1.
(Eexo129.tex)Limite de la suite (
cos 1
n
n2)
2.
(Eexo228.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →
al pour a = −∞ et l = +∞.
3.
(Ecalcloc19.tex)Limite en +∞ de cos πx + 3
π + 3x
4.
(Ecalcloc64.tex)Calculer la limite en 0 de 1
sin x − 1 x + x
25.
(Ecalcloc138.tex)Former un d´ eveloppement limit´ e en −1 ` a l’ordre 1 de |x|
x.
6.
(Ecalcloc65.tex)Calculer la limite en +∞ de
x sin 1 x
x27.
(Ecalcloc111.tex)On admet que f , d´ efinie par, f (x) = 1
3 (e
x− 1 + 2x)
est bijective de R dans R et que la bijection r´ eciproque g admet un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2. Calculer ce d´ eveloppement limit´ e.
8.
(Ecalcloc129.tex)Limite en 0 de
sin(
π3+ x) − sin(
π3− x) cos(
π3+ x) − cos(
π3− x) .
9.
(Ecalcloc103.tex)Soit a > 0 et b < 1, on d´ efinit f par f (x) =
ch a
x + b sh a x
xCalculer un d´ eveloppement limit´ e de f en 0 strictement
`
a gauche ` a l’ordre 1.
10.
(Eexo125.tex)Les fonctions suivantes sont-elles ´ equivalentes en +∞
x → e
√x
, x → e
√x+1
11.
(Ecalcloc53.tex)Soit f une fonction ` a valeurs r´ eelles et stric- tement d´ ecroissante sur ]a, b[. Donner une condition im- pliquant que f admet une limite finie en b.
12.
(Ecalcloc54.tex)Soit f une fonction ` a valeurs r´ eelles et stric- tement croissante sur ]a, b[. Donner une condition impli- quant que f admet une limite finie en b.
13.
(Ecalcloc44.tex)Soit f (x) =
1+xx32. Pr´ eciser f
(5)(0).
14.
(Ecalcloc110.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 en 1 de
x 7→ ln(1 + x + x
3)
15.
(Eexo6.tex)Equivalent en 0 de ´ 1 − cos x
sh x + x
3+√x2+1
16.
(Eexo13.tex)D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de
2−x1.
17.
(Ecalcloc38.tex)En +∞, la fonction x → ln(1 + x) − ln(ch x) admet-elle une direction asymptotique ? une asymptote ?
18.
(Eexo44.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de tan x.
19.
(Eexo101.tex)Limite de
1 + 1 n
2 n20.
(Ecalcloc105.tex)Soit a > 0, sous quelle condition sur le r´ eel b la fonction
x 7→
ch a
x + b sh a x
xest-elle d´ efinie localement strictement ` a gauche de 0 ? 21.
(Eexo209.tex)Limite de la suite dont le nieme terme est
(2 − cos 1
n )
n22.
(Ecalcloc10.tex)Limite en +∞ de
ch 1 x
x223.
(Ecalcloc114.tex)On admet que la fonction d´ efinie par f (x) = xe
x2est une bijection de R dans R et que sa bijection r´ eciproque g admet un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4. Calculer ce d´ eveloppement limit´ e.
24.
(Eexo231.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →
al pour a = +∞ and l = +∞.
25.
(Ecalcloc128.tex)Former un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 de
(6 + 2 cos x)
13.
26.
(Eexo117.tex)Les suites (e
n) et (e
n+1) sont-elles
´ equivalentes ?
27.
(Eexo211.tex)Suite ´ equivalente de la suite dont le nieme terme est
(2 + sin 1 n )
n28.
(Eexo85.tex)D´ eveloppement limit´ e en 1 ` a l’ordre 2 de
lnx2x29.
(Ecalcloc4.tex)On admet la formule de Stirling n! ∼ √
2πn n
ne
−nTrouver une suite ´ equivalente ` a la suite des coefficients du binome
2nn30.
(Ecalcloc12.tex)Limite en +∞ de
ch 1 x
x31.
(Ecalcloc73.tex)Limite de la suite 2(2n + 1)n
n+1(n + 1)
n32.
(Eexo196.tex)Limite en 1 de 2
x− 2
x − 1
33.
(Ecalcloc45.tex)Former un d´ eveloppement limit´ e de √ x en 2 ` a l’ordre 2.
34.
(Eexo106.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de 1
1 + x
435.
(Ecalcloc75.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x
6de la fonction
th x
36.
(Ecalcloc9.tex)Equivalent en ´ −∞ de la fonction ln(1+ch x).
37.
(Ecalcloc137.tex)Former un d´ eveloppement limit´ e en 1 ` a l’ordre 2 de x
x.
38.
(Eexo184.tex)Valeur en 0 de la d´ eriv´ ee ` a l’ordre 4 de ln(cos(ln(ch x)))
39.
(Eexo88.tex)D´ eveloppement en 0 ` a l’ordre 4 de arccos
40.
(Ecalcloc97.tex)Calculer la limite en +∞ de x 7→ (x
2+ 3x)
12− (x
3+ 2x
2)
1341.
(Ecalcloc43.tex)Soit f (x) =
1+xx32. Pr´ eciser f
(2)(0).
42.
(Eexo24.tex)√ D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de 1 + x.
43.
(Ecalcloc11.tex)Limite en +∞ de
cos 1 x
x44.
(Ecalcloc118.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 0 de arctan(1 + u).
45.
(Ecalcloc127.tex)Soit p et q des r´ eels strictement plus grands que 1 et tels que
1p+
1q= 1. Former un ´ equivalent en 1 ` a la fonction
1 p
x+ 1
q
x− 1
46.
(Ecalcloc94.tex)Soit p et q deux r´ eels distincts. Former un
´ equivalent en +∞ de
x 7→ x
p(1 + x)
q− x
q(1 + x)
p47.
(Ecalcloc30.tex)D´ eveloppement limit´ e en 1 ` a l’ordre 3 de 1 + x + x
2+ x
348.
(Ecalcloc58.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre
3 en 0 de √
1 + sin x
49.
(Ecalcloc131.tex)Soit f et g deux fonctions qui ne s’an- nulent pas dans un intervalle contenant a. Quelle est la d´ efinition de « f est n´ egligeable devant g » ?
50.
(Ecalcloc63.tex)Calculer la limite en
π2de (1 − sin x) tan x
51.
(Eexo230.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →
al pour a = +∞ and l = −∞.
52.
(Eexo83.tex)Quelle est la limite de la suite ((1 + n
ln n )
lnnn)
n∈N∗53.
(Eexo198.tex)Limite en 1 de 2
x+ 3
x− 5
x − 1
54.
(Eexo70.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 1 de
1x.
55.
(Ecalcloc48.tex)Donner une ´ equation de la droite asymptote en +∞ de x q
x−1 x+1
.
56.
(Eexo133.tex)Limite en +∞ de (sin 1
x )(ln(1 + e
x))
57.
(Ecalcloc52.tex)Soit f une fonction ` a valeurs r´ eelles et stric- tement d´ ecroissante sur ]a, b[. Donner une condition im- pliquant que f admet une limite finie en a.
58.
(Eexo45.tex)Calculer un d´ eveloppement en 1 avec un reste o( √
1 − x) de :
q 1 − p
1 − x
259.
(Eexo218.tex)Calculer la valeur en 0 de la d´ eriv´ ee quatri` eme de
e
(1−cosx)260.
(Eexo199.tex)Equivalent en 1 de 2 ´
x+ 3
x− 5
61.
(Ecalcloc29.tex)Le th´ eor` eme de passage ` a la limite dans une in´ egalit´ e permet de montrer la convergence d’une suite ou d’une fonction. Vrai ou Faux ?
62.
(Ecalcloc5.tex)On suppose que
n
X
k=1
1 k
2!
n∈N∗
→ S
Trouver la limite de
n
X
k=1
(−1)
k−1k
2!
n∈N∗
63.
(Ecalcloc115.tex)Soit x > 0 et ρ 6= 0 des nombres r´ eels. Pour tout n ∈ N
∗, on pose
u
n= n
ρx(x − 1) · · · (x − n + 1) n!
Exprimer a et b en fonction de x et ρ tels que
ln u
n− ln u
n−1= a n + b
n
2+ o( 1
n
2)
64.
(Eexo210.tex)Suite ´ equivalent de la suite dont le nieme terme est
(1 + cos 1 n )
n65.
(Eexo223.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →
al pour a ∈ R et l ∈ R .
66.
(Ecalcloc89.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de la fonction y v´ erifiant
y
00(x) + y
0(x) + y(x) = x cos x y(0) = 0, y
0(0) = 1
67.
(Ecalcloc85.tex)On se place au voisinage d’un a ∈ R ¯ . Les fonctions u et v sont d´ efinies et ne s’annulent pas dans ce voisinage. Indiquez si les implications ou les relations suivantes sont vraies ou fausses.
u − v → 0 ⇒ u ∼ v u ∈ O(v) ⇒ o(u) ∈ o(v)
u
v → l ∈ R
∗⇒ u ∼ v o(u)O(v) ∈ O(uv)
68.
(Ecalcloc119.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 0 de
arcsin 2x 1 + x
269.
(Eexo229.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →
al pour a = +∞ and l ∈ R .
70.
(Eexo213.tex)Suite ´ equivalente ` a la suite dont le nieme terme est :
( ln(n + 1) ln n )
n− 1
71.
(Eexo226.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →
al pour a = −∞ and l ∈ R
72.
(Ecalcloc84.tex)Donner un ´ equivalent en 0 de sin x−x. ´ Ecrire le r´ esultat pr´ ec´ edent sous la forme d’un d´ eveloppement.
Former un d´ eveloppement de ln(sin x) en 0
++.
73.
(Ecalcloc126.tex)Former un d´ eveloppement asymptotique en +∞ avec un reste en o(e
−t) de
ln(1 + ch t)
74.
(Eexo214.tex)Limite de
( 3
n− 2
n3
n+ 2
n)
n∈N75.
(Ecalcloc36.tex)Calculer le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 1 de
ln(cos x) x
76.
(Eexo16.tex)Quelle est la limite de la suite ((1 + 1
n ln n )
n)
n∈N∗77.
(Ecalcloc26.tex)Classer pour la n´ egligeabilit´ e en 0
+: x
lnx, (| ln x|)
x, x, | ln x|
78.
(Eexo113.tex)Equivalent en 0 de ´ 1 − cos(1 − cos x)
79.
(Eexo29.tex)Equivalent en +∞ ´ de √
tanh x − 1.
80.
(Ecalcloc51.tex)Soit f une fonction ` a valeurs r´ eelles et stric- tement croissante sur ]a, b[. Donner une condition impli- quant que f admet une limite finie en a.
81.
(Ecalcloc116.tex)Soit x > 0 et ρ 6= 0 des nombres r´ eels. Pour tout n ∈ N
∗, on pose
u
n= n
ρx(x − 1) · · · (x − n + 1) n!
Exprimer a et b en fonction de x et ρ tels que
ln u
n+1− ln u
n= a n + b
n
2+ o( 1 n
2)
82.
(Eexo131.tex)Limite en +∞ de arctan
r x
x + 1
83.
(Ecalcloc16.tex)Equivalent en +∞ ´ de ln(th x)
84.
(Eexo20.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 ln cosh x
2 + tan
2x
85.
(Ecalcloc82.tex)Soit a > 0 r´ eel, calculer la limite en a de
√ x − √ a ln x − ln a
86.
(Eexo93.tex)Equivalent en 0 de ´ arcsin x − x
87.
(Ecalcloc109.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 1 de
x 7→ 1 + x + x
388.
(Ecalcloc112.tex)Calculer le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 de
x 7→ e
x−12x2+13x3−14x489.
(Ecalcloc88.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de la fonction y v´ erifiant
y
0(x) + y(x) sin x = cos x, y(0) = 1
90.
(Eexo118.tex)Les suites (e
n) et (e
n+n1) sont-elles
´ equivalentes ?
91.
(Eexo19.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 1
cosh x
92.
(Eexo79.tex)A partir des fonctions suivantes, former des ` groupes de fonctions ´ equivalentes entre elles en 0 :
cos x, sin x, ln x, sinh x, cosh x, tan x,
e
x, ln x + cos x, ln x + x
93.
(Ecalcloc72.tex)On admet que la fonction x → x + ln(1 + x
2)
est bijective de R dans R et que sa bijection r´ eciproque admet en 0 un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3. Calculer ce d´ eveloppement.
94.
(Ecalcloc59.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 en 0 de
(1 + x)
1x95.
(Eexo42.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 1
cos x
96.
(Eexo23.tex)Equivalent simple en +∞ ´ de (ln x)
3− 1 − x.
97.
(Ecalcloc92.tex)Soit a et b r´ eels > 1. On consid` ere les suites (n
n)
n∈N∗
et a
(bn)n∈N∗
Qui est n´ egligeable devant qui ?
98.
(Eexo89.tex)Equivalent en 0 de 1 ´ − cosh(1 − cos x) 99.
(Eexo132.tex)Equivalent simple en +∞ ´ de
− π
4 + arctan r x
x + 1
100.
(Eexo227.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →
al pour a = −∞ and l = −∞.
101.
(Ecalcloc47.tex)Former un d´ eveloppement limit´ e de q
1−x 1+x
en 0 ` a l’ordre 2.
102.
(Ecalcloc22.tex)Equivalent en +∞ ´ de
−x + ln(3 + e
x)
103.
(Eexo102.tex)Limite ` a droite en 0 de (1 + sin x)
x12104.
(Ecalcloc62.tex)Calculer un d´ eveloppement en +∞ de ln(1 + e
x)
Il devra contenir trois termes non nuls et un reste
105.
(Ecalcloc74.tex)Limite de la suite (2n + 1)n
n(n + 1)
n+1106.
(Eexo8.tex)Equivalent en +∞ ´ de e
„
(lnx)2 1+lnx
«
107.
(Ecalcloc108.tex)On suppose que, au voisinage de 0, f (x) = 1 + 2x + o(x)
1 + 2x + o(x)
Parmi les propositions suivantes relatives ` a des propri´ et´ es locales en 0, lesquelles sont vraies ?
(a) : f → 1 (b) : f = 1 + o(x
2) (c) : f = 1 (d) : f = 1 + o(x) (e) : f ∼ 1
108.
(Ecalcloc55.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 0 de
(x + cos x)
x1109.
(Ecalcloc34.tex)Soit k un entier ≥ 3, former un
d´ eveloppement limit´ e en 1 ` a l’ordre 1 de 1 + x + · · · + x
k110.
(Ecalcloc20.tex)Equivalent en +∞ ´ de cos πx + 3
π + 3x − 1 2
111.
(Ecalcloc91.tex)On se place au voisinage de 0. Former un d´ eveloppement limit´ e d’une fonction y de classe C
1et telle que y
0= o(1).
112.
(Ecalcloc14.tex)Equivalent en +∞ ´ de ln(ch x)
113.
(Ecalcloc101.tex)Soit a > 0 et b ∈ R , on d´ efinit f par f (x) =
ch a
x + b sh a x
xCalculer un d´ eveloppement asymptotique de f en +∞
avec un reste o(
x1).
114.
(Ecalcloc121.tex)On admet l’existence de r´ eels α et β stric- tement positifs tels que
f :
( ] − α, α[ →] − β, β[
x 7→ sin(ln(1 + x)) soit bijective. On note g sa bijection r´ eciproque.
Former des d´ eveloppements limit´ es ` a l’ordre 3 en 0 de f (x) et de g(y).
115.
(Eexo224.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →
al pour a ∈ R and l = −∞.
116.
(Ecalcloc117.tex)Soit a
1, · · · , a
p, b
1, · · · , b
pdes r´ eels deux
`
a deux distincts. Pr´ eciser la limite en +∞ puis former d´ eveloppement asymptotique simple de
x 7→ (x − a
1) · · · (x − a
p) (x − b
1) · · · (x − b
p) − 1
117.
(Ecalcloc41.tex)En +∞, la fonction
x → x
1 − e
1xadmet-elle une direction asymptotique ? une asymptote ? Si oui donner son ´ equation.
118.
(Ecalcloc27.tex)Equivalent en 1 de ´
√
1 + x − √
2
119.
(Eexo15.tex)D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de la fonction
arcsin(sh x)
120.
(Eexo104.tex)La fonction suivante converge-t-elle en 0 (1 + sin x)
x12121.
(Eexo216.tex)Suite ´ equivalente ` a ((n + 1)
13− n
13)
n∈N122.
(Ecalcloc7.tex)Equivalent en 0 de la fonction ln(1 + ch ´ x).
123.
(Ecalcloc102.tex)Soit a > 0 et b > −1, on d´ efinit f par f (x) =
ch a
x + b sh a x
xCalculer un d´ eveloppement limit´ e de f en 0 strictement
`
a droite ` a l’ordre 1.
124.
(Ecalcloc57.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de
ln(1 + sh x)
125.
(Ecalcloc37.tex)Calculer le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 de
ln(cos x) x
126.
(Eexo17.tex)La fonction (1+x ln x)
x12admet elle une limite
`
a droite en 0 ?
127.
(Eexo49.tex)Equivalent en 0 de ´ 1 − cos x
sh x + x
chx−1128.
(Ecalcloc25.tex)Classer pour la n´ egligeabilit´ e en +∞ : x
lnx, (ln x)
x, x, ln x
129.
(Eexo94.tex)Classer les fonctions suivantes pour la relation d’´ equivalence en 0 :
cos x, tan x, cos x − 1, cos x + √
x, sin x, arcsin x, x
4− x
22 , (1 + x
2)
1x130.
(Eexo22.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 1 de p 1 + x
2131.
(Eexo10.tex)Au voisinage de 0, classer les fonctions pour la relation d’´ equivalence
tan x, 1 + x, − 1
1 + cos x sin
2x, e
x, sin x, cos x−sin x, cos x−1, e
x+ √
x, (x
2− x) th x 1 + e
x, x+ 1
2 x
32132.
(Ecalcloc66.tex)Calculer la limite en +∞ de (ln x − 1)
1+2 ln1 x133.
(Eexo14.tex)Equivalent simple en 0 de ln(1 + ´ e
x).
134.
(Ecalcloc78.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x
2de la fonction
e
x√ 1 + x
135.
(Ecalcloc81.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x
2de la fonction
ln 3e
x+ e
−x136.
(Ecalcloc123.tex)L’´ equation diff´ erentielle (1 + x
2)y
0(x) + y(x) = arctan x
admet une unique solution f d´ efinie dans R et telle que
f (0) = 0. Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3
en 0 de cette solution.
137.
(Ecalcloc13.tex)Equivalent en +∞ ´ de 2
√x+1x138.
(Eexo32.tex)D´ eveloppement ` a 2 termes en 0 de
sinh1x.
139.
(Eexo100.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de ln(1 − x)
140.
(Ecalcloc28.tex)Equivalent en 1 de ´ q
1 + √ x − √
2
141.
(Ecalcloc49.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans R . Traduire par un d´ eveloppement l’existence d’une droite asymptote au graphe de la fonction en +∞.
142.
(Ecalcloc86.tex)On se place au voisinage d’un a ∈ ¯ R . Les fonctions u et v sont d´ efinies et ne s’annulent pas dans ce voisinage. Indiquez si les implications ou les relations suivantes sont vraies ou fausses.
u − v → 0 ⇒ u − v ∈ O(u) u ∈ O(v) ⇒ o(u) = o(v) u
v → l ∈ R
∗⇒ o(u) = o(v) o(u)O(v) ∈ O(uv)
143.
(Eexo37.tex)Donner un ´ equivalent simple en 0 de ln(1 + cos x)
144.
(Ecalcloc46.tex)Former un d´ eveloppement limit´ e de ln x en e ` a l’ordre 2.
145.
(Ecalcloc83.tex)Calculer la limite en 0 strictement ` a droite de
2 − ln x
− ln x
lnx146.
(Eexo225.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →
al pour a ∈ R and l = +∞.
147.
(Eexo90.tex)D´ evelopper
x2+x+11en +∞ suivant les puis- sances de
1x148.
(Eexo43.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 6 ln 1 + x
21 − x
2149.
(Ecalcloc122.tex)On admet l’existence de r´ eels α et β stric- tement positifs tels que
f :
( ] − α, α[ →] − β, β[
x 7→ ln(1 + sin x) soit bijective. On note g sa bijection r´ eciproque.
Former des d´ eveloppements limit´ es ` a l’ordre 3 en 0 de f (x) et de g(y).
150.
(Ecalcloc1.tex)Trouver une suite ´ equivalente ` a
1 − (1 − 2
n )
n(1 + 1 n )
2nn∈N∗
151.
(Eexo68.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 0 de
cos1x.
152.
(Ecalcloc67.tex)Soit f ∈ C
2( R ) et a un r´ eel fix´ e. Calculer la limite en 0 de
h → 1
h
2(f (a + h) + f (a − h) − 2f (a))
153.
(Eexo27.tex)D´ eveloppement ` a 2 termes en 0 de
sinh1x.
154.
(Eexo186.tex)Valeur en 0 de la d´ eriv´ ee seconde de ln cos x 155.
(Ecalcloc139.tex)En utilisant le d´ eveloppement de l’exponen-
tielle en 0 ` a l’ordre 1, former un d´ eveloppement limit´ e en 0 de
x 7→
Z
x2 x3e
−t2dt.
156.
(Eexo185.tex)Valeur en 0 de la d´ eriv´ ee seconde de ln ch x
157.
(Eexo99.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 de
√ 1 − x
158.
(Eexo115.tex)Si deux suites sont ´ equivalentes, leur diffe- rence converge-t-elle vers 0 ?
159.
(Ecalcloc2.tex)Trouver une suite ´ equivalente ` a
1 (1 − 2
n )
n
n∈N∗
160.
(Eexo122.tex)Calculer des ´ equivalents simples aux extr´ emit´ es du domaine de
x → x
2− 1 ln x
161.
(Ecalcloc135.tex)Former un d´ eveloppement limit´ e en
π3` a l’ordre 1 de
arctan(2 sin x).
162.
(Ecalcloc33.tex)Former un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de
ln(x
2+ x + 1)
163.
(Eexo183.tex)Equivalent en 0 de ln(cos(ln(ch x)))
164.
(Eexo7.tex)Equivalent en 0 de ´ (1 + x
2)
1/x− 1
165.
(Eexo18.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de arctan
166.
(Ecalcloc133.tex)Ecrire le nombre d´ ´ ecimal 1.1111 · · · (il n’est form´ e que de 1) comme la limite d’une suite. En d´ eduire son ´ ecriture rationnelle.
167.
(Eexo35.tex)Equivalent en 0 de ´ (cos x)
1/x− 1
168.
(Eexo217.tex)Limite en
π6de cos x − √
3 sin x 1 − 2 sin x
169.
(Ecalcloc68.tex)Soit f une fonction d´ efinie dans un inter- valle ouvert contenant 0 et admettant un d´ eveloppement limit´ e
f (x) = a + bx + cx
2+ o(x
2) Cette fonction est-elle deux fois d´ erivable en 0 ?
170.
(Ecalcloc31.tex)Former un d´ eveloppement en +∞ avec un reste en o(
x13) de
ln(1 + x + x
2)
171.
(Ecalcloc39.tex)En +∞, la fonction x → ln(1+x)−ln(x ch x) admet-elle une direction asymptotique ? une asymptote ? Si oui donner son ´ equation.
172.
(Eexo38.tex)Donner un ´ equivalent simple en +∞ de x + (ln x)
3173.
(Eexo9.tex)D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 4 en 0 de
√11+x2
. 174.
(Eexo112.tex)D´ eveloppement ` a deux termes en 0 de
1 sin x
175.
(Ecalcloc90.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 de la fonction y v´ erifiant
y
0(x) + y(x) cos x = sin x
y(0) = 0,
176.
(Eexo81.tex)D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de ln(
coshxcosx)
177.
(Ecalcloc70.tex)Soit a > 0. D´ eterminer une fonction simple
´ equivalente en a ` a la fonction x → a
n− x
n178.
(Ecalcloc107.tex)Calculer la valeur en 0 de la d´ eriv´ ee qua- tri` eme de ch ◦ ln ◦ ch.
179.
(Ecalcloc23.tex)Equivalent en 1 de ´
√
1 + x − 1
180.
(Eexo80.tex)D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 5 en 0 de ln(1 + x + 1
2 x
2+ 1 3! x
3+ 1
4! x
4)
181.
(Eexo105.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de 1
1 + x
182.
(Ecalcloc136.tex)Former le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 5 de
ln(1 + x + x
2).
183.
(Eexo145.tex)Soit f une fonction d´ erivable dans un inter- valle ouvert contenant 0. L’implication suivante est-elle vraie ?
f (x) − f (0)
x →
0
0 ⇒ f
0→
0
0
184.
(Eexo134.tex)Equivalent simple en +∞ ´ de
−x + ln(1 + e
x)
185.
(Ecalcloc99.tex)Calculer le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 de
x 7→ cos(ln(cos x))
186.
(Ecalcloc69.tex)D´ eterminer une fonction simple ´ equivalente en 0 ` a la fonction
x → 1 sin x + 1
sh x − 2 x
187.
(Eexo4.tex)Quelle est la limite de la suite ((1 +
1n)
n)
n∈N∗?
188.
(Eexo127.tex)Limite de la suite (
3.2
n1− 2.3
n1n)
189.
(Ecalcloc120.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 1 de
1 − x
21 + x
2190.
(Eexo103.tex)Limite ` a gauche en 0 de (1 + sin x)
x12191.
(Eexo33.tex)Equivalent en 0 de ´ (cosh x)
√
cosx−(sin(xlnx))2
192.
(Eexo124.tex)Equivalent simple de la suite (ch ´ √ n + 1) 193.
(Ecalcloc100.tex)Calculer la valeur en 0 de la d´ eriv´ ee qua-
tri` eme de cos ◦ ln ◦ cos.
194.
(Ecalcloc6.tex)Soit p un entier fix´ e, d´ eterminer un suite
´
equivalente ` a
n p
n≥p
195.
(Ecalcloc8.tex)Equivalent en +∞ ´ de la fonction ln(1+ch x).
196.
(Ecalcloc79.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x
3de la fonction
ln
2(1 + x)
197.
(Eexo25.tex)D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de ln(1 − sin x)
.
198.
(Ecalcloc42.tex)Donner un ´ equivalent simple en +∞ de (1 + cos 1
x )
x2199.
(Ecalcloc24.tex)Equivalent en 1 de ´ q
1 + √ x − 1
200.
(Ecalcloc106.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 de ch(ln(ch x)).
201.
(Eexo128.tex)Classer les suites donn´ ees en groupes de suites
´ equivalentes entre elles (cos 1
n ), (e
1n− 1), (ln(n + √ n)), (e
cos2n+1πn), ( 1
n ), (e
n1), (ln n)
202.
(Eexo197.tex)Equivalent en 1 de 2 ´
x− 2 203.
(Eexo215.tex)Equivalent de ´
( 3
n− 2
n3
n+ 2
n− 1)
n∈N204.
(Ecalcloc124.tex)L’´ equation diff´ erentielle y
00(x) − 3y
0(x) + 2y(x) = ch x
admet une unique solution f d´ efinie dans R et v´ erifiant f(0) = 1 f
0(0) = 0
Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 4 en 0 de cette fonction.
205.
(Ecalcloc61.tex)Calculer un d´ eveloppement en +∞ de r x − 1
x + 1
Il devra contenir trois termes non nuls et un reste
206.
(Ecalcloc40.tex)En +∞, la fonction
x → x
1 + e
1xadmet-elle une direction asymptotique ? une asymptote ? Si oui donner son ´ equation.
207.
(Ecalcloc96.tex)Soit 0 < p < q, d´ eterminer une fonction u simple telle que, en 0 (strictement ` a droite),
(1 + x
p)
q∼ u(x)
D´ eterminer un ´ equivalent en 0 (strictement ` a droite) de (1 + x
p)
q− u(x)
D´ eterminer un ´ equivalent en 0 (strictement ` a droite) de (1 + x
p)
q− (1 + x
q)
p208.
(Ecalcloc132.tex)Soit a
1, · · · , a
pdes r´ eels fix´ es. Calculer le d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 en 0 de
(1 + a
1x)(1 + a
2x) · · · (1 + a
px)
Pour p entier fix´ e, calculer le d´ eveloppement asympto- tique avec un reste o(n
p−1) de la suite
n p
n≥p
209.
(Eexo130.tex)limite de la suite ( sin n
n )
210.
(Ecalcloc104.tex)Soit a > 0, sous quelle condition sur le r´ eel b la fonction
x 7→
ch a
x + b sh a x
xest-elle d´ efinie localement strictement ` a droite de 0 ? 211.
(Ecalcloc56.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre
2 en 1 de
x
2arctan(x − 1)
212.
(Ecalcloc60.tex)Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 4 en 0 de
arcsin x
√ 1 + x
2213.
(Ecalcloc18.tex)Limite de la suite cos n − 1
n
2n∈N∗
214.
(Ecalcloc21.tex)Equivalent en +∞ ´ de
−x + ln(1 + 3e
x)
215.
(Eexo123.tex)Calculer des ´ equivalents simples aux extr´ emit´ es du domaine de
x → √ x
1 − 1
x
x216.
(Ecalcloc113.tex)Soit ϕ d´ efinie dans
−
12,
12par : ϕ(x) =
Z
2x−x
ln(1 + t) ln(1 − t) dt
Former un d´ eveloppement limit´ e de ϕ en 0 ` a l’ordre 3.
217.
(Eexo36.tex)Equivalent en +∞ ´ de e
(lnx)2 +ln2+lnx x218.
(Ecalcloc95.tex)Soit 0 < p < q, d´ eterminer une fonction u simple telle que, en +∞,
(1 + x
p)
q∼ u(x) D´ eterminer un ´ equivalent en +∞ de (1 + x
p)
q− u(x) D´ eterminer un ´ equivalent en +∞ de
(1 + x
p)
q− (1 + x
q)
p219.
(Eexo114.tex)Equivalent en 0 de ´ cos (ln(arccos x)) − cos
ln π 2
220.
(Ecalcloc3.tex)Trouver une suite ´ equivalente ` a
(1 − 2
n )
−n− (1 + 1 n )
2nn∈N∗
221.
(Ecalcloc80.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x
2de la fonction
sin x x + x
2+ x
3222.
(Eexo72.tex)D´ eveloppement en 0 de
x+x12+x3.
223.
(Ecalcloc125.tex)Former un ´ equivalent en +∞ de e
2xe
x+ 1 et de
e
2xe
x+ 1
(ex)224.
(Eexo110.tex)D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 de arcsin x
225.
(Ecalcloc15.tex)Equivalent en +∞ ´ de ln(sh x)
226.
(Eexo86.tex)Calculer la valeur en 0 de la d´ eriv´ ee troisi` eme de
e
(1−cosx)2227.
(Eexo273.tex)Former un d´ eveloppement asymptotique en +∞ de
q x + √
x − √ x avec un reste en o(
√1x)
228.
(Eexo5.tex)Equivalent en 0 de ´ (cos x)
√
cosx+(sin(xlnx))2