Convergence des suites réelles

Convergence des suites réelles

Cours de É. Bouchet ECS1 5 octobre 2018

Table des matières

1 Limite d'une suite 2

1.1 Convergence, divergence . . . 2 1.2 Opérations algébriques sur les suites convergentes . . . 3

2 Passage à la limite et relations d'ordre 3

3 Suites adjacentes 5

4 Rappel des croissances comparées 5

1 Limite d'une suite

1.1 Convergence, divergence

Soit ` un nombre réel. On dit que la suite (un)n∈N converge vers ` lorsque tout intervalle ouvert I contenant`contient tous les termes de la suite u sauf un nombre ni. On note lim

n→+∞u_n=`. Dénition (Convergence d'une suite vers un réel).

Remarque. On peut aussi formuler cette dénition comme suit :(un)n∈N converge vers `lorsque pour toutε >0, il existen₀ ∈Ntel que, pour toutn>n₀,

|u_n−`|< ε.

Il s'agit d'une simple traduction de la dénition dans le cas de l'intervalle ouvertI =]`−ε, `+ε[. En eet,

|u_n−`|< ε⇔ −ε < u<sub>n</sub>−` < ε⇔`−ε < u<sub>n</sub>< `+ε⇔u_n∈]`−ε, `+ε[.

La suite (u_n)n∈N admet +∞ (resp. −∞) pour limite lorsque tout intervalle de la forme ]A,+∞[ (resp.

]− ∞, A[) contient tous les termes de la suite u sauf un nombre ni. On dit alors que (un)n∈N diverge vers +∞ (resp. −∞), et on note lim

n→+∞u_n= +∞ (resp.−∞).

Dénition (Divergence d'une suite vers l'inni).

Remarque. On peut aussi formuler cette dénition comme suit :(un)n∈N diverge vers+∞lorsque pour tout A >0, il existen₀∈Ntel que, pour tout entier n>n₀,

un> A.

On peut donc rencontrer trois types de cas diérents en étudiant une limite :

1. La limite existe et est nie : la suite converge vers cette limite (il faut montrer l'existence ET trouver la valeur de la limite).

2. La limite existe mais n'est pas nie (±∞) : la suite diverge vers cette limite.

3. La limite n'existe pas : la suite diverge (par absence de limite).

Lorsque la limite de la suiteu existe, elle est unique.

Proposition (Unicité de la limite).

Démonstration. (démonstration à connaître) On raisonne par l'absurde : supposons que la suiteupossède deux limites distinctes ` et`⁰. Soit ε= ^|`−`₃^0| > 0. Par dénition de la limite, on peut trouver des entiers n₀ etn₁ tels que, pour toutn∈N,

n>n0=⇒ |u_n−`|< ε et n>n1=⇒

un−`⁰ < ε.

Soitn>max(n0, n1). On obtient par inégalité triangulaire : `−`⁰

=

`−u<sub>n</sub>+u<sub>n</sub>−`⁰

6|`−u_n|+

u_n−`⁰

<2ε= 2 3

`−`⁰ . Cette dernière inégalité est absurde. D'où l'unicité de la limite.

Toute suite convergente est bornée.

Proposition.

Démonstration. Soit u une suite qui converge vers un réel `. On considère l'intervalle ouvert I =]`−1, `+ 1[. Par dénition de la limite, il existe un entiern<sub>0</sub> tel que ∀n>n<sub>0</sub>,u<sub>n</sub>∈]`−1, `+ 1[. Donc∀n>n<sub>0</sub>,`−16u_n6`+ 1. Soit un entiern∈Nquelconque, on a donc :

min(u₀, u₁, . . . , u_n0−1, `−1)6u<sub>n</sub>6max(u<sub>0</sub>, u<sub>1</sub>, . . . , u<sub>n0</sub>−1, `+ 1).

Le maximum ou minimum d'un nombre ni de termes existant toujours, cela termine la preuve : la suite est bornée.

1.2 Opérations algébriques sur les suites convergentes

Limite de la somme de deux suitesu etv dans le cas oùuetv admettent des limites :

Somme lim

n→+∞vn=` lim

n→+∞vn= +∞ lim

n→+∞vn=−∞

n→+∞lim un=`<sup>0</sup> `+`⁰ +∞ −∞

n→+∞lim u_n= +∞ +∞ +∞ F.I.

n→+∞lim un=−∞ −∞ F.I. −∞

Limite du produit de deux suitesu etv dans le cas oùu etv admettent des limites :

Produit lim

n→+∞v_n=` >0 lim

n→+∞v_n=` <0 lim

n→+∞v_n= 0 lim

n→+∞v_n= +∞ lim

n→+∞v_n=−∞

n→+∞lim u_n=`⁰ >0 ``<sup>0</sup> ``⁰ 0 +∞ −∞

n→+∞lim un=`⁰ <0 ``<sup>0</sup> ``⁰ 0 −∞ +∞

n→+∞lim u_n= 0 0 0 0 F.I. F.I.

n→+∞lim u_n= +∞ +∞ −∞ F.I. +∞ −∞

n→+∞lim un=−∞ −∞ +∞ F.I. −∞ +∞

2 Passage à la limite et relations d'ordre

Soientuetvdeux suites convergentes, vériant à partir d'un certain rang l'inégalitéu_n6v_n. On a alors :

n→+∞lim un6 lim

n→+∞vn. Proposition (Passage à la limite dans une relation d'ordre).

Démonstration. On raisonne par l'absurde : supposons que lim

n→+∞un> lim

n→+∞vn. La suiteu−v converge alors vers lim

n→+∞u_n− lim

n→+∞v_n>0.

Par dénition de la convergence,]0,+∞[contient tous les termesun−vnsauf un nombre ni. Il existe doncN ∈Ntel que pour toutn>N,u_n−v_n>0. C'est en contradiction avec l'hypothèse de l'énoncé. Donc lim

n→+∞u_n6 lim

n→+∞v_n.

Remarque. Attention, ce résultat ne s'applique que si on sait déjà que les deux limites existent.

Remarque. Attention, ce résultat ne se généralise pas aux inégalités strictes :un< vn6⇒ lim

n→+∞un< lim

n→+∞vn.

Soientu,vetwtrois suites réelles telles que, à partir d'un certain rang,u_n6v_n6w_n. Siuetwconvergent vers une même limite `réelle alorsv converge et lim

n→+∞v_n=`. Théorème (Théorème d'encadrement).

Remarque. Ce théorème donne à la fois l'existence et la valeur de la limite.

Démonstration. (démonstration à connaître) Soit ε >0. D'après les hypothèses, il existe des entiersn₀,n₁ etn₂ tels que :

n>n₀ =⇒u_n6v_n6w_n n>n₁ =⇒u_n∈]`−ε, `+ε[

n>n₂ =⇒w_n∈]`−ε, `+ε[

Pourn>n3:= max(n0, n1, n2), on obtient `−ε < un6vn6wn< `+ε. Donc n>n3=⇒vn∈]`−ε, `+ε[.

Cela termine la preuve.

Soientu etv deux suites réelles telles que, à partir d'un certain rang, u_n6v_n. Siu diverge vers+∞ alorsv diverge vers+∞.

Siv diverge vers −∞alorsu diverge vers−∞. Théorème (Théorème de comparaison).

Démonstration. On montre le premier résultat, le deuxième se montre de la même manière. Soit A >0. D'après les hypothèses, il existe des entiersn0 etn1 tels que :

n>n0 =⇒un6vn

n>n₁ =⇒u_n> A

Pourn>max(n₀, n₁), on a doncv_n>u_n> Adoncv_n> A. Ce qui termine la preuve.

Toute suite croissante et majorée converge vers`, sa borne supérieure.

Toute suite décroissante et minorée converge vers`, sa borne inférieure.

Toute suite croissante non majorée diverge vers+∞. Toute suite décroissante non minorée diverge vers−∞. Théorème (Théorème des suites monotones).

Remarque. L'existence de la borne supérieure ou inférieure est assurée par le théorème de la borne supérieure : {u_n|n ∈ N} est un ensemble de réels non vide, qui admet un majorant quand la suite est majorée, et un minorant quand elle est minorée.

Remarque. Attention, connaître un majorant ne signie pas qu'il s'agit de la limite de la suite.

3 Suites adjacentes

Soientu etv deux suites. On dit qu'elles sont adjacentes lorsque 1. u est croissante,

2. v est décroissante,

3. (un−vn)n∈N converge vers0. Dénition (Suites adjacentes).

Soitu etv deux suites adjacentes telles que uest croissante et v est décroissante. Alors uetv convergent vers une même limite réelle `avec pour tout n∈N :

u_n6`6v_n. Théorème (Convergence des suites adjacentes).

Démonstration. (démonstration à connaître)

u−v converge (vers0), et est donc majorée par un réel M.

∀n∈N,u_n=u_n−v_n+v_n6M+v_n6M+v₀ par décroissance dev. Doncuest majorée. Oruest croissante : par théorème des suites monotones, elle converge vers un réel`u, et on a∀n∈N,`u >un.

∀n ∈ N, v_n = v_n −u_n+u_n > −M +u_n > −M +u₀ par croissance de u. Donc v est minorée. Or v est décroissante : par théorème des suites monotones, elle converge vers un réel`<sub>v</sub>, et on a∀n∈N,`_v 6v_n. Par somme de limites,(un−vn)n∈N converge vers`u−`v. Or on a supposé que cette suite convergeait vers0.

Donc `u =`v. Doncu etvconvergent vers une même limite réelle, et ∀n∈N,un6`6vn.

Exemple 1. Soit, pour toutn>1,u_n=

n

X

p=0

1

p! etv_n=u_n+ 1

n!. Démontrer que ces suites sont adjacentes.

uest croissante car ∀n∈N^∗,

u_n+1−u_n= 1

(n+ 1)! >0.

vest décroissante car ∀n∈N^∗,

vn+1−vn= 1

(n+ 1)! + 1

(n+ 1)! − 1

n!= 2−n−1

(n+ 1)! = 1−n (n+ 1)! 60.

v−u tend vers0 car∀n∈N^∗,

vn−un= 1

n! 7−→_n→+∞0.

Les deux suites sont donc adjacentes. On verra plus tard dans l'année qu'elles convergent verse.

4 Rappel des croissances comparées

Les comparaisons suivantes sont à connaître parfaitement, et réutilisables avec le simple rappel : par croissances comparées . Le tableau est à comprendre comme suit : en cas de produit comportant des éléments de deux colonnes (ou plus), c'est le comportement de la colonne avec le plus faible numéro qui l'emporte.

1 2 3 4

n→+∞lim n! = +∞ q >1, lim

n→+∞qⁿ= +∞ a >0, lim

n→+∞n^a= +∞ b >0, lim

n→+∞(lnn)^b = +∞

n→+∞lim 1

n! = 0 |q|<1, lim

n→+∞qⁿ= 0 a <0, lim

n→+∞n^a= 0 b <0, lim

n→+∞(lnn)^b = 0

Exemple 2. Résolution de formes indéterminées (avec ou sans croissances comparées) : 1. (a) lim

n→+∞n² 1

2 n

= 0 par croissances comparées, car 1 2

<1 (b) lim

n→+∞

ln(n²)

√n = lim

n→+∞

2 ln(n)

n¹² = 0 par croissances comparées.

(c) lim

n→+∞

q n+√

n−√ n

En utilisant la quantité conjuguée, on trouve pour toutn>1 : q

n+√ n−√

n= n+√ n−n pn+√

n+√

n = 1

q1 +^√1_n+ 1 ,

d'où lim

n→+∞

q n+√

n−√ n

= 1 2. 2. (a) lim

n→+∞(n!−eⁿ) = lim

n→+∞n!

1−eⁿ

n!

= +∞ car par croissances comparées, lim

n→+∞

eⁿ n! = 0. (b) lim

n→+∞ 2ⁿ−n²ln(n³)

= lim

n→+∞2ⁿ

1−n²ln(n³) 2ⁿ

= +∞ car |2| > 1 et par croissances comparées,

n→+∞lim

n²ln(n³) 2ⁿ = 0. (c) lim

n→+∞

(n−1)(2n+ 3)

4n² = lim

n→+∞

2n²+n−3 4n² = 1

2. 3. (a) lim

n→+∞

1 n

n

∀n> 1, par positivité de l'expression, _n¹n

= exp ln _n¹n

= exp nln _n¹

. Donc par composition de limites, lim

n→+∞

1 n

n

= 0. (b) lim

n→+∞

1 +1

n n

C'est un piège : on ne peut pas le calculer avec les règles de calcul dont on dispose actuellement. En eet, la limite est à la fois dans la puissance et la parenthèse, on a une forme indéterminée du type 1^+∞. Pour l'étudier rigoureusement, il faudrait passer sous forme exponentielle : comme 1 +¹_n >0, on peut écrire :

1 + 1

n n

= exp

ln

1 + 1 n

n

= exp

nln

1 +1 n

.

Mais même ainsi, l'expression dans l'exponentielle reste une forme indéterminée qui ne se résout pas avec les croissances comparées. Il faudra attendre le chapitre sur les études asymptotiques de suites au deuxième semestre pour les étudier plus en détail et montrer que la suite converge vers e.