Série de réels ou de complexes Feuille 17
Séries de réels positifs
Exercice17.1
Calculer
+∞
X
n=0
1 (2n+ 1)2.
Exercice17.2
Nature de la sérieX chn ch(2n).
Exercice17.3
SoitX
un,X
vnetX
wntrois séries de réels telles que, pour toutn∈N, un≤vn≤wn.Montrer siX un
etX
wnconvergent, alorsX
vnest aussi convergente.
Exercice17.4
Nature deX
unoùu0∈Retun+1 = 1
n+ 1e−un.
Exercice17.5
Soit(un)une suite de réels positifs telle queX
unconverge. Déterminer la nature deX√ u2nun
Exercice17.6
Grâce à une comparaison entre série et intégrale, déterminer un équivalent de
n
X
k=2
lnk.En déduire, la nature de
la série de terme généralun=
n
X
k=2
lnk
!−1
Exercice17.7
Nature de la sérieX
anoùan= Z 1
n
0
√xdx
√3
1 +x2.
Exercice17.8
SoientX
un,X
vnetX
wn3 séries convergentes à termes positifs. Montrer que les sériesX
√3
unvnwnet X√
unvn+unwn+vnwnsont convergentes.
Exercice17.9
Soit(εn)n∈Nune suite de réels de]0,1[, telle queεn−−−−−→
n→+∞ 0.Pour toutn∈N∗, on posepn=
n
Y
i=1
(1−εi).
Montrer que(pn−−−−−→
n→+∞ 0)⇔ÄX
εndivergeä .
Exercice17.10
Nature deX
n≥1
anoùan= Å
1 + 1
√n ã−n
Exercice17.11
Soita, b, c∈C. Étudier la sérieX
un, oùun=a√ n+b√
n+ 1 +c√ n+ 2.
Quentin De Muynck Sous licencecbea
FEUILLE XVII - SÉRIE DE RÉELS OU DE COMPLEXES
Exercice17.12
Soit(un)une suite de réels positifs. On posevn= un
1 +un.Montrer que les sériesX
unetX
vnsont de même nature.
Exercice17.13
Règle de Cauchy
1. SoitX
an∈S(C)telle que pn
|an| −−−−−→
n→+∞ `∈R+∪ {+∞}.
− Si` <1, montrer queX
anest absolument convergente.
− Si` >1ou si`= 1+, montrer queX
andiverge grossièrement.
− Lorsque`= 1, montrer qu’on ne peut pas conclure.
2. En déduire la nature des sériesXÅ n+ 1 2n+ 5
ãn
etX nlnn lnnn.
Exercice17.14
αdésigne un réel strictement positif. Pour toutn∈N, on notean= (nα)n
n
X
k=0
(k!) .
Déterminer la nature de la sérieX an.
Exercice17.15
Soit(an)une suite décroissante de réels positifs. On suppose que la sérieX
anconverge. Montrer quenan−−−−−→
n→+∞
0.
Exercice17.16
Soit(un)une suite réelle décroissante qui tend vers0.
Montrer que les sériesX
unetX
2nu2n ont la même nature. En déduire la nature deX
n≥2
1
n(lnn)β, oùβ ∈R.
Exercice17.17
Déterminer la nature deX
anoùan= Z π
2
0
dx 1 +n2tan2(x)
Exercice17.18
Soienta∈R∗+etα∈R. Nature deX
anoùan= nα
(1 +a)(1 +a2). . .(1 +an).
Exercice17.19
Soit (un) une suite décroissante de réels strictement positifs. On suppose qu’il existe k ∈ N aveck ≥ 2 et n0∈N∗tels que, pour toutn≥n0, kukn≥un. Montrer queX
unest divergente.
Exercice17.20
Soit(an)n≥1 une suite de complexes telle queXan
n est absolument convergente. On suppose que pour tout k∈N∗,
+∞
X
n=1
an nk = 0.
Que peut-on dire de la suite(an)n≥1?
Exercice17.21
Règle de Duhamel
SoitX
anune série à termes strictement positifs.
Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea
FEUILLE XVII - SÉRIE DE RÉELS OU DE COMPLEXES
1. On suppose qu’il existeα∈Rtel que an+1 an
= 1−α n+o
Å1 n
ã . Siα >1, montrer queX
anconverge et siα <1, montrer queX
andiverge.
2. Déterminer la nature de la sérieX
an, oùan= 2×4× · · · ×(2n−2)×(2n) 3×5× · · · ×(2n−1)×(2n+ 1).
Exercice17.22
Soitϕ:N∗−→N∗une application injective. Montrer que la sérieXϕ(n)
n2 diverge.
Exercice17.23
Soit(un)une suite décroissante de réels qui tend vers0.
Montrer queX
unetX
n(un−un+1)ont la même nature.
Lorsqu’elles sont définies, comparer les sommes de ces deux séries.
Séries alternées
Exercice17.24
Déterminer les natures des sériesX
(−1)n 2n
3√n etX
(−1)n2lnn 3√n.
Exercice17.25
Déterminer la nature de la sérieX
(−1)nan, oùan= Z 4
π
2 π
sin1t n+tdt.
Exercice17.26
Calculer
+∞
X
n=2
ln Å
1 +(−1)n n
ã .
Exercice17.27
Nature de la sérieX
an, oùan= (−1)n n−lnn.
Exercice17.28
On considère une suite récurrente telle queu0∈ i 0,π
2 h
et telle que, pour toutn∈N, un+1=uncosun. Étudier la suite(un), puis les séries de terme général(−1)nunetln(cosun).
Déterminer la nature de la sérieX un.
Exercice17.29
Pour toutn∈N∗, on note :hn=
n
X
k=1
1
k etun=hn−lnn.
1. Trouver un equivalent deun+1−un. 2. Déterminer la nature de la sérieX
(un+1−un)puis en deduire la convergence de la suite(un). On notera γla limite de la suite(un).
3. Montrer quehn= lnn+γ+o(1). 4. Montrer qu’il existeαetβtels que
2n
X
k=1
(−1)k
k =αh2n+βhn.
Quentin De Muynck 3 Sous licencecbea
FEUILLE XVII - SÉRIE DE RÉELS OU DE COMPLEXES
5. En déduire que
+∞
X
k=1
(−1)k
k =−ln 2.
Soitσ ∈R. On note(wn)la suite définie par :wk = σ
k lorsque 4 diviseketwk = 1
k sinon. De plus, on note Sn=
n
X
k=1
wk.
6. Montrer que(Sn)converge si et seulement siσ=−3.
7. Étudier la nature et calculer la somme de la sérieX wk.
8. Question bonus :Soit(σn)n∈N ∈CN, T-périodique. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que X
n≥1
σn
n soit semi-convergente.
Exercice17.30
1. Déterminer la nature de la série de terme généralun=
+∞
X
k=0
(−1)k n+ 1 +k.
2. Déterminer la nature de la série de terme généralvn= (−1)nun.
Exercice17.31
Sommation par paquets.
SoientX
xn∈S(C)etϕ:N−→Nune application strictement croissante.
On posey0 =
ϕ(0)
X
k=0
xket, pour toutn∈N∗, yn=
ϕ(n)
X
k=ϕ(n−1)+1
xk.
Ainsi,ynconstitue un « paquet » deϕ(n)−ϕ(n−1)termes consécutifs deX
xk, en convenant queϕ(−1) =
−1.
1. Montrer que siX
xnconverge, alorsX
ynconverge également. Montrer que la réciproque est fausse.
2. Montrer que la réciproque est vraie lorsqueX
xkest à termes positifs.
3. Montrer que la réciproque est vraie lorsque(xn)tend vers0et que la suite(ϕ(n)−ϕ(n−1))est majorée.
4. Montrer que la réciproque est vraie lorsqu’à l’intérieur de chaque paquet (pourk ∈[ϕ(n−1) + 1, ϕ(n)]), tous lesxksont réels et de même signe.
Quentin De Muynck 4 Sous licencecbea
