Suites de nombres réels et complexes
I - Généralités sur les suites réelles I.1 - Dénition et Structure
Définition 1 (Suite).
Une suite réelleu est une application deNdansR. Pour toutn∈N, le réelun est l'image de nparu. Le réelunest le terme de rangnde la suiteu. La suiteuest également notée(un)n∈N
ou u= (un). Notation.
S(R) désigne l'ensemble des suites réelles.
udésigne une suite réelle.
Définition 2 (Lois internes / loi externe).
Soient(u, v)∈S(R)2 etλ∈R.
∗ Addition+ :u+v= (un+vn)n∈N.
∗ Produit ×:u×v= (unvn)n∈N.
∗ Multiplication externe·:λ·u= (λun)n∈N. Théorème 1 (Structure d’algèbre).
(i). La loi+:
(a) est associative,
(b) possède un élément neutre,
(c) toute suite u possède un symétrique, (d) est commutative.
(S(R),+) est un groupe abélien.
(ii). La loi·: Pour tous u, v ∈S(R)etλ∈R, (a) 1·u=u,
(b) (λ+µ)·u=λ·u+µ·u,
(c) (λµ)·u=λ·(µ·u), (d) λ·(u+v) =λ·u+λ·v. (S(R),+,·) est un R-espace vectoriel.
(iii). La loi×: Pour tous u, v∈S(R) etλ∈R, (a) est associative
(b) possède un élément neutre,
(c) est distributive par rapport à la loi +,
(d) (λ·u)×v=u×(λ·v) =λ·(u×v), (e) est commutative.
(S(R),+,×) est un anneau.
(S(R),+,×,·) est uneR-algèbre commutative.
Définition 3 (Relation d’ordre).
Soientu etv deux suites réelles.u6v si pour toutn∈N,un6vn. Propriété 1.
La relation 6est une relation d'ordre partiel.
I.2 - Comportement global
Définition 4 (Majorée, Minorée, Bornée).
(i). La suite uest majorée si {un, n∈N} est un ensemble majoré.
(ii). La suite uest minorée si {un, n∈N} est un ensemble minoré.
(iii). La suite uest bornée si la suite u est majorée et minorée.
Exercice 1.
1. Montrer queu est majorée si et seulement si
∃ M ∈R ; ∀ n∈N, un6M si et seulement si
∃M ∈R+ ; ∀n∈N, un6M 2. Montrer queu est bornée si et seulement si
∃ K ∈R; ∀n∈N,|un|6K.
Notation.
SB(R) désigne l'ensemble des suites bornées.
Proposition 2.
(SB(R),+,×,·) est uneR-algèbre commutative.
Définition 5 (Monotone, Constante, Stationnaire).
(i). u est croissante si pour toutn∈N,un6un+1.
(ii). u est strictement croissante si pour toutn∈N,un< un+1. (iii). u est décroissante si pour toutn∈N,un+16un.
(iv). u est strictement décroissante si pour toutn∈N,un+1 < un.
(v). u est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) dé- croissante.
(vi). u est constante si pour toutn∈N,un=un+1.
(vii). u est stationnaire s'il existep∈Ntel que pour tout n∈N,n>p,un=un+1.
Exercice 2.Montrer que la suiteuest stationnaire si et seulement s'il existe un réelaet un entier naturelp tel que pour toutn>p,un=a.
I.3 - Quelques cas particuliers Définition 6 (Suite arithmétique).
Soit a ∈ R. La suite u dénie par u0 ∈ R et pour tout n ∈ N, un+1 = un+a est une suite arithmétique de raison a.
Propriété 3.
Soit uune suite arithmétique de raison a. Pour toutn∈N, (i). un=u0+na.
(ii). Pn
uk= (n+ 1)u0+n(n+1)2 a.
Définition 7 (Suite géométrique).
Soit q ∈R?\{1}. La suite u dénie par u0 ∈Ret pour tout n∈N, un+1 =qun est une suite géométrique de raison q.
Propriété 4.
Soit uune suite géométique de raison q. Pour tout n∈N, (i). un=qnu0.
(ii). Pn
k=0
uk=u01−qn+1
1−q =u0qn+1−1 q−1 . Définition 8 (Suite arithmético-géométrique).
Soient a∈R,q ∈R?\{1}. La suiteu dénie par u0 ∈Ret pour tout n∈N, un+1 =qun+a est une suite arithmético-géométrique.
Propriété 5.
Soienta∈R,q∈R?\{1} etu une suite arithmético-géométrique.
∀ n∈N, un=qn
u0− a 1−q
+ a
1−q.
Notation.
Kdésigne le corps RouC.
Théorème 2 (Suite récurrente double).
Soit (a, b)∈K2 tel que b6= 0. On considère les suites dénies par la relation de récurrence un+2 =aun+1+bun,∀ n∈N.
L'équation caractéristique(E) associée est
r2−ar−b= 0.
(i). Si (E)possède deux racines distinctes r1, r2 dansK, il existe(λ, µ)∈K2 tel que un=λrn1 +µr2n,∀ n∈N.
(ii). Si (E)possède une racine double r0 dansK, il existe(λ, µ)∈K2 tel que un= (λ+µn)r0n,∀ n∈N.
(iii). Si K=R,u ∈RN et (E) possède deux racines distinctes r1 =ρeiθ, r2 =ρe−iθ 6∈R, il existe (λ, µ)∈R2 tel que
un=λρncos(nθ) +µρnsin(nθ),∀ n∈N.
Exercice 3.Soit(Fn) la suite de Fibonacci dénie parF0=F1 = 1et pour tout entier natureln, Fn+2 =Fn+1+Fn. Montrer que le rapport (Fn+1/Fn)converge et déterminer sa limite.
II - Limite d'une suite II.1 - Suites convergentes Notation.
`désigne un réel.
Définition 9 (Limite, Convergence).
La suite u a pour limite ` si
∀ε >0,∃ n0 ∈N; ∀ n>n0,|un−`|6ε.
La suiteu converge vers`. S'il n'existe pas de réel`tel que la suiteu converge vers`, la suite est divergente.
Exercice 4.
1. Montrer que la suite(1/n)n∈N? est convergente.
2. Soita∈Rtel que |a|<1. Étudier la convergence des suites
√1 n
n∈N?
et(an)n∈
N. 3. Soitα∈R?+. Montrer queu a pour limite` si et seulement si
∀ε >0,∃n0 ∈N; ∀ n>n0,|un−`|6αε.
4. Montrer que la suite(n)n∈N n'est pas convergente.
5. Montrer que la suite((−1)n)n∈N n'est pas convergente.
Théorème 3 (Unicité de la limite).
Soit uune suite convergeant vers un réel`. Alors, `est unique, noté`= lim
n→+∞un= limu. Propriété 6.
n→+∞lim un=` ⇔ lim
n→+∞(un−`) = 0.
Théorème 4.
Siu est une suite convergente, alorsu est bornée.
Exercice 5.Montrer que la réciproque est fausse.
Théorème 5.
Soit uune suite convergeant vers `.
(i). Si ` >0, la suiteu est strictement positive à partir d'un certain rang.
(ii). Si ` <0, la suiteu est strictement négative à partir d'un certain rang.
II.2 - Caractérisations séquentielles
Théorème 6 (Caractérisation séquentielle de la densité).
Soit Q un sous-ensemble de R. L'ensemble Q est dense dans R si et seulement si pour tout x∈R, il existe une suite (qn) d'élements de Qqui converge vers x.
Exercice 6.Soitx∈R. Exhiber une suite de rationnels qui converge versx.
Théorème 7 (Caractérisation séquentielle de la borne supérieure / inférieure). Soit m∈R.
(i). SoitA une partie de Rnon vide et majorée. m= supA si et seulement si
∗ ∀ a∈A, a6m,
∗ ∃ (un)n∈N∈S(A) ; limu=m.
(ii). SoitA une partie de Rnon vide et minorée.m= infA si et seulement si
∗ ∀ a∈A, m6a,
∗ ∃ (un)n∈N∈S(A) ; limu=m. Exercice 7.Soit A =
n
(−1)n+ (−1)n+1n+1, n∈N
o. Déterminer, si elles existent, les bornes supé- rieure et inférieure de A.
II.3 - Suites tendant vers l'inni Définition 10 (Tendre vers l’infini).
(i). La suite utend vers+∞ si
∀M >0,∃n0 ∈N ; ∀ n>n0, un>M.
On note lim
n→+∞un= limu= +∞. (ii). La suite utend vers−∞ si
∀M 60,∃n0 ∈N ; ∀ n>n0, un6M.
On note lim
n→+∞un= limu=−∞. Exercice 8.
1.Montrer que la suiteutend vers+∞si et seulement si∀M ∈R,∃n0 ∈N; ∀n>n0, un>M.
2. Montrer que la suite(√
n)n∈Ntend vers +∞.
3. Soita >1. Montrer que la suite(an)n∈N tend vers +∞. Théorème 8.
(i). Si u tend vers+∞,u est strictement positive à partir d'un certain rang.
(ii). Si u tend vers−∞,u est strictement négative à partir d'un certain rang.
II.4 - Suites extraites Définition 11 (Sous-suite).
La suitevest une sous-suite (ou une suite extraite) deus'il existe une applicationϕ : N→N strictement croissante telle que pour tout n∈N,vn=uϕ(n).
Exercice 9.Montrer que la suite ((−1)n)n∈
Npossède une sous-suite convergente.
Théorème 9.
Soientu∈S(R) et`∈R. Les assertions suivantes sont équivalentes (i). limu=`.
(ii). Toute suite extraite deu admet pour limite`. (iii). lim
n→+∞u2n= lim
n→+∞u2n+1=`.
Corollaire 10.
Soient u ∈ S(R) et v, ev deux suites extraites de u admettant une limite. Si limv 6= limev, alors la suiteu est divergente.
Exercice 10.
1. Soita6−1. Montrer que la suite (an)n∈N n'admet pas de limite.
2. Montrer que la suite cosnπ3
n∈N n'admet pas de limite.
III - Opérations sur les limites
III.1 - Structures des suites convergentes Théorème 11 (Structure).
Soit S0(R) l'ensemble des suites réelles tendant vers 0. Soient u, v ∈S0(R) etλ∈R. Alors, u+v,u×v etλu sont dansS0(R).(S0(R),+,·) est un R-espace vectoriel.
Propriété 7.
Soient u, v ∈ S(R) convergeant respectivement vers `1 et `2 et λ, µ deux réels. Les suites λu+µv etu×v convergent respectivement versλ`1+µ`2 et`1`2.
Théorème 12 (Structure).
L'ensemble des suites convergentes est une sous-algèbre de l'ensemble des suites bornées.
III.2 - Opérations sur les suites tendant vers l'inni Propriété 8.
Soientu∈S(R) une suite tendant vers+∞ etv∈S(R).
(i). Si v est minorée, alorsu+v tend vers+∞.
(ii). Sivest minorée à partir d'un certain rang par un nombre strictement positif, alorsu×v tend vers +∞.
Théorème 13.
Soientu etv deux suites réelles tendant vers`1 et`2, deux éléments deR.
(i). Si `1+`2 n'est pas indéterminée,lim(u+v) =`1+`2. (ii). Si `1`2 n'est pas indéterminé,lim(u×v) =`1`2. III.3 - Inverse et quotient
Propriété 9.
Soituune suite convergeant vers`6= 0. Alors, à partir d'un certain rangn0, le réelunest non nul et (1/un)n>n0 est une suite convergeant vers1/`.
Exercice 11. Soit (un) une suite de réels strictement positifs et convergente. La suite
un
un+1
converge-t-elle vers 1? Propriété 10.
Soitu une suite tendant vers∞. Alors, à partir d'un certain rang n0, le réelun est non nul et (1/un)n>n0 est une suite convergeant vers0.
Exercice 12.Soit aun réel tel que|a|<1. Montrer que la suite (an)n∈N converge vers0. Propriété 11.
Soituune suite convergeant vers0dont tous les termes sont strictement positifs (resp. stricte- ment négatifs) à partir d'un certain rangn0. Alors (1/un)n>n0 est une suite tendant vers +∞
(resp.−∞).
III.4 - Passage à la limite dans les inégalités Proposition 12.
Soientm, M ∈R etuune suite convergeant vers `.
(i). S'il existe p∈Ntel que pour tout n>p,un>m, alors`>m. (ii). S'il existe p∈Ntel que pour tout n>p,un6M, alors `6M.
Exercice 13.Pour tout entier naturel n∈N?, on noteun = cos1n etvn= 1− 2n12. Comparer les suites(un) et(vn), puis leurs limites.
Proposition 13.
Soientu, v deux suites convergeant respectivement vers`1 et`2. S'il existep∈Ntel que pour toutn>p,un6vn, alors `1 6`2.
IV - Théorèmes d'existence de limite IV.1 - Encadrements
Lemme 1.
Soient u, α deux suites de réels telles que α converge vers 0 et, à partir d'un certain rang,
|un|6|αn|. Alors, la suiteu converge et sa limite est nulle.
Théorème 14 (Théorème d’encadrement).
Soientu, v, wtrois suites réelles et `∈Rtelles quev etwconvergent vers`. Si, à partir d'un certain rang, v6u6w, alors uest une suite convergente et sa limite vaut `.
Théorème 15.
Soientu etv deux suites réelles telles qu'à partir d'un certain rang,u6v. (i). Si u tend vers+∞, alors v tend vers +∞.
(ii). Si v tend vers −∞, alors utend vers −∞. Exercice 14.
1. Montrer que lim
n→+∞n! = +∞. 2. Soita∈R. Montrer que lim
n→+∞
an n! = 0. 3. Pour toutn∈N?, on note Hn=
n
P
k=1 1
k. Montrer que (Hn)n∈N? tend vers+∞. IV.2 - Suites monotones
Théorème 16 (Théorème de la limite monotone). Soit uune suite croissante.
(i). Si u est majorée, alors elle converge vers le réel`= sup{un, n∈N}. (ii). Si u n'est pas majorée, alors elle tend vers+∞.
Soit uune suite décroissante.
(i). Si u est minorée, alors elle converge vers le réel`= inf{un, n∈N}. (ii). Si u n'est pas minorée, alors elle tend vers−∞.
Exercice 15. (Exponentielle - Constante d’Euler) 1. Montrer que la suite
n P
k=0 1 k!
n∈N
est convergente.
2. Montrer que la suite n
P
k=1 1 k−lnn
n∈N
est convergente.
IV.3 - Suites adjacentes Définition 12 (Suites adjacentes).
Soientu, v ∈S(R). Les suites u etvsont adjacentes si
(i). u est croissante, (ii). v est décroissante, (iii). lim(u−v) = 0. Théorème 17 (Théorème des suites adjacentes).
Deux suites adjacentes sont convergentes et convergent vers une même limite.
Exercice 16.Soit(an)une suite de réels positifs, décroissante, convergeant vers0. Pour tout entier natureln, on poseSn=
n
P
k=0
(−1)kak.
1. Montrer que les suits(S2n) et(S2n+1) sont adjacentes.
2. En déduire que la suite(Sn) converge.
Théorème 18 (Théorème deBolzano-Weierstrass).
Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente.
V - Suites de nombres complexes V.1 - Généralités
Définition 13 (Suite de nombres complexes).
Une suite de nombres complexes est une application de NdansC.
Remarque.
La notion de suite extraite est inchangée.
Les notions de suites majorée, minorées, monotones n’ont aucun sens! Définition 14 (Suite bornée).
Une suite complexe (zn) est bornée s'il existeK ∈R?+ tel que pour tout n∈N,|zn|6K. Propriété 14.
Une suite complexe est bornée si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire le sont.
V.2 - Limite d'une suite de nombres complexes Définition 15 (Convergence).
Soient(zn)∈S(C)et`∈C. La suite (zn) converge vers`si lim
n→+∞|zn−`|= 0. Remarque.
La notion de suite tendant vers l'innin’a aucun sens! Propriété 15 (Unicité de la limite).
Soit (zn)∈S(C). Si(zn)admet une limite, celle-ci est unique et notée lim
n→+∞zn. Propriété 16.
Soient(zn)∈S(C)et`∈C. Les assertions suivantes sont équivalentes.
(i). lim
n→+∞zn=`. (ii). lim
n→+∞Re(zn) =Re(`)et lim
n→+∞Im(zn) =Im(`).
Propriété 17.
Toute suite complexe convergente est bornée.
Les théorèmes d'opérations sur les suites convergentes sont identiques à ceux obtenus dans le cadre réel.
Théorème 19 (Théorème deBolzano-Weierstrass).
Toute suite complexe bornée admet une sous-suite convergente.
