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Limite de la suite (

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1.

(Eexo129.tex)

Limite de la suite (

cos 1

n

n2

)

2.

(Eexo228.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →

a

l pour a = −∞ et l = +∞.

3.

(Ecalcloc19.tex)

Limite en +∞ de cos πx + 3

π + 3x

4.

(Ecalcloc64.tex)

Calculer la limite en 0 de 1

sin x − 1 x + x

2

5.

(Ecalcloc138.tex)

Former un d´ eveloppement limit´ e en −1 ` a l’ordre 1 de |x|

x

.

6.

(Ecalcloc65.tex)

Calculer la limite en +∞ de

x sin 1 x

x2

7.

(Ecalcloc111.tex)

On admet que f , d´ efinie par, f (x) = 1

3 (e

x

− 1 + 2x)

est bijective de R dans R et que la bijection r´ eciproque g admet un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2. Calculer ce d´ eveloppement limit´ e.

8.

(Ecalcloc129.tex)

Limite en 0 de

sin(

π3

+ x) − sin(

π3

− x) cos(

π3

+ x) − cos(

π3

− x) .

9.

(Ecalcloc103.tex)

Soit a > 0 et b < 1, on d´ efinit f par f (x) =

ch a

x + b sh a x

x

Calculer un d´ eveloppement limit´ e de f en 0 strictement

`

a gauche ` a l’ordre 1.

10.

(Eexo125.tex)

Les fonctions suivantes sont-elles ´ equivalentes en +∞

x → e

√x

, x → e

√x+1

11.

(Ecalcloc53.tex)

Soit f une fonction ` a valeurs r´ eelles et stric- tement d´ ecroissante sur ]a, b[. Donner une condition im- pliquant que f admet une limite finie en b.

12.

(Ecalcloc54.tex)

Soit f une fonction ` a valeurs r´ eelles et stric- tement croissante sur ]a, b[. Donner une condition impli- quant que f admet une limite finie en b.

13.

(Ecalcloc44.tex)

Soit f (x) =

1+xx32

. Pr´ eciser f

(5)

(0).

14.

(Ecalcloc110.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 en 1 de

x 7→ ln(1 + x + x

3

)

15.

(Eexo6.tex)

Equivalent en 0 de ´ 1 − cos x

sh x + x

3+

√x2+1

16.

(Eexo13.tex)

D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de

2−x1

.

17.

(Ecalcloc38.tex)

En +∞, la fonction x → ln(1 + x) − ln(ch x) admet-elle une direction asymptotique ? une asymptote ?

18.

(Eexo44.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de tan x.

19.

(Eexo101.tex)

Limite de

1 + 1 n

2

n

20.

(Ecalcloc105.tex)

Soit a > 0, sous quelle condition sur le r´ eel b la fonction

x 7→

ch a

x + b sh a x

x

est-elle d´ efinie localement strictement ` a gauche de 0 ? 21.

(Eexo209.tex)

Limite de la suite dont le nieme terme est

(2 − cos 1

n )

n

(2)

22.

(Ecalcloc10.tex)

Limite en +∞ de

ch 1 x

x2

23.

(Ecalcloc114.tex)

On admet que la fonction d´ efinie par f (x) = xe

x2

est une bijection de R dans R et que sa bijection r´ eciproque g admet un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4. Calculer ce d´ eveloppement limit´ e.

24.

(Eexo231.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →

a

l pour a = +∞ and l = +∞.

25.

(Ecalcloc128.tex)

Former un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 de

(6 + 2 cos x)

13

.

26.

(Eexo117.tex)

Les suites (e

n

) et (e

n+1

) sont-elles

´ equivalentes ?

27.

(Eexo211.tex)

Suite ´ equivalente de la suite dont le nieme terme est

(2 + sin 1 n )

n

28.

(Eexo85.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 1 ` a l’ordre 2 de

lnx2x

29.

(Ecalcloc4.tex)

On admet la formule de Stirling n! ∼ √

2πn n

n

e

−n

Trouver une suite ´ equivalente ` a la suite des coefficients du binome

2nn

30.

(Ecalcloc12.tex)

Limite en +∞ de

ch 1 x

x

31.

(Ecalcloc73.tex)

Limite de la suite 2(2n + 1)n

n+1

(n + 1)

n

32.

(Eexo196.tex)

Limite en 1 de 2

x

− 2

x − 1

33.

(Ecalcloc45.tex)

Former un d´ eveloppement limit´ e de √ x en 2 ` a l’ordre 2.

34.

(Eexo106.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de 1

1 + x

4

35.

(Ecalcloc75.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x

6

de la fonction

th x

36.

(Ecalcloc9.tex)

Equivalent en ´ −∞ de la fonction ln(1+ch x).

37.

(Ecalcloc137.tex)

Former un d´ eveloppement limit´ e en 1 ` a l’ordre 2 de x

x

.

38.

(Eexo184.tex)

Valeur en 0 de la d´ eriv´ ee ` a l’ordre 4 de ln(cos(ln(ch x)))

39.

(Eexo88.tex)

D´ eveloppement en 0 ` a l’ordre 4 de arccos

40.

(Ecalcloc97.tex)

Calculer la limite en +∞ de x 7→ (x

2

+ 3x)

12

− (x

3

+ 2x

2

)

13

41.

(Ecalcloc43.tex)

Soit f (x) =

1+xx32

. Pr´ eciser f

(2)

(0).

42.

(Eexo24.tex)

√ D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de 1 + x.

43.

(Ecalcloc11.tex)

Limite en +∞ de

cos 1 x

x

(3)

44.

(Ecalcloc118.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 0 de arctan(1 + u).

45.

(Ecalcloc127.tex)

Soit p et q des r´ eels strictement plus grands que 1 et tels que

1p

+

1q

= 1. Former un ´ equivalent en 1 ` a la fonction

1 p

x

+ 1

q

x

− 1

46.

(Ecalcloc94.tex)

Soit p et q deux r´ eels distincts. Former un

´ equivalent en +∞ de

x 7→ x

p

(1 + x)

q

− x

q

(1 + x)

p

47.

(Ecalcloc30.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 1 ` a l’ordre 3 de 1 + x + x

2

+ x

3

48.

(Ecalcloc58.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre

3 en 0 de √

1 + sin x

49.

(Ecalcloc131.tex)

Soit f et g deux fonctions qui ne s’an- nulent pas dans un intervalle contenant a. Quelle est la d´ efinition de « f est n´ egligeable devant g » ?

50.

(Ecalcloc63.tex)

Calculer la limite en

π2

de (1 − sin x) tan x

51.

(Eexo230.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →

a

l pour a = +∞ and l = −∞.

52.

(Eexo83.tex)

Quelle est la limite de la suite ((1 + n

ln n )

lnnn

)

n∈N

53.

(Eexo198.tex)

Limite en 1 de 2

x

+ 3

x

− 5

x − 1

54.

(Eexo70.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 1 de

1x

.

55.

(Ecalcloc48.tex)

Donner une ´ equation de la droite asymptote en +∞ de x q

x−1 x+1

.

56.

(Eexo133.tex)

Limite en +∞ de (sin 1

x )(ln(1 + e

x

))

57.

(Ecalcloc52.tex)

Soit f une fonction ` a valeurs r´ eelles et stric- tement d´ ecroissante sur ]a, b[. Donner une condition im- pliquant que f admet une limite finie en a.

58.

(Eexo45.tex)

Calculer un d´ eveloppement en 1 avec un reste o( √

1 − x) de :

q 1 − p

1 − x

2

59.

(Eexo218.tex)

Calculer la valeur en 0 de la d´ eriv´ ee quatri` eme de

e

(1−cosx)2

60.

(Eexo199.tex)

Equivalent en 1 de 2 ´

x

+ 3

x

− 5

61.

(Ecalcloc29.tex)

Le th´ eor` eme de passage ` a la limite dans une in´ egalit´ e permet de montrer la convergence d’une suite ou d’une fonction. Vrai ou Faux ?

62.

(Ecalcloc5.tex)

On suppose que

n

X

k=1

1 k

2

!

n∈N

→ S

Trouver la limite de

n

X

k=1

(−1)

k−1

k

2

!

n∈N

63.

(Ecalcloc115.tex)

Soit x > 0 et ρ 6= 0 des nombres r´ eels. Pour tout n ∈ N

, on pose

u

n

= n

ρ

x(x − 1) · · · (x − n + 1) n!

Exprimer a et b en fonction de x et ρ tels que

ln u

n

− ln u

n−1

= a n + b

n

2

+ o( 1

n

2

)

(4)

64.

(Eexo210.tex)

Suite ´ equivalent de la suite dont le nieme terme est

(1 + cos 1 n )

n

65.

(Eexo223.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →

a

l pour a ∈ R et l ∈ R .

66.

(Ecalcloc89.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de la fonction y v´ erifiant

y

00

(x) + y

0

(x) + y(x) = x cos x y(0) = 0, y

0

(0) = 1

67.

(Ecalcloc85.tex)

On se place au voisinage d’un a ∈ R ¯ . Les fonctions u et v sont d´ efinies et ne s’annulent pas dans ce voisinage. Indiquez si les implications ou les relations suivantes sont vraies ou fausses.

u − v → 0 ⇒ u ∼ v u ∈ O(v) ⇒ o(u) ∈ o(v)

u

v → l ∈ R

⇒ u ∼ v o(u)O(v) ∈ O(uv)

68.

(Ecalcloc119.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 0 de

arcsin 2x 1 + x

2

69.

(Eexo229.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →

a

l pour a = +∞ and l ∈ R .

70.

(Eexo213.tex)

Suite ´ equivalente ` a la suite dont le nieme terme est :

( ln(n + 1) ln n )

n

− 1

71.

(Eexo226.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →

a

l pour a = −∞ and l ∈ R

72.

(Ecalcloc84.tex)

Donner un ´ equivalent en 0 de sin x−x. ´ Ecrire le r´ esultat pr´ ec´ edent sous la forme d’un d´ eveloppement.

Former un d´ eveloppement de ln(sin x) en 0

++

.

73.

(Ecalcloc126.tex)

Former un d´ eveloppement asymptotique en +∞ avec un reste en o(e

−t

) de

ln(1 + ch t)

74.

(Eexo214.tex)

Limite de

( 3

n

− 2

n

3

n

+ 2

n

)

n∈N

75.

(Ecalcloc36.tex)

Calculer le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 1 de

ln(cos x) x

76.

(Eexo16.tex)

Quelle est la limite de la suite ((1 + 1

n ln n )

n

)

n∈N

77.

(Ecalcloc26.tex)

Classer pour la n´ egligeabilit´ e en 0

+

: x

lnx

, (| ln x|)

x

, x, | ln x|

78.

(Eexo113.tex)

Equivalent en 0 de ´ 1 − cos(1 − cos x)

79.

(Eexo29.tex)

Equivalent en +∞ ´ de √

tanh x − 1.

80.

(Ecalcloc51.tex)

Soit f une fonction ` a valeurs r´ eelles et stric- tement croissante sur ]a, b[. Donner une condition impli- quant que f admet une limite finie en a.

81.

(Ecalcloc116.tex)

Soit x > 0 et ρ 6= 0 des nombres r´ eels. Pour tout n ∈ N

, on pose

u

n

= n

ρ

x(x − 1) · · · (x − n + 1) n!

Exprimer a et b en fonction de x et ρ tels que

ln u

n+1

− ln u

n

= a n + b

n

2

+ o( 1 n

2

)

82.

(Eexo131.tex)

Limite en +∞ de arctan

r x

x + 1

(5)

83.

(Ecalcloc16.tex)

Equivalent en +∞ ´ de ln(th x)

84.

(Eexo20.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 ln cosh x

2 + tan

2

x

85.

(Ecalcloc82.tex)

Soit a > 0 r´ eel, calculer la limite en a de

√ x − √ a ln x − ln a

86.

(Eexo93.tex)

Equivalent en 0 de ´ arcsin x − x

87.

(Ecalcloc109.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 1 de

x 7→ 1 + x + x

3

88.

(Ecalcloc112.tex)

Calculer le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 de

x 7→ e

x−12x2+13x314x4

89.

(Ecalcloc88.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de la fonction y v´ erifiant

y

0

(x) + y(x) sin x = cos x, y(0) = 1

90.

(Eexo118.tex)

Les suites (e

n

) et (e

n+n1

) sont-elles

´ equivalentes ?

91.

(Eexo19.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 1

cosh x

92.

(Eexo79.tex)

A partir des fonctions suivantes, former des ` groupes de fonctions ´ equivalentes entre elles en 0 :

cos x, sin x, ln x, sinh x, cosh x, tan x,

e

x

, ln x + cos x, ln x + x

93.

(Ecalcloc72.tex)

On admet que la fonction x → x + ln(1 + x

2

)

est bijective de R dans R et que sa bijection r´ eciproque admet en 0 un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3. Calculer ce d´ eveloppement.

94.

(Ecalcloc59.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 en 0 de

(1 + x)

1x

95.

(Eexo42.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 1

cos x

96.

(Eexo23.tex)

Equivalent simple en +∞ ´ de (ln x)

3

− 1 − x.

97.

(Ecalcloc92.tex)

Soit a et b r´ eels > 1. On consid` ere les suites (n

n

)

n∈

N

et a

(bn)

n∈N

Qui est n´ egligeable devant qui ?

98.

(Eexo89.tex)

Equivalent en 0 de 1 ´ − cosh(1 − cos x) 99.

(Eexo132.tex)

Equivalent simple en +∞ ´ de

− π

4 + arctan r x

x + 1

100.

(Eexo227.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →

a

l pour a = −∞ and l = −∞.

101.

(Ecalcloc47.tex)

Former un d´ eveloppement limit´ e de q

1−x 1+x

en 0 ` a l’ordre 2.

(6)

102.

(Ecalcloc22.tex)

Equivalent en +∞ ´ de

−x + ln(3 + e

x

)

103.

(Eexo102.tex)

Limite ` a droite en 0 de (1 + sin x)

x12

104.

(Ecalcloc62.tex)

Calculer un d´ eveloppement en +∞ de ln(1 + e

x

)

Il devra contenir trois termes non nuls et un reste

105.

(Ecalcloc74.tex)

Limite de la suite (2n + 1)n

n

(n + 1)

n+1

106.

(Eexo8.tex)

Equivalent en +∞ ´ de e

(lnx)2 1+lnx

«

107.

(Ecalcloc108.tex)

On suppose que, au voisinage de 0, f (x) = 1 + 2x + o(x)

1 + 2x + o(x)

Parmi les propositions suivantes relatives ` a des propri´ et´ es locales en 0, lesquelles sont vraies ?

(a) : f → 1 (b) : f = 1 + o(x

2

) (c) : f = 1 (d) : f = 1 + o(x) (e) : f ∼ 1

108.

(Ecalcloc55.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 0 de

(x + cos x)

x1

109.

(Ecalcloc34.tex)

Soit k un entier ≥ 3, former un

d´ eveloppement limit´ e en 1 ` a l’ordre 1 de 1 + x + · · · + x

k

110.

(Ecalcloc20.tex)

Equivalent en +∞ ´ de cos πx + 3

π + 3x − 1 2

111.

(Ecalcloc91.tex)

On se place au voisinage de 0. Former un d´ eveloppement limit´ e d’une fonction y de classe C

1

et telle que y

0

= o(1).

112.

(Ecalcloc14.tex)

Equivalent en +∞ ´ de ln(ch x)

113.

(Ecalcloc101.tex)

Soit a > 0 et b ∈ R , on d´ efinit f par f (x) =

ch a

x + b sh a x

x

Calculer un d´ eveloppement asymptotique de f en +∞

avec un reste o(

x1

).

114.

(Ecalcloc121.tex)

On admet l’existence de r´ eels α et β stric- tement positifs tels que

f :

( ] − α, α[ →] − β, β[

x 7→ sin(ln(1 + x)) soit bijective. On note g sa bijection r´ eciproque.

Former des d´ eveloppements limit´ es ` a l’ordre 3 en 0 de f (x) et de g(y).

115.

(Eexo224.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →

a

l pour a ∈ R and l = −∞.

116.

(Ecalcloc117.tex)

Soit a

1

, · · · , a

p

, b

1

, · · · , b

p

des r´ eels deux

`

a deux distincts. Pr´ eciser la limite en +∞ puis former d´ eveloppement asymptotique simple de

x 7→ (x − a

1

) · · · (x − a

p

) (x − b

1

) · · · (x − b

p

) − 1

117.

(Ecalcloc41.tex)

En +∞, la fonction

x → x

1 − e

1x

admet-elle une direction asymptotique ? une asymptote ? Si oui donner son ´ equation.

118.

(Ecalcloc27.tex)

Equivalent en 1 de ´

1 + x − √

2

(7)

119.

(Eexo15.tex)

D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de la fonction

arcsin(sh x)

120.

(Eexo104.tex)

La fonction suivante converge-t-elle en 0 (1 + sin x)

x12

121.

(Eexo216.tex)

Suite ´ equivalente ` a ((n + 1)

13

− n

13

)

n∈N

122.

(Ecalcloc7.tex)

Equivalent en 0 de la fonction ln(1 + ch ´ x).

123.

(Ecalcloc102.tex)

Soit a > 0 et b > −1, on d´ efinit f par f (x) =

ch a

x + b sh a x

x

Calculer un d´ eveloppement limit´ e de f en 0 strictement

`

a droite ` a l’ordre 1.

124.

(Ecalcloc57.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de

ln(1 + sh x)

125.

(Ecalcloc37.tex)

Calculer le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 de

ln(cos x) x

126.

(Eexo17.tex)

La fonction (1+x ln x)

x12

admet elle une limite

`

a droite en 0 ?

127.

(Eexo49.tex)

Equivalent en 0 de ´ 1 − cos x

sh x + x

chx−1

128.

(Ecalcloc25.tex)

Classer pour la n´ egligeabilit´ e en +∞ : x

lnx

, (ln x)

x

, x, ln x

129.

(Eexo94.tex)

Classer les fonctions suivantes pour la relation d’´ equivalence en 0 :

cos x, tan x, cos x − 1, cos x + √

x, sin x, arcsin x, x

4

− x

2

2 , (1 + x

2

)

1x

130.

(Eexo22.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 1 de p 1 + x

2

131.

(Eexo10.tex)

Au voisinage de 0, classer les fonctions pour la relation d’´ equivalence

tan x, 1 + x, − 1

1 + cos x sin

2

x, e

x

, sin x, cos x−sin x, cos x−1, e

x

+ √

x, (x

2

− x) th x 1 + e

x

, x+ 1

2 x

32

132.

(Ecalcloc66.tex)

Calculer la limite en +∞ de (ln x − 1)

1+2 ln1 x

133.

(Eexo14.tex)

Equivalent simple en 0 de ln(1 + ´ e

x

).

134.

(Ecalcloc78.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x

2

de la fonction

e

x

√ 1 + x

135.

(Ecalcloc81.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x

2

de la fonction

ln 3e

x

+ e

−x

136.

(Ecalcloc123.tex)

L’´ equation diff´ erentielle (1 + x

2

)y

0

(x) + y(x) = arctan x

admet une unique solution f d´ efinie dans R et telle que

f (0) = 0. Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3

en 0 de cette solution.

(8)

137.

(Ecalcloc13.tex)

Equivalent en +∞ ´ de 2

x+1x

138.

(Eexo32.tex)

D´ eveloppement ` a 2 termes en 0 de

sinh1x

.

139.

(Eexo100.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de ln(1 − x)

140.

(Ecalcloc28.tex)

Equivalent en 1 de ´ q

1 + √ x − √

2

141.

(Ecalcloc49.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans R . Traduire par un d´ eveloppement l’existence d’une droite asymptote au graphe de la fonction en +∞.

142.

(Ecalcloc86.tex)

On se place au voisinage d’un a ∈ ¯ R . Les fonctions u et v sont d´ efinies et ne s’annulent pas dans ce voisinage. Indiquez si les implications ou les relations suivantes sont vraies ou fausses.

u − v → 0 ⇒ u − v ∈ O(u) u ∈ O(v) ⇒ o(u) = o(v) u

v → l ∈ R

⇒ o(u) = o(v) o(u)O(v) ∈ O(uv)

143.

(Eexo37.tex)

Donner un ´ equivalent simple en 0 de ln(1 + cos x)

144.

(Ecalcloc46.tex)

Former un d´ eveloppement limit´ e de ln x en e ` a l’ordre 2.

145.

(Ecalcloc83.tex)

Calculer la limite en 0 strictement ` a droite de

2 − ln x

− ln x

lnx

146.

(Eexo225.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans un intervalle I, ´ ecrire avec des quantificateurs la d´ efinition de f →

a

l pour a ∈ R and l = +∞.

147.

(Eexo90.tex)

D´ evelopper

x2+x+11

en +∞ suivant les puis- sances de

1x

148.

(Eexo43.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 6 ln 1 + x

2

1 − x

2

149.

(Ecalcloc122.tex)

On admet l’existence de r´ eels α et β stric- tement positifs tels que

f :

( ] − α, α[ →] − β, β[

x 7→ ln(1 + sin x) soit bijective. On note g sa bijection r´ eciproque.

Former des d´ eveloppements limit´ es ` a l’ordre 3 en 0 de f (x) et de g(y).

150.

(Ecalcloc1.tex)

Trouver une suite ´ equivalente ` a

1 − (1 − 2

n )

n

(1 + 1 n )

2n

n∈N

151.

(Eexo68.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 0 de

cos1x

.

152.

(Ecalcloc67.tex)

Soit f ∈ C

2

( R ) et a un r´ eel fix´ e. Calculer la limite en 0 de

h → 1

h

2

(f (a + h) + f (a − h) − 2f (a))

153.

(Eexo27.tex)

D´ eveloppement ` a 2 termes en 0 de

sinh1x

.

154.

(Eexo186.tex)

Valeur en 0 de la d´ eriv´ ee seconde de ln cos x 155.

(Ecalcloc139.tex)

En utilisant le d´ eveloppement de l’exponen-

tielle en 0 ` a l’ordre 1, former un d´ eveloppement limit´ e en 0 de

x 7→

Z

x2 x3

e

−t2

dt.

156.

(Eexo185.tex)

Valeur en 0 de la d´ eriv´ ee seconde de ln ch x

(9)

157.

(Eexo99.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 de

√ 1 − x

158.

(Eexo115.tex)

Si deux suites sont ´ equivalentes, leur diffe- rence converge-t-elle vers 0 ?

159.

(Ecalcloc2.tex)

Trouver une suite ´ equivalente ` a

 1 (1 − 2

n )

n

n∈N

160.

(Eexo122.tex)

Calculer des ´ equivalents simples aux extr´ emit´ es du domaine de

x → x

2

− 1 ln x

161.

(Ecalcloc135.tex)

Former un d´ eveloppement limit´ e en

π3

` a l’ordre 1 de

arctan(2 sin x).

162.

(Ecalcloc33.tex)

Former un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de

ln(x

2

+ x + 1)

163.

(Eexo183.tex)

Equivalent en 0 de ln(cos(ln(ch x)))

164.

(Eexo7.tex)

Equivalent en 0 de ´ (1 + x

2

)

1/x

− 1

165.

(Eexo18.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de arctan

166.

(Ecalcloc133.tex)

Ecrire le nombre d´ ´ ecimal 1.1111 · · · (il n’est form´ e que de 1) comme la limite d’une suite. En d´ eduire son ´ ecriture rationnelle.

167.

(Eexo35.tex)

Equivalent en 0 de ´ (cos x)

1/x

− 1

168.

(Eexo217.tex)

Limite en

π6

de cos x − √

3 sin x 1 − 2 sin x

169.

(Ecalcloc68.tex)

Soit f une fonction d´ efinie dans un inter- valle ouvert contenant 0 et admettant un d´ eveloppement limit´ e

f (x) = a + bx + cx

2

+ o(x

2

) Cette fonction est-elle deux fois d´ erivable en 0 ?

170.

(Ecalcloc31.tex)

Former un d´ eveloppement en +∞ avec un reste en o(

x13

) de

ln(1 + x + x

2

)

171.

(Ecalcloc39.tex)

En +∞, la fonction x → ln(1+x)−ln(x ch x) admet-elle une direction asymptotique ? une asymptote ? Si oui donner son ´ equation.

172.

(Eexo38.tex)

Donner un ´ equivalent simple en +∞ de x + (ln x)

3

173.

(Eexo9.tex)

D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 4 en 0 de

1

1+x2

. 174.

(Eexo112.tex)

D´ eveloppement ` a deux termes en 0 de

1 sin x

175.

(Ecalcloc90.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 de la fonction y v´ erifiant

y

0

(x) + y(x) cos x = sin x

y(0) = 0,

(10)

176.

(Eexo81.tex)

D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de ln(

coshxcosx

)

177.

(Ecalcloc70.tex)

Soit a > 0. D´ eterminer une fonction simple

´ equivalente en a ` a la fonction x → a

n

− x

n

178.

(Ecalcloc107.tex)

Calculer la valeur en 0 de la d´ eriv´ ee qua- tri` eme de ch ◦ ln ◦ ch.

179.

(Ecalcloc23.tex)

Equivalent en 1 de ´

1 + x − 1

180.

(Eexo80.tex)

D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 5 en 0 de ln(1 + x + 1

2 x

2

+ 1 3! x

3

+ 1

4! x

4

)

181.

(Eexo105.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de 1

1 + x

182.

(Ecalcloc136.tex)

Former le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 5 de

ln(1 + x + x

2

).

183.

(Eexo145.tex)

Soit f une fonction d´ erivable dans un inter- valle ouvert contenant 0. L’implication suivante est-elle vraie ?

f (x) − f (0)

x →

0

0 ⇒ f

0

0

0

184.

(Eexo134.tex)

Equivalent simple en +∞ ´ de

−x + ln(1 + e

x

)

185.

(Ecalcloc99.tex)

Calculer le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 de

x 7→ cos(ln(cos x))

186.

(Ecalcloc69.tex)

D´ eterminer une fonction simple ´ equivalente en 0 ` a la fonction

x → 1 sin x + 1

sh x − 2 x

187.

(Eexo4.tex)

Quelle est la limite de la suite ((1 +

1n

)

n

)

n∈N

?

188.

(Eexo127.tex)

Limite de la suite (

3.2

n1

− 2.3

n1

n

)

189.

(Ecalcloc120.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 1 de

1 − x

2

1 + x

2

190.

(Eexo103.tex)

Limite ` a gauche en 0 de (1 + sin x)

x12

191.

(Eexo33.tex)

Equivalent en 0 de ´ (cosh x)

cosx−(sin(xlnx))2

192.

(Eexo124.tex)

Equivalent simple de la suite (ch ´ √ n + 1) 193.

(Ecalcloc100.tex)

Calculer la valeur en 0 de la d´ eriv´ ee qua-

tri` eme de cos ◦ ln ◦ cos.

194.

(Ecalcloc6.tex)

Soit p un entier fix´ e, d´ eterminer un suite

´

equivalente ` a

n p

n≥p

195.

(Ecalcloc8.tex)

Equivalent en +∞ ´ de la fonction ln(1+ch x).

196.

(Ecalcloc79.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x

3

de la fonction

ln

2

(1 + x)

(11)

197.

(Eexo25.tex)

D´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3 en 0 de ln(1 − sin x)

.

198.

(Ecalcloc42.tex)

Donner un ´ equivalent simple en +∞ de (1 + cos 1

x )

x2

199.

(Ecalcloc24.tex)

Equivalent en 1 de ´ q

1 + √ x − 1

200.

(Ecalcloc106.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 de ch(ln(ch x)).

201.

(Eexo128.tex)

Classer les suites donn´ ees en groupes de suites

´ equivalentes entre elles (cos 1

n ), (e

1n

− 1), (ln(n + √ n)), (e

cos2n+1πn

), ( 1

n ), (e

n1

), (ln n)

202.

(Eexo197.tex)

Equivalent en 1 de 2 ´

x

− 2 203.

(Eexo215.tex)

Equivalent de ´

( 3

n

− 2

n

3

n

+ 2

n

− 1)

n∈N

204.

(Ecalcloc124.tex)

L’´ equation diff´ erentielle y

00

(x) − 3y

0

(x) + 2y(x) = ch x

admet une unique solution f d´ efinie dans R et v´ erifiant f(0) = 1 f

0

(0) = 0

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 4 en 0 de cette fonction.

205.

(Ecalcloc61.tex)

Calculer un d´ eveloppement en +∞ de r x − 1

x + 1

Il devra contenir trois termes non nuls et un reste

206.

(Ecalcloc40.tex)

En +∞, la fonction

x → x

1 + e

1x

admet-elle une direction asymptotique ? une asymptote ? Si oui donner son ´ equation.

207.

(Ecalcloc96.tex)

Soit 0 < p < q, d´ eterminer une fonction u simple telle que, en 0 (strictement ` a droite),

(1 + x

p

)

q

∼ u(x)

D´ eterminer un ´ equivalent en 0 (strictement ` a droite) de (1 + x

p

)

q

− u(x)

D´ eterminer un ´ equivalent en 0 (strictement ` a droite) de (1 + x

p

)

q

− (1 + x

q

)

p

208.

(Ecalcloc132.tex)

Soit a

1

, · · · , a

p

des r´ eels fix´ es. Calculer le d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 en 0 de

(1 + a

1

x)(1 + a

2

x) · · · (1 + a

p

x)

Pour p entier fix´ e, calculer le d´ eveloppement asympto- tique avec un reste o(n

p−1

) de la suite

n p

n≥p

209.

(Eexo130.tex)

limite de la suite ( sin n

n )

210.

(Ecalcloc104.tex)

Soit a > 0, sous quelle condition sur le r´ eel b la fonction

x 7→

ch a

x + b sh a x

x

est-elle d´ efinie localement strictement ` a droite de 0 ? 211.

(Ecalcloc56.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre

2 en 1 de

x

2

arctan(x − 1)

(12)

212.

(Ecalcloc60.tex)

Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 4 en 0 de

arcsin x

√ 1 + x

2

213.

(Ecalcloc18.tex)

Limite de la suite cos n − 1

n

2

n∈N

214.

(Ecalcloc21.tex)

Equivalent en +∞ ´ de

−x + ln(1 + 3e

x

)

215.

(Eexo123.tex)

Calculer des ´ equivalents simples aux extr´ emit´ es du domaine de

x → √ x

1 − 1

x

x

216.

(Ecalcloc113.tex)

Soit ϕ d´ efinie dans

12

,

12

par : ϕ(x) =

Z

2x

−x

ln(1 + t) ln(1 − t) dt

Former un d´ eveloppement limit´ e de ϕ en 0 ` a l’ordre 3.

217.

(Eexo36.tex)

Equivalent en +∞ ´ de e

(lnx)2 +ln2+lnx x

218.

(Ecalcloc95.tex)

Soit 0 < p < q, d´ eterminer une fonction u simple telle que, en +∞,

(1 + x

p

)

q

∼ u(x) D´ eterminer un ´ equivalent en +∞ de (1 + x

p

)

q

− u(x) D´ eterminer un ´ equivalent en +∞ de

(1 + x

p

)

q

− (1 + x

q

)

p

219.

(Eexo114.tex)

Equivalent en 0 de ´ cos (ln(arccos x)) − cos

ln π 2

220.

(Ecalcloc3.tex)

Trouver une suite ´ equivalente ` a

(1 − 2

n )

−n

− (1 + 1 n )

2n

n∈N

221.

(Ecalcloc80.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x

2

de la fonction

sin x x + x

2

+ x

3

222.

(Eexo72.tex)

D´ eveloppement en 0 de

x+x12+x3

.

223.

(Ecalcloc125.tex)

Former un ´ equivalent en +∞ de e

2x

e

x

+ 1 et de

e

2x

e

x

+ 1

(ex)

224.

(Eexo110.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 de arcsin x

225.

(Ecalcloc15.tex)

Equivalent en +∞ ´ de ln(sh x)

226.

(Eexo86.tex)

Calculer la valeur en 0 de la d´ eriv´ ee troisi` eme de

e

(1−cosx)2

227.

(Eexo273.tex)

Former un d´ eveloppement asymptotique en +∞ de

q x + √

x − √ x avec un reste en o(

1x

)

228.

(Eexo5.tex)

Equivalent en 0 de ´ (cos x)

cosx+(sin(xlnx))2

229.

(Ecalcloc98.tex)

D´ eterminer une fonction f tr` es simple telle que, en 0,

o(ln

2

(cos x)) = o(f )

(13)

230.

(Eexo87.tex)

En +∞, x +

lnxx

+

lnx2x

et x +

lnxx

lnx2x

sont elles ´ equivalentes ?

231.

(Eexo116.tex)

Les suites (ln n) et (ln(n + 1) sont-elles

´ equivalentes ?

232.

(Ecalcloc77.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x

4

de la fonction

ln(ch x)

233.

(Ecalcloc71.tex)

On admet que la fonction x → x

3

+ ln(1 + x)

est bijective de ] − 1, +∞[ dans R et que sa bijection r´ eciproque admet en 0 un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 3. Calculer ce d´ eveloppement.

234.

(Ecalcloc32.tex)

On admet que en +∞ et en −∞, ln(1 − x + x

2

) = 2 ln |x| − 1

x + 1 2x

2

+ 2

3x

3

+ o 1

x

3

Former un ´ equivalent en +∞ de ln x

2

+ x + 1

x

2

− x + 1 − 2 x

235.

(Ecalcloc134.tex)

Soit a > 0, former un d´ eveloppement limit´ e

`

a l’ordre 2 en ln a de e

x

.

236.

(Eexo84.tex)

Equivalent en 0 de ln(1 + cos ´ x).

237.

(Ecalcloc76.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 avec un reste n´ egligeable devant x

4

de la fonction

ln(cos x)

238.

(Ecalcloc87.tex)

On se place au voisinage d’un a ∈ ¯ R . Les fonctions u et v sont d´ efinies et ne s’annulent pas dans ce voisinage. Indiquez si les implications ou les relations suivantes sont vraies ou fausses.

u − v → 0 ⇒ e

u

∼ e

v

u ∼ v ⇒ e

u

∼ e

v

u ∼ v ⇒ o(u) = o(v)

u ∼ v

→ +∞

)

⇒ ln(u) ∼ ln v

239.

(Ecalcloc130.tex)

Soit f et g deux fonctions qui ne s’an- nulent pas dans un intervalle contenant a. Quelle est la d´ efinition de « f est domin´ ee par g » ?

240.

(Eexo39.tex)

Quelle est la limite en 0

de (1 + sin x)

x12

? 241.

(Eexo41.tex)

D´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de

arctan x

242.

(Ecalcloc35.tex)

Soit k un entier ≥ 4, former un

d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 3 de x

k

+ · · · + x + 1

243.

(Eexo69.tex)

Quelle est la limite en 0 de la fonction 1

sin

2

x − 1 x

2

244.

(Eexo40.tex)

Equivalent en 0 de ´ 1 sin

2

x − 1

x

2

245.

(Eexo291.tex)

Soit (u

n

)

n∈N

) une suite de nombres stric- tement positifs telle que (ln u

n

)

n∈N

) converge. La suite (u

n

)

n∈N

) converge-t-elle ? Si oui est-ce ` a cause de la conti- nuit´ e de la fonction logarithme ou de la fonction expo- nentielle ?

246.

(Eexo21.tex)

D´ eveloppements limit´ es en 0 ` a l’ordre 3

tanh x

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