Séries de réels positifs

Série de réels ou de complexes Feuille 17

Séries de réels positifs

Exercice17.1

Calculer

+∞

X

n=0

1 (2n+ 1)².

Exercice17.2

Nature de la sérieX chn ch(2n).

Exercice17.3

SoitX

un,X

vnetX

wntrois séries de réels telles que, pour toutn∈N, un≤vn≤wn.Montrer siX un

etX

wnconvergent, alorsX

vnest aussi convergente.

Exercice17.4

Nature deX

u_noùu₀∈Retu_n+1 = 1

n+ 1e^−un.

Exercice17.5

Soit(un)une suite de réels positifs telle queX

unconverge. Déterminer la nature deX√ u2nun

Exercice17.6

Grâce à une comparaison entre série et intégrale, déterminer un équivalent de

n

X

k=2

lnk.En déduire, la nature de

la série de terme généralun=

n

X

k=2

lnk

!−1

Exercice17.7

Nature de la sérieX

a_noùa_n= Z ¹

n

0

√xdx

√3

1 +x².

Exercice17.8

SoientX

un,X

vnetX

wn3 séries convergentes à termes positifs. Montrer que les sériesX

√3

unvnwnet X√

u_nv_n+u_nw_n+v_nw_nsont convergentes.

Exercice17.9

Soit(ε_n)n∈Nune suite de réels de]0,1[, telle queε_n−−−−−→

n→+∞ 0.Pour toutn∈N^∗, on posep_n=

n

Y

i=1

(1−ε_i).

Montrer que(p_n−−−−−→

n→+∞ 0)⇔ÄX

ε_ndivergeä .

Exercice17.10

Nature deX

n≥1

anoùan= Å

1 + 1

√n ã−n

Exercice17.11

Soita, b, c∈C. Étudier la sérieX

un, oùun=a√ n+b√

n+ 1 +c√ n+ 2.

Quentin De Muynck Sous licencecbea

FEUILLE XVII - SÉRIE DE RÉELS OU DE COMPLEXES

Exercice17.12

Soit(un)une suite de réels positifs. On posevn= un

1 +u_n.Montrer que les sériesX

unetX

vnsont de même nature.

Exercice17.13

Règle de Cauchy

1. SoitX

a_n∈S(C)telle que pⁿ

|a_n| −−−−−→

n→+∞ `∈R+∪ {+∞}.

− Si` <1, montrer queX

anest absolument convergente.

− Si` >1ou si`= 1⁺, montrer queX

a_ndiverge grossièrement.

− Lorsque`= 1, montrer qu’on ne peut pas conclure.

2. En déduire la nature des sériesXÅ n+ 1 2n+ 5

ãn

etX n^lnn lnⁿn.

Exercice17.14

αdésigne un réel strictement positif. Pour toutn∈N, on notea_n= (nα)ⁿ

n

X

k=0

(k!) .

Déterminer la nature de la sérieX a_n.

Exercice17.15

Soit(an)une suite décroissante de réels positifs. On suppose que la sérieX

anconverge. Montrer quenan−−−−−→

n→+∞

0.

Exercice17.16

Soit(u_n)une suite réelle décroissante qui tend vers0.

Montrer que les sériesX

u_netX

2ⁿu₂ⁿ ont la même nature. En déduire la nature deX

n≥2

1

n(lnn)^β, oùβ ∈R.

Exercice17.17

Déterminer la nature deX

a_noùa_n= Z ^π

2

0

dx 1 +n²tan²(x)

Exercice17.18

Soienta∈R^∗+etα∈R. Nature deX

a_noùa_n= n^α

(1 +a)(1 +a²). . .(1 +aⁿ).

Exercice17.19

Soit (un) une suite décroissante de réels strictement positifs. On suppose qu’il existe k ∈ N aveck ≥ 2 et n0∈N^∗tels que, pour toutn≥n0, kukn≥un. Montrer queX

unest divergente.

Exercice17.20

Soit(a_n)n≥1 une suite de complexes telle queXa_n

n est absolument convergente. On suppose que pour tout k∈N^∗,

+∞

X

n=1

a_n n^k = 0.

Que peut-on dire de la suite(a_n)n≥1?

Exercice17.21

Règle de Duhamel

SoitX

a_nune série à termes strictement positifs.

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea

FEUILLE XVII - SÉRIE DE RÉELS OU DE COMPLEXES

1. On suppose qu’il existeα∈Rtel que a_n+1 an

= 1−α n+o

Å1 n

ã . Siα >1, montrer queX

a_nconverge et siα <1, montrer queX

a_ndiverge.

2. Déterminer la nature de la sérieX

an, oùan= 2×4× · · · ×(2n−2)×(2n) 3×5× · · · ×(2n−1)×(2n+ 1).

Exercice17.22

Soitϕ:N^∗−→N^∗une application injective. Montrer que la sérieXϕ(n)

n² diverge.

Exercice17.23

Soit(un)une suite décroissante de réels qui tend vers0.

Montrer queX

u_netX

n(u_n−u_n+1)ont la même nature.

Lorsqu’elles sont définies, comparer les sommes de ces deux séries.

Séries alternées

Exercice17.24

Déterminer les natures des sériesX

(−1)ⁿ 2ⁿ

3^√n etX

(−1)ⁿ2^lnn 3^√n.

Exercice17.25

Déterminer la nature de la sérieX

(−1)ⁿan, oùan= Z ⁴

π

2 π

sin¹_t n+tdt.

Exercice17.26

Calculer

+∞

X

n=2

ln Å

1 +(−1)ⁿ n

ã .

Exercice17.27

Nature de la sérieX

a_n, oùa_n= (−1)ⁿ n−lnn.

Exercice17.28

On considère une suite récurrente telle queu₀∈ i 0,π

2 h

et telle que, pour toutn∈N, u_n+1=u_ncosu_n. Étudier la suite(un), puis les séries de terme général(−1)ⁿunetln(cosun).

Déterminer la nature de la sérieX un.

Exercice17.29

Pour toutn∈N^∗, on note :h_n=

n

X

k=1

1

k etu_n=h_n−lnn.

1. Trouver un equivalent deun+1−un. 2. Déterminer la nature de la sérieX

(un+1−un)puis en deduire la convergence de la suite(un). On notera γla limite de la suite(u_n).

3. Montrer queh_n= lnn+γ+o(1). 4. Montrer qu’il existeαetβtels que

2n

X

k=1

(−1)^k

k =αh_2n+βh_n.

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FEUILLE XVII - SÉRIE DE RÉELS OU DE COMPLEXES

5. En déduire que

+∞

X

k=1

(−1)^k

k =−ln 2.

Soitσ ∈R. On note(w_n)la suite définie par :w_k = σ

k lorsque 4 diviseketw_k = 1

k sinon. De plus, on note S_n=

n

X

k=1

w_k.

6. Montrer que(S_n)converge si et seulement siσ=−3.

7. Étudier la nature et calculer la somme de la sérieX w_k.

8. Question bonus :Soit(σn)n∈N ∈C^N, T-périodique. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que X

n≥1

σ_n

n soit semi-convergente.

Exercice17.30

1. Déterminer la nature de la série de terme généralu_n=

+∞

X

k=0

(−1)^k n+ 1 +k.

2. Déterminer la nature de la série de terme généralv_n= (−1)ⁿu_n.

Exercice17.31

Sommation par paquets.

SoientX

x_n∈S(C)etϕ:N−→Nune application strictement croissante.

On posey₀ =

ϕ(0)

X

k=0

x_ket, pour toutn∈N^∗, y_n=

ϕ(n)

X

k=ϕ(n−1)+1

x_k.

Ainsi,ynconstitue un « paquet » deϕ(n)−ϕ(n−1)termes consécutifs deX

xk, en convenant queϕ(−1) =

−1.

1. Montrer que siX

xnconverge, alorsX

ynconverge également. Montrer que la réciproque est fausse.

2. Montrer que la réciproque est vraie lorsqueX

xkest à termes positifs.

3. Montrer que la réciproque est vraie lorsque(xn)tend vers0et que la suite(ϕ(n)−ϕ(n−1))est majorée.

4. Montrer que la réciproque est vraie lorsqu’à l’intérieur de chaque paquet (pourk ∈[ϕ(n−1) + 1, ϕ(n)]), tous lesx_ksont réels et de même signe.

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