Programme colle math Semaine 7 du 12/11/19 au 16/11/19 MPSI B Hoche
Attention au lundi 11 novembre férié.
Nombres réels et suites numériques (début)
L’objectif de ce chapitre est de fonder rigoureusement le cours d’analyse relatif aux propriétés des nombres réels. Il convient d’insister sur l’aspect fondateur de la propriété de la borne supérieure.
Dans l’étude des suites, on distingue les aspects qualitatifs (monotonie, convergence, divergence) des aspects quanti- tatifs (majoration, encadrement, vitesse de convergence ou de divergence).
Il convient de souligner l’intérêt des suites, tant du point de vue pratique (modélisation de phénomènes discrets) que théorique (approximation de nombres réels).
a) Ensembles de nombres usuels
Entiers naturels relatifs, nombres décimaux, rationnels, La construction deRest hors programme.
réels, irrationnels.
Partie entière. Notationbxc.
Approximations décimales d’un réel. Valeurs décimales approchées à la précision 10−n par défaut et par excès.
I : représentation des réels en machine.
Tout intervalle ouvert non vide rencontreQetR\Q. Droite achevéeR.
b) Propriété de la borne supérieure
Borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie non vide majorée (resp. minorée) deR.
Une partie X de Rest un intervalle si et seulement si Une partie convexe deRest un intervalle.
pour tousa, b∈X tels que a≤b, [a, b]⊂X.
c) Généralités sur les suites réelles
Suite majorée, minorée, bornée. Suite stationnaire, mo- Une suite (un)n∈Nest bornée si et seulement si (|un|)n∈N
notone, strictement monotone. est majorée.
d) Limite d’une suite réelle
Limite finie ou infinie d’une suite. Pourl∈R, notationun →l.
Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges.
Lien avec la définition vue en Terminale.
Suite qui converge vers 0, suite convergente, divergente. Une suite u est convergente ssi il existe l ∈ R tel que Toute suite convergente est bornée. u−lconverge vers 0.
Stabilité des inégalités larges par passage à la limite.
Unicité de la limite. Notation limun. (notation déconseillée pendant les pre- mières semaines)
Opérations sur les suites convergentes : combinaison li- Produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle.
néaire, produit, quotient. Opérations avec des suites ad- mettant une limite infinie.
Si (un)n∈N converge vers l > 0, alors un > 0 à partir d’un certain rang.
Théorème de convergence par encadrement. Théorèmes de divergence par minoration ou majoration.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S7
Programme colle math Semaine 7 du 12/11/19 au 16/11/19 MPSI B Hoche
Prochain programme Suites monotones. Thm Bolzano Weirstrass. Suites complexes. Suites usuelles.
Questions de cours
Tout intervalle de R contient une infinité de nombres rationnels et irrationnels. Définition borne supérieure, borne inférieure. Toute partie deRminorée non vide admet une borne inf. Toute partie convexe deRest un intervalle.
Passage à la limite dans une inégalité et unicité de la limite d’une suite.
Opérations sur les suites qui convergent vers 0, produit par une suite bornée (avec desε). Opérations sur les suites convergentes (sans ε en se ramenant au cas précédent). Opérations avec des suites admettant une limite infinie : tableau de « bonnes » hypothèses.
Théorème de convergence par encadrement, de divergence par minoration ou majoration.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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2 Rémy Nicolai S7
