient : sym´etrie nk
= n−kn
, Pascal nk +
n k+1
= n+1k+1
, par factorielle k· nk
=n· n−1k−1
Formule changeante Jusqu’`a un indice (apparaˆıt souvent en proba- bilit´es)P3n
k=0|n−k|. Suivant la parit´ePn
kk=0pair
k2 :P2n
k=0k(−1)k
1.4 Sommes doubles
Basiques Distinguer variables et constantes. Pn i=0
Pi j=0i·j Permutation de sommes Pn
i=1
Pn
j=i somme pour tous les couples d’entiers (i, j) tels que :
1≤i≤n eti≤j ≤n; que l’on regarde comme 1≤i≤j ≤n; puis mettre j en premier 1 ≤ j ≤ n et 1 ≤ i ≤ j; pour trouver Pn
j=1
Pj i=1
Calculer Pn i=1
Pn j=i
i j
Synthse sommes et sries Page 1/ 2
2 Cours s´ eries
2.1 D´ efinition
S´erie not´ee P
k≥1uk : s´erie de terme g´en´eral (uk)k≥1 et de premier indice 1.
S´erie convergente signification ? Somme de la s´erie not´eeP+∞
k=1uk est ?
Aboslue convergente Si elle est absolument convergente alors elle est convergente.
Contre exemple ?
Int´erˆet : crit`eres de convergence.
2.2 Usuelles
G´eom´etriques et d´eriv´ees Convergent si |q|<1 et divergent sinon.
P++∞
k=0 qk = 1−q1 :P++∞
k=1 kqk−1 = (1−q)1 2 : P++∞
k=2 k(k−1)qk−2 = (1−q)2 3
:P++∞
k=0 kqk= (1−q)q 2 :P++∞
k=0 k2qk = q(q+1)(1−q)3
Exercice D´emontrer les deux premi`eres.
Exponentielles convergent P+∞
k=0 xk k! =ex Classique P+∞
n=0 n k
2k
n! ressemble `a une somme binomiale mais ...
Riemann P
k≥1 1
kα converge si α >1 et diverge si α≤1.
2.3 Op´ erations
M´efiance Chercher l’erreur : P+∞
k=02k = 20+P+∞
k=12k= 1 + 2P+∞
k=12k−1 = 1 + 2P+∞
k=02k Donc (1−2)P+∞
k=02k = 1 etP+∞
k=02k=−1 somme de termes positifs !
Conclusion ? . . . . . . . . Prudence : on repart de la somme partielle.
2.4 Crit` eres de convergence pour les s´ eries ` a termes positifs.
Rappel Une suite croissante et ... est convergente, une suite croissante et non ...tend vers +∞.
Lemme Une s´erie `a termes positifs est croissante. (Signification ? Le d´emontrer).
Que peut-on en d´eduire suivant qu’elle est major´ee ou non.
Th´eor`eme Si pour tout k ≥0 : 0≤uk ≤vk alors si P
k≥0vk converge alors P
k≥0uk converge (par majoration de termes positifs)
siP
k≥0uk diverge alorsP
k≥0vk diverge (par minoration de termes positifs)
Preuve Les sommes partielles v´erifient les mˆemes in´egalit´es.
Puis on a convergence ou divergence par minoration ou majoration.
Th´eor`eme Si vn ≥0 et un≥0 et que un =o(vn) alors si P
k≥0vk converge alors P
k≥0uk converge (par majoration de termes positifs)
siP
k≥0uk diverge alorsP
k≥0vk diverge (par minoration de termes positifs)
Preuve Que signifieun=o(vn) ? et il existe un rangn0 `a partir duquel 0≤un/vn ≤1 et un≤vn .
On est alors ramen´e au th´eor`eme pr´ec´edent.
Th´eor`eme Si un ∼ vn et que vn ≥ 0 alors P
k≥0uk converge si et seulement siP
k≥0vkconverge. (par ´equivalence de termes positifs) Preuve Que signifie un ∼ vn? et il existe un rang n0 `a partir duquel
1 2 ≤ uvn
n ≤ 32 d’o`u 12vn ≤un≤ 32vnet la convergence ou la divergence par application du premier th´eor`eme.
M´ethode Un ´equivalent est une s´erie de r´ef´erence.
Sinon, on fait apparaˆıtre un terme qui tend vers 0 fois une s´erie de r´ef´erence.
Exercice Montrer que la s´erie de terme g´en´eral
(−1)kln (k)·e−k converge. k≥1
Synthse sommes et sries Page 2/ 2
