MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier
2013-2014 Grenoble
TD n
o2 : s´ eries ` a termes positifs
Exercice 1 : Nature de s´eries
D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral : 1. un= en
n5+ 1 ; 2. un= 2n+n2
3nn2 + 1 ; 3. un= en1
n+ 1 ; 4. un= e1n −1
√n+ 1 ;
5. un=nln
1 + 1 n
(n ≥1) ;
6. un= e−n 4 + sinn ; 7. un= 1−nln(1 + 1n)
√n+ 1 ;
8. un= lnn n ; 9. un=
1 + 1
√n n
(n ≥1) ; 10. un=ne−n ;
11. un=ne−√n ; 12. un=
1− 1
√n n
(n≥2) ;
13. un= n!
nn (n≥1) ; 14. un = lnn
nα (n ≥ 1) (discuter selon la valeur du r´eel α) ;
15. un= tan 1
n
− 1 n ; 16. un=n2 sin1
n + cos 1 n +
ln(1− 1 n)
2
−e1n
! .
Exercice 2 : Soit (un)n une suite de nombres positifs telle que P
un converge. Montrer que la s´erie P un
un+1 converge.
Exercice 3 : S´erie `a terme g´en´eral d´efini par une r´ecurrence Soit (un)n la suite d´efinie par u0 = 1 etun+1 = sinun
n+ 1. Montrer que pour tout n ∈Non a un∈[0,1], puis montrer que la s´erie P
un converge.
Exercice 4 : S´eries `a terme g´en´eral positif d´ecroissant Soit (un)n une suite positive d´ecroissante telle que P
un converge. Montrer que pour tout ε >0 il existeN ∈N tel que pour toutn > N on ait (n−N)un6ε. En d´eduire que nun tend vers 0 quand n tend vers +∞.
Donner un exemple de suite positive (vn)n telle que P
vn converge et nvn ne tend pas vers 0.
Exercice 5 : Soit (un)n une suite `a termes positifs, et notons vn= 1 1 +n2un. 1. Montrer par des exemples que la divergence deP
un ne permet pas de d´eterminer la nature de P
vn.
On suppose dans la suite queP
un converge et on va montrer que P
vn diverge.
2. Traiter le cas o`un2un ne tend pas vers +∞.
3. Traiter le cas o`un2un→+∞en appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz `a XN
n=0
u1/2n vn1/2.
Exercice 6 : Soit (un)n une suite r´eelle positive. Pour toutn ∈N∗ on note Sn=
n−1
X
p=0
up. Comparer la nature des s´eries P
un etPun
Sn.
(Indication : on pourra consid´erer logSn+1−logSn)
Exercice 7 : Un crit`ere de rationnalit´e
Montrer qu’un r´eel x est rationnel si et seulement si son d´eveloppement d´ecimal est p´eriodique `a partir d’un certain rang. Donner un exemple de nombre irrationnel en utilisant ce crit`ere.
