Séries à termes positifs

Séries à termes positifs

1 a

= 2.a

2

On dénit(an)para1= 1et

∀n≥2, a_n= 2.an 2

1- Montrer qu'on dénit ainsi une suite unique.

2- Nature deP 1 a²_n ?

2 u

=

n n+1

n.lnn

Indications

u_n∼ 1 n

3 P

(u

)

On suppose que

∀n≥0,0≤un<1 Que dire de la nature deP(un)ⁿ ?

Indications u_n= ¹₂,u_n = 1−_n¹.

4 e − 1 +

Pourn≥1, on poseun =e− 1 +_n¹ⁿ; nature de Pun ? Réponse

un∼ _2n^e ; par comparaison à une série de Riemann,P

un diverge.

5

.lnn.ln 1 +

Pourn≥2, soit u_n =_n¹.lnn.ln 1 +_n¹

; nature de Pu_n ? Réponse

un∼ ^lnn_n2 ; doncun =o

1 n³2

; doncP

un converge.

6

Pourn≥2, soit un = ¹

(lnn)^lnn ; nature dePun ?

Réponse

Soitvn =n².un etwn= lnvn ;

wn = 2.lnn−lnn.ln (lnn) = lnn(2−ln (lnn)) Donc(wn)tend vers−∞;(vn)tend vers 0 ; doncun=o _n¹2

ce qui prouve que P

un converge.

7 a

Pourn≥2, soit un =a⁻

√n ; nature de P un ? Réponse

Soitvn =n².un etwn= lnvn.

wn= 2.lnn−√ n.lna On supposea >1.

Dans ce cas, (wn) tend vers−∞par croissances comparées ; (vn) tend vers 0 ; donc un =o _n¹2

ce qui prouve que P un

converge.

8

Soit(u_n)une suite de réels strictement positifs, etv_n=_1+u^un

n ; montrer quePu_n etPv_n sont de même nature.

Réponse

∀n≥0,0≤vn ≤un ; donc siP

un converge, alorsP

vn converge.

Réciproquement, supposons queP

vn converge. Alors(vn)tend vers 0,un= _1−v^vn

n, d'oùun∼vn ; par comparaison de séries positives,P

un converge.

9 a

Soita >0 ; on note

sn =

n

X

k=1

1 k

etun=a^sn; nature de Pun ? Réponse

Sia≥1, la série diverge grossièrement ; on suppose donc0< a <1. On sait que : ∀n≥1,lnn≤s_n ≤1 + lnn; donc

∀n≥1, a.n^lna ≤u_n≤n^lna

Par comparaison aux séries de Riemann,Pun converge si et seulement sia < ¹_e.

10 n

Pourn≥2, soit u_n =n^{−tan π4+n1}; nature de Pu_n ? Réponse

Soitvn = tan ^π₄ +_n¹

; vn= 1 +^A_n +o _n¹

avecA= tan^{0 π}₄

= 2; donc un= exp (−vn.lnn) = exp

−lnn.

1 + A

n +o 1

n

= exp (−lnn+o(1)) Doncu_n∼ ¹_n ;Pu_n diverge.

11 u

= u

+

n

Soit(an)une suite de réels positifs ; on dénit(un)paru0>0et

∀n≥0, u_n+1=u_n+a_n un

Montrer que(un)converge si et seulement siP

an converge.

Réponse

Supposons que(un)converge versu >0; alorsP

un+1−un converge ; orun+1−un= ^a_uⁿ

n ∼ ^a_uⁿ. Par comparaison de séries à termes positifs,Pan

u converge, doncP

an converge.

Supposons queP

an converge.

∀n≥0,0≤ a_n un

≤a_n u0

Par comparaison de séries à termes positifs,Pan

u_n converge, doncP

un+1−un converge.

Conclusion : (un)converge.

12 a

= 2.a

+

On dénit(an)para0= 1,a1= 2, et

∀n≥1, an+1= 2.an+an−1

n² Trouver la limite et un équivalent de(an).

Réponse

On montre par récurrence surnque

∀n≥0, an≥2ⁿ D'où la limite.

Posons

an= 2ⁿ.bn

Alors :

∀n≥1, bn+1=bn+bn−1

4n² Il en découle

∀n≥1, bn+1≤

1 + 1 4n²

bn

On peut déduire de là que(bn)est majorée, puis qu'elle converge vers unC >0. Conclusion :

an∼C.2ⁿ

13 P u

Soit(un)une suite positive de limite nulle. SoitE l'ensemble des réelsα >0tels que P

u^α_n converge.

Montrer que siE n'est pas vide, il est de la forme]m,+∞[ou de la forme[m,+∞[. Donner un exemple pour chacun des trois cas.

Indications

Examiner les cas de ¹_n, _n.ln¹2n, _lnn¹ .

14

Soit(un)une suite de réels strictement positifs, telle que _u

n+2

u_n+1+u_n

converge vers une limite L6= ¹₂. Nature dePu_n ?

Indications 1er cas : L > ¹₂

A partir d'un certain rangn₀, _un+1^un+2_+un > ¹₂ ; on montre alors aisément par récurrence surnque

∀n≥n0, un ≥m oùm= min (u_n0, u_1+n0); donc la série diverge grossièrement.

2e cas : L < ¹₂

Soita= ¹₂ ¹₂ +L; alorsa∈

0,¹₂et, à partir d'un certain rangn0, _un+1^un+2_+un < a; on étudie alors les suites(vn)qui vérient :

∀n≥0, vn+2

vn+1+vn

=a On montre que dans ce cas,P

vn converge ; on en déduit queP

un converge.

15 P

e

. (arctan (n + 1) − arctan (n))

On noteu_n= arctan (n+ 1)−arctan (n).

1- Etudier la monotonie, la convergence et déterminer un équivalent de(u_n). Soite= (e_n)une suite de 0 et de 1. On pose

S(e) =

∞

X

n=0

e_n.u_n 2- Montrer la convergence de la série et montrer que0≤S(e)≤ ^π₂.

3- Réciproquement, soitxtel que 0≤x≤^π₂. Montrer l'existence d'une suiteetelle quex=S(e). Cette suite est-elle unique ?

Indications

1- _1+(n+1)¹ 2 ≤u_n ≤_1+n¹ 2. u_n∼_n¹2. 3- Quelques notations :

sn=

n

X

k=0

uk= arctan (n+ 1), rn=

∞

X

k=n+1

uk= π

2 −arctan (n+ 1) On montre d'abord que

∀n≥0, un= arctan (n+ 1)−arctan (n)≤rn

en étudiant la fonction

ϕ:x→ π

2 −2.arctan (x+ 1) + arctan (x) Soitxtel que0≤x≤ ^π₂. On construit la suiteepar récurrence. Notons

An=

n

X

k=0

ekuk, Bn =x−An

avecA₋₁ = 0 et B₋₁ =x. An représente ce qui est déjà construit, Bn ce qui reste à construire. On souhaite que pour tout n≥0,0≤Bn≤rn. On distingue deux cas.

1er cas

Cas oùun+1≤Bn ; on choisiten+1= 1; donc

Bn+1=Bn−un+1≤rn−un+1=rn+1

2e cas

Cas oùun+1> Bn ; on choisiten+1= 0; donc

Bn+1=Bn< un+1

Or on sait queu ≤r ; doncB ≤r .

16

Soitn≥2 entier. Montrer la convergence et calculerP∞ k=1

k−n._k

n

k(k+1) . Indications

La convergence est laissée au lecteur.

Pourq≥1 étudionssnq=Pnq k=1

k−n._k

n

k(k+1) . Après avoir séparé en deux et eectué une transformation d'Abel : snq =Hnq+1−Hq−1 + nq

nq+ 1 avec

Hq =

q

X

j=1

1 j On utilise alors

Hq = lnq+γ+o(1) et on obtient, avecq→+∞:

∞

X

k=1

k−n._k

n

k(k+ 1) = lnn

17 Calcul de exp (x) sans multiplications

Pouri∈N, on pose

li= ln 1 + 2⁻ⁱ

N≥2 est un entier xé ; on suppose lesli (0≤i≤N−1)mémorisés dans un tableauL. 1- Montrer que la sérieP

li converge. On note

S=

∞

X

i=0

li

2- Montrer que

∀i∈N,2.l_i+1≥l_i 3- Montrer que

∀i∈N, l_i≤

∞

X

k=i+1

l_k 4- Pouru0∈[0, S]on dénit la suite(ui)par

ui+1=ui siui< li

ui+1=ui−li siui≥li

Montrer que(ui)converge vers 0.

5- On dénit aussi(vi)par : v₀= 1

u_i+1=u_i etv_i+1=v_i siu_i< l_i

u_i+1=u_i−l_i etv_i+1=v_i+ 2⁻ⁱ.v_i siu_i≥l_i Trouver la limite de(v_i).

6- En déduire une fonction Python qui calcule une approximationAdeexp (u₀)pour u₀∈[0, S]. Donner un encadrement simple de

e^u0 A

Indications 4- On vérie que

∀i≥0, 0≤ui≤

∞

X

k=i

lk

5- On vérie que

∀i≥0, vi.e^ui =e^u0 6- On pose

A=vN

Alors :

1≤e^u0

A =e^uN = 1 + 2^−N