3 Convergence de suites réelles

Lycée Pierre de Fermat 2020/2021

MPSI 1 TD

Suites réelles et complexes

Le corpsKdésigneRouC.

1 Suites récurrentes linéaires réelles ou complexes.

⊲ Exercice 1.1. Montrer que la suite u∈K^Nest arithmétique si et seulement si∀n∈N^∗,un= un−1+un+1

2 .

⊲ Exercice 1.2.

Soitu∈K^N. Calculer, pour toutn∈N, In=u1+u3+. . .+u2n+1 dans les cas suivants 1. uest la suite arithmétique de raisonr∈Cet de premier termeu0,

2. uest la suite géométrique de raisonq∈C^∗et de premier termeu0.

⊲ Exercice 1.3. À faire sans la théorie de la résolution des relations de récurrences linéaires d’ordre 1 et2 à coefficients constants

Résoudre les équations suivantes d’inconnuesu∈R^N :

1)∀n∈N^∗, un+1= 2un , 2)∀n∈N, un+2−2un+1= 0 , 3)∀n∈N, un+2−4un= 0

⊲ Exercice 1.4. Déterminer explicitement les suites réelles solutions des équations suivantes.

1. ∀n∈N, un+1−3un=n²−n.

2. ∀n∈N, un+1+un = 2n(−1)ⁿ+ 4.

⊲ Exercice 1.5. Résoudre les équations suivantes d’inconnuesu∈R^Net de paramètrea∈R: 1) ∀n∈N, un+1−2un=a , 2) ∀n∈N, un+1−2un=aⁿ Convention 0⁰= 1.

⊲ Exercice 1.6. Déterminer explicitement les suites réelles solutions des équations suivantes.

1. ∀n∈N, un+2−5un+1+ 6un= 2n²−n.

2. ∀n∈N, un+2=1

2(un+1+un) + 1.

3. ∀n∈N, un+2−un =n−1.

4. ∀n∈N, un+2−4un+1+ 4un= 2ⁿ.

⊲ Exercice 1.7.

1. Déterminer la suite réelle définie par



 u0= 2 u1= 3

∀n∈N, un+2=√un+1un

.

2. Déterminer la suite complexe définie par









u0= 1 +i u1= 1 +i

∀n∈N, un+2=u²_n+1 u⁵_n

.

⊲ Exercice 1.8. Déterminer les suites complexes solutions de l’équation

∀n∈N, un+2=−un+1+ 6un+P(n) pourP(n) = 7×4ⁿ,P(n) =n2ⁿ etP(n) = 3×4ⁿ−5n2ⁿ⁺³.

⊲ Exercice 1.9. Résoudre les équations suivantes d’inconnuesu∈R^N: 1)∀n∈N, un+2−2un+1+ 2un=n√

2ⁿsinnπ

4 , 2) ∀n∈N, un+2−2un+1+ 2un = 2n√

2ⁿcos²nπ 8

2 Notion de convergence. Opérations sur les limites.

⊲ Exercice 2.1. Soit (un)n∈N∈K^N telle que (u²_n)n∈Nconverge dans Kvers 0. Montrer que (un)n∈N converge dans Kvers 0.

⊲ Exercice 2.2. Soit (u_n)n∈N∈K^Nqui converge dansKversℓ∈K^∗. Montrer qu’il existe (α, N)∈R+×Ntels que

∀n∈N, n>N⇒ |un|>α.

Quel est l’ensemble des valeurs deαpossible ? interpréter géométriquement.

⊲ Exercice 2.3. Soit (un)n∈N∈K^Net f :R→R^∗₊ telle que lim

x→0 x>0

f(x) = 0 ce qui est défini par la propriété

∀η∈R^∗₊, ∃ν∈R^∗₊ : ∀x∈R+, x∈]0, ν]⇒0< f(x)6η.

Montrer que (un)n∈Nconverge versl∈Ksi et seulement si

∀ε∈R^∗₊, ∃N ∈N, ∀n∈N: n>N ⇒ |un−l|6f(ε).

Application : comprendre que les assertions suivantes sont équivalentes :

— ∀ε∈R^∗₊, ∃N ∈N, ∀n∈N: n>N ⇒ |un−l|6ε,

— ∀ε∈R^∗₊, ∃N ∈N, ∀n∈N: n>N ⇒ |un−l|6ε√ 3,

— ∀ε∈R^∗₊, ∃N ∈N, ∀n∈N: n>N ⇒ |un−l|6ln(1 +ε) +ε²+√ ε.

⊲ Exercice 2.4.

1. (a) Soient (un)n∈Nune suite réelle telle que (u²_n)n∈Net (u³_n)n∈Nconvergent. Montrer simplement (sans utiliser de résultat sophistiqué) que (un)n∈Nconverge et préciser sa limite.

(b) Ce résultat se généralise-t-il au cas d’une suite complexe (u_n)n∈Ntelle que (u²_n)n∈Net (u³_n)n∈Nconvergent ? 2. (a) Soient (un)n∈N une suite réelle telle que (u³_n)n∈N converge. Montrer que (un)n∈N converge et préciser sa

limite. On pourra introduire la fonctiong, bijection réciproque dex7→x³.

(b) Le résultat précédent se généralise-t-il au cas d’une suite complexe (un)n∈Ntelle que (u³_n)n∈Nconverge ?

3 Convergence de suites réelles

⊲ Exercice3.1. Soit (un)n∈Nune suite réelle strictement positive qui converge vers 0. Montrer que, pour toutp∈N, il existeN ∈Ntel que pour toutn∈N,n>N ⇒un< up.

⊲ Exercice 3.2. Soit (u_n)n∈Nune suite de nombres réels tels que

∀(n, p)∈N², 06un6 p

n+ 1+ 1 p+ 1.

Montrer que cette suite converge et préciser sa limite. On pourra proposer deux preuves, l’une mettant en oeuvre une technique de « double détente », l’autre consistant à fixer une dépendance entre les variables libres...

⊲ Exercice 3.3. Soient (un)n∈Net (vn)n∈N deux suites réelles.

1. Montrer que, si (u²_n+v²_n)n∈N converge vers 0, alorsuet v convergent vers 0.

2. Montrer que, si (u²_n+unvn+v_n²)n∈Nconverge vers 0, alorsuetv convergent et donner leur limite.

3. Ces deux résultats restent-ils encore valables siuetv sont des suites complexes ?

⊲ Exercice 3.4. Soit (u_n)n∈Nune suite de nombres réels tels que

∀n∈N, ∃p∈N : [p>n et (∀q∈N, q>p⇒uq >un)] .

1. Montrer par un exemple que la suite (u_n)n∈N n’est pas nécessairement croissante ni même croissante à partir d’un certain rang.

2. Montrer que si la suite (u_n)n∈Nest majorée, alors elle est convergente.

3. Montrer que si la (un)n∈Nn’est pas majorée, alors elle tend vers +∞.

⊲ Exercice 3.5. Étudier la convergence des suites suivantes :

1)an = Xn k=0

k²

n³ 2)bn= 3n²−1

n²+ 1 3)cn= n+ (−1)ⁿ

n+ (−1)ⁿ√n 4)dn= (2 + (−1)ⁿ)¹ⁿ 5)en = 1

n!

Xn k=1

k! 6)fn= (2 + (sinn)ⁿ)^√1n 7)gn =⌊10ⁿx⌋

10ⁿ (x∈R) 8)hn =⌊2ⁿx⌋

2ⁿ (x∈R).

Les suites (gn)n∈Net (hn)n∈N permettent de prouver la densité des nombres décimaux et dyadiques dansR(et donc aussi des rationnels dansR).

⊲ Exercice 3.6. Posonsun= Yn k=0

2^k2−k.

1. Montrer que la suite





 k 2^k 2

3 k







k∈N

converge.

2. En déduire qu’il existeM ∈R^∗₊ tel que∀k∈N, k 2^k 6M

2 3

k

. 3. Montrer que la suitewn=

Xn k=0

k

2^k converge puis queuconverge.

4. En calculant 2w_n−wn−1, déterminer explicitement la limitew∞ dewet en déduire celle deu.

⊲ Exercice 3.7.

1. Montrer que, pour toutx∈R^∗₊,x−x²

2 6ln(1 +x)6x.

2. En déduire les limites des suites (un)n∈N^∗ et (vn)n∈N^∗ définies parun = Yn k=1

1− k n²

et vn = Yn k=1

1 + k n²

.

Réponses : (u_n)n∈N^∗ et (v_n)n∈N^∗ convergent respectivement vers 1

√e et√e.

⊲ Exercice 3.8. Suites adjacentes

Soient 0< a0 < b0, (a_n)n∈N et (b_n)n∈N les suites définies par les premiers termesa0 et b0 puis, pour n∈Npar les expressions

an+1= an+bn

2 , bn+1=p an+1bn

1. Montrer queaetb convergent vers une même limite.

2. En justifiant l’existence deϕ∈i 0,π

2

htel quea0=b0cosϕ, expliciter cette limite en fonction debet ϕ.

⊲ Exercice 3.9. Suites adjacentes. Irrationnalité de e.

Considérons les suitesuetv définies pour toutn∈Nparun= Xn k=0

1

k! et vn= Xn k=0

1 k! + 1

nn!. 1. Montrer queuet vsont adjacentes. On noteraℓ leur limite.

2. Montrer queℓ∈R\Q.

3. Montrer par récurrence que,∀n∈N,∀x∈R,e^x= Xn k=0

x^k k! +

Z x 0

(x−t)ⁿ n! e^tdt.

4. En déduire, pour toutx∈R, la limite de la suite Xn k=0

x^k k!

!

n∈N

(avec la convention 0⁰= 1).

5. Montrer que les suites suivantes convergent et calculer leurs limites Xn k=0

ak+b k! et

Xn k=0

k²−2k+ 1 k! .

4 Suites extraites.

⊲ Exercice 4.1. Montrer que si (un)n∈N∈K^Nest une suite extraite de (vn)n∈N∈K^N, toute extraction de (un)n∈N

est aussi une suite extraite de (vn)n∈N dont on prendra soin de préciser l’injection croissante.

La relation binaireRdéfinie surK^Npar

∀(u, v)∈(K^N)² , uRv si uest une sous-suite dev est-elle une relation d’ordre surK^N?

⊲ Exercice 4.2. Considérons la suite u = (√ n− ⌊√

n⌋)n∈N. Montrer, en étudiant les sous-suites (un²)n∈N et (un²−1)n∈N^∗ que cette suite diverge.

On peut démontrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (√ n− ⌊√

n⌋)n∈N est le segment [0,1] (voir exercice d’oral Centrale MP 2015, RMS 2015 vol 126, exercice numéro 692).

⊲ Exercice4.3. Très important.Soitu∈K^N. On suppose qu’il existe (ℓ0, ℓ1)∈K²tels que (u2n)n∈Net (u2n+1)n∈N

convergent respectivement versℓ0 etℓ1.

1. Montrer que, siℓ0=ℓ1, alorsu= (un)n∈Nconverge versℓ0. 2. Ce résultat reste-t-il vrai sans l’hypothèseℓ0=ℓ1?

3. Si les suites (u3n)n∈Net (u3n+1)n∈N convergent vers la même limiteℓ∈K, peut-on dire que (un)n∈Nconverge versℓ?

⊲ Exercice4.4. Soit (u_n)n∈N∈K^Nune suite dont les sous-suites (u2n)n∈N, (u2n+1)n∈Net (u3n)n∈Nconvergent dans R. Montrer que (u_n)n∈N converge et préciser sa limite. Ce résultat persiste-t-il si on ne suppose que la convergence des sous-suites (u2n) et (u3n)n∈N?

⊲ Exercice4.5. Soit (un)n∈N∈R^Nune suite réelle croissante dont au moins une sous-suite est convergente, montrer que la suite converge.

⊲ Exercice 4.6. Donner un exemple de suite (u_n)n∈N ∈K^N divergente telle que pour tout k ∈N^∗\ {1}, la suite extraite (u_kn)n∈Nconverge.

⊲ Exercice 4.7. Toute suite réelle non majorée admet une sous-suite qui diverge vers +∞ 1. Soit (un)n∈N∈R^Nune suite réelle non majorée. Montrer que

∀(M, N)∈R×N, ∃n∈N: n>N+ 1 et un >M . 2. En déduire queuadmet une sous-suite qui diverge vers +∞.

3. Montrer que la construction de la question précédente peut être affinée pour prouver queuadmet une sous-suite strictement croissante qui diverge vers +∞.

⊲ Exercice 4.8. Soitu∈R^Ntelle queU ={un |n∈N} est une partie deRdense dansR.

Montrer que l’ensembleLu des valeurs d’adhérence deuestR.

Indication : on pourra se souvenir qu’une partie dense deRprivée d’un nombre fini déléments reste dense dans R.

Remarque : il existe au moins une suiteutel queQ={un |n∈N} donc la situation proposée dans l’exercice peut se produire !

5 Théorème de Bolzano-Weierstrass.

⊲ Exercice 5.1. Soient p∈N, (a0, . . . , ap)∈R^p+1. Posons, pour toutx∈R,P(x) = Xp k=0

akx^k. 1. Montrer que sup

x∈[−1,1]|P(x)| est un plus grand éle ´ment.

2. En déduire que sup

x∈[−1,1]∩Q|P(x)|= sup

x∈[−1,1]|P(x)|. On pourra utiliser la densité de [−1,1]∩Qdans [−1,1].

⊲ Exercice5.2. Sur les valeurs d’adhérence d’une suite réelle.Soit (u_n)n∈Nune suite réelle bornée. L’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (u_n)n∈N est l’ensemble des limites de toutes les suites extraites de (u_n)n∈N. Définissons les suites (M_n)n∈Net (m_n)n∈N pour toutn∈Npar

Mn = sup{uk∈R|k∈[[n,+∞[[} et mn= inf{uk∈R| k∈[[n,+∞[[}

1. Montrer que (Mn)n∈Net (mn)n∈Nsont bien définies puis convergentes dansR. On noteraM(u) etm(u) leurs limites respectives. Comparerm(u) etM(u).

2. Montrer queM(u) etm(u) sont des valeurs d’adhérence de (un)n∈N.

3. Montrer que toutes les valeurs d’adhérence de (un)n∈Nsont dans [M(u), m(u)].

4. Montrer que (un)n∈N converge si et seulement siM(u) =m(u).

5. Application.Considérons une suite (vn)n∈N de réels strictement positifs telle que

∀(n, m)∈N², vm+n 6vm+vn

et cherchons à appliquer les résultats précédents à la suite (u_n)n∈N^∗ définie pourn∈N^∗ parun =vn

n. Montrer que, pour tout (n, p, q, r)∈N⁴ tels quen=pq+retn >0,

vn

n 6 p nvq+vr

n puis en déduire que, pour toutq∈N^∗,M(u)6vq

q pour conclure que (un)n∈N^∗ converge dansR.

⊲ Exercice 5.3. Caractérisation de la convergence pour les suites bornées.

1. Montrer qu’une suite complexe bornée converge si et seulement si elle possède une unique valeur d’adhérence.

2. Applications

(a) Soitu∈C^N bornée telle que (u2n−2u_n)n∈Nconverge vers 1. Montrer queuconverge.

(b) Soitu∈C^N telleu⁴converge vers 1 et telle que|un+1−un|<1 à partir d’un certain rang. Montrer que u converge.

⊲ Exercice 5.4. Utilisation de la caractérisation de la convergence pour les suites bornées, exemples et contre-exemples.

1. Soitu∈C^N bornée telle que (un−1

3u2n) converge vers 1. Montrer que uconverge vers 0 (on pourra utiliser le résultat de la question 1 de l’exercice5.3).

2. (a) Montrer que, pour toutn∈N^∗, il existe un unique couple (p, q)∈N×N:n= 2^p(2q+ 1).

(b) Soitu∈C^N telle (u_n−3u2n) converge vers 0. Montrer queune converge pas nécessairement.

6 Exercices généraux sur les suites.

⊲ Exercice 6.1. Montrer que pour toutx∈R,

n→+∞lim 1 n²

Xn k=1

⌊kx⌋= x

2 et lim

n→+∞

1 n³

Xn k=1

⌊k²x⌋= x 3.

⊲ Exercice 6.2. Soient (un)n∈Net (vn)n∈N deux suites réelles strictement positives telles que pour toutn∈N, un+1

un

6vn+1

vn

. Montrer que si (v_n)n∈N converge vers 0, alors (u_n)n∈Nconverge vers 0

⊲ Exercice 6.3. Soient (u_n)n∈Net (v_n)n∈N deux suites réelles d’éléments de [0, 1] dont le produit converge vers 1.

1. Montrer que ces deux suites convergent et préciser leur limite.

2. Ce résultat persiste-t-il si la suite produit converge vers 1 2? vers

√3

2 ? vers 0 ?

3. Comment ce résultat s’étend-t-il au cas où (un)n∈N et (vn)n∈N sont deux suites réelles d’éléments de [0, a]

(a∈R^∗₊) ?

⊲ Exercice6.4. Soient (u_n)n∈Net (v_n)n∈Ndeux suites complexes bornées, justifier l’existence des objets et l’inégalité suivante :

sup{|un−vn| |n∈N}>|sup{|un| |n∈N} −sup{|vn| |n∈N}|. Indic : partir de|un|6|un−vn|+|vn|qui vient de ||un| − |vn||6|un−vn|.

A-t-on, lorsqueuetv sont des suites réelles,

sup{|un−vn| | n∈N}>|sup{un |n∈N} −sup{vn |n∈N}|?

⊲ Exercice 6.5. Considérons la suite (un)n∈N définie pour toutn∈Nparun= Xn k=0

1 2^kk!. 1. En étudiant sa monotonie, montrer que la suite (un)n∈Nest convergente. Posonsℓ= limu.

2. Montrer que pour tout (p, n)∈N²,un+p−un6 1 2ⁿ(n+ 1)!. En déduire que, pour toutn∈N, 06ℓ−un6 1

2ⁿ(n+ 1)!. 3. Conclure que la limiteℓest un nombre irrationnel.

⊲ Exercice 6.6. Soit (un)n∈N une suite de réels strictement positifs telle que un+1

un

n∈N

converge vers un réel ℓ.

Montrer que siℓ <1, alors la suite converge, siℓ >1 alors la suite tend vers +∞. Que peut-on dire siℓ= 1 ?

⊲ Exercice 6.7. Soit (un)n∈Nune suite de réels strictement positifs telle que

∀(n, m)∈N², um+n6um+un. 1. Justifier l’existence del= infnun

n

n∈N^∗o .

2. Soient (n, q)∈N^∗2 fixés quelconques.

Notonsr∈[[0, q−1]] le reste de la division euclidienne denparq.

Montrer que

l6 un

n 6 uq

q +ur

n 3. En déduire, par une technique de double détente, queun

n

n∈Nconverge versl.

⊲ Exercice 6.8. Prouver les propriétés suivantes : si (zn)n∈N∈C^N converge versz∞, alors (i) (zn)n∈N∈C^Nconverge versz∞,

(ii) (exp_C(zn))n∈N∈C^Nconverge vers exp_C(z∞).

⊲ Exercice 6.9. Intérêt du passage par la notation exponentielle d’un nombre complexe.

Montrer que, pour toutz∈C, 1 + z

n n

n∈N^∗ converge verse^z.

On pourra commencer par traiter le casz∈R. Pour le casz∈C\ {R}, on pourra rappeler l’expression de l’argument θ∈i

−π 2,π

2

hdea+iblorsque (a, b)∈R^∗₊×Ren fonction de Arctan,aetb.

⊲ Exercice 6.10. Soitu∈C^Ntelle que u² converge vers 1 et la suite (|un+1−un|)n∈N est majorée par 1 à partir d’un certain rang. Montrer que la suiteuconverge.

Quelle est la valeur limite sur le majorant de la suite (|un+1−un|)n∈N pour que la conclusion de l’exercice reste exacte ?

7 Théorème de Cesaro.

⊲ Exercice 7.1. Soitu∈C^Ntelle queuconverge versl∈C. On appelle moyenne de Cesaro associée à la suiteula suitev définie pourn∈Npar

vn= 1 n+ 1

Xn k=0

uk

1. Montrer quev converge versl.

2. Application.Étudier la convergence de la suiteu=



 n!

Yn k=1

sin θ

k

!ⁿ¹



n∈N

oùθ∈]0, π[ est fixé ?

⊲ Exercice 7.2. Soitu∈C^Ntelle que (u2n)n∈Nconverge versa∈Cet (u2n+1)n∈Nconverge versb∈C. Que dire de la moyenne de Cesarov définie pourn∈Nparvn= 1

n+ 1 Xn k=0

uk?

⊲ Exercice 7.3. Version généralisée du théorème de Cesaro.

Soient (u_n)n∈N∈C^Net (λ_n)n∈N∈R^N₊ deux suites telles que (u_n)n∈Nest une suite complexe qui converge versℓ∈C et (λn)n∈Nest une suite de nombres réels positifs ou nuls telle que lim

n→+∞

Xn i=0

λi= +∞. Alors la suite (vn), définie dès

quenest supérieur ou égal à l’indice du premier terme non nul de la suite (λk)k∈Nparvn= Xn i=0

λiui

Xn i=0

λi

converge versℓ

lorsquentend vers +∞. Applications :

1. Soitu∈C^N une suite qui converge versℓ∈C. Montrer que la suitev définie pourn>1 parvn= 1 n²

Xn k=1

kuk

converge.

2. Soitu∈C^Nune suite qui converge versℓ∈C. Montrer que la suitevdéfinie pourn>2 parvn = 1 lnn

Xn k=1

uk

k converge.

⊲ Exercice 7.4. Méthode de double détente type Cesaro.

Soitu∈C^Nune suite qui converge versl∈C.

Montrer que la suitev définie pour toutn∈Nparvn= 1 2ⁿ

Xn k=0

n k

uk converge.

8 L’indispensable : complétez, démontrez ou infirmez les assertions sui- vantes.

⊲ Exercice 8.1.

1. Soit I un ensemble fini et (a_i)i∈I une famille de nombres réels, alors max{ai | i ∈ I} = sup{ai | i ∈ I} et min{ai | i∈I}= inf{ai | i∈I}. Ceci est-il un phénomène général sur les ensembles ordonnés ? Peut-on dire

∃i0∈I:ai0 = max{ai|i∈I}? Donner une condition suffisante pour pouvoir dire∃!i0∈I:ai0 = max{ai|i∈ I}?

2. Soient (m, n)∈ N^∗2 et (a_i,j)^16i6m

16j6n une famille de nombres réels (que l’on peut voir comme un tableau à m lignes etncolonnes,ai,j étant l’élément du tableau situé à l’intersection de lai^ièmeligne et de laj^ièmecolonne).

Alors, max{ai,j | 16i6m, 1 6j 6n} = sup{ai,j | 16i6m, 1 6j 6n} et min{ai,j |1 6i6m, 16 j 6n}= inf{ai,j | 16i 6m, 16j 6n}. Peut-on dire∃(i0, j0)∈ N², 1 6i0 6m, 1 6j0 6n, ai0,j0 = max{ai,j |16i6m, 16j6n}?

3. Une partie non bornée deZne peut pas être finie.

4. Soit (un)n∈N une suite réelle, alors sup{un | n ∈ N} existe-t-il ? à quelle condition existe-t-il ? sous cette condition que dire de max{un |n∈N}?

5. Soit (un)n∈Nune suite d’entiers naturels (resp. relatifs), alors min{un |n∈N}existe-t-il ? et inf{un|n∈N}? 6. Soit (un)n∈Nune suite réelle périodique, alors max{un|n∈N}et min{un|n∈N}existent et la suite converge.

7. De toute partie non bornée deNon peut extraire une suite strictement croissante.

8. De toute partie non bornée deZ on peut extraire une suite strictement croissante ou une suite strictement décroissante.

9. Soient (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N trois suites réelles, nier l’assertion : ∃N ∈N, ∀n∈ N, n >N ⇒ un 6 vn6wn.

10. Toute suite croissante est convergente.

11. Toute suite convergente est monotone.

12. Une suite croissante et décroissante est une suite stationnaire.

13. Toute suite positive et majorée est convergente.

14. Une suite ni croissante ni décroissante ne peut pas être convergente.

15. Si (u²_n)n∈Nest une suite convergente, alors (u_n)n∈Nest une suite convergente.

16. Si (u_n)n∈Nest une suite convergente, alors (u²_n)n∈Nest une suite convergente.

17. Si (un)n∈Nest une suite qui converge versldans R, alors (⌊un⌋)n∈N converge vers⌊l⌋dansR.

18. Nier l’assertion (un)n∈Nconverge vers√ 3.

19. Nier l’assertion (un)n∈Nconverge.

20. Si (un+vn)n∈Ndiverge, alors les deux suites divergent.

21. Si (un+vn)n∈Ndiverge, alors l’une au moins des deux suites diverge.

22. Si (un×vn)n∈Nconverge vers 0, alors l’une au moins des deux suites converge vers 0.

23. Si (un)n∈Net (vn)n∈Ndivergent, alors (un+vn)n∈Ndiverge.

24. Les suites extraites d’une sous-suite de (un)n∈Nne sont pas forcément des sous-suites de (un)n∈N. 25. Le produit de deux suites majorées est une suite majorée.

26. La modification d’un nombre fini de termes d’une suite affecte-t-elle sa monotonie, sa convergence, sa diver- gence... (comprendre ici lecaractère “asymptotique” de la notion de convergencequi justifie l’utilisation de l’expression“à partir d’un certain rang ”)

Correction des exercices

⊲ Corrigé de l’exercice 1.1

• Supposons queu∈C^Nest la suite aritmétique de raisonr∈Cet de premier termeu0. Alors,∀k∈N,uk=u0+kr.

Soitn∈N^∗ fixé quelconque.

un−1+un+1

2 =u0+ (n−1)r+u0+ (n+ 1)r

2 =u0+nr=un .

Ainsi,∀n∈N^∗, un−1+un+1

2 =un.

• Supposons que∀n∈N^∗, un−1+un+1

2 =un.

Montrons par récurrence que (un+1−un)n∈Nest une suite constante.

ConsidéronsP(n) la propriété définie pour toutn∈N,

P(n) : “un+1−un=u1−u0 “.

⋆ u1−u0=u1−u0 doncP(0) est vraie.

⋆ Soitn∈Nfixé quelconque tel queP(n) est vraie.

D’après la propriété supposée appliquée en remplaçantnparn+ 1, un+1=un+un+2

2

donc 2un+1 =un+un+2 soit un+2−un+1 =un+1−un. Or P(n) est vraie doncun+1−un =u1−u0 si bien queun+2−un+1=u1−u0.

AinsiP(n+ 1) est vraie.

Par conséquent, la suiteuest arithmétique.

⊲ Corrigé de l’exercice 1.2

1. Siuest la suite arithmétique de raisonr∈Cet de premier termeu0,∀k∈N,uk =u0+kr si bien que In=

Xn j=0

(u0+ (2j+ 1)r) = (n+ 1)(u0+r) + 2r Xn j=0

j= (n+ 1)(u0+r) +rn(n+ 1) = (n+ 1)u0+r(n+ 1)².

2. Siuest la suite géométrique de raisonq∈C^∗ et de premier termeu0,∀k∈N,uk =q^ku0si bien que

In= Xn j=0

q^2j+1u0=qu0

Xn j=0

(q²)^j=





(n+ 1)qu0 siq∈ {−1,1}, qu0

1−q²⁽ⁿ⁺¹⁾

1−q² siq²6= 1.

⊲ Corrigé de l’exercice 1.3 1. ∀n∈N^∗ , un+1= 2un.

∀n∈N^∗ , un+1= 2u_n ⇐⇒ ∀n∈N^∗ , un= 2ⁿ⁻¹u1 (1) On observe que la relation de récurrence n’impose aucune contrainte sur la valeur deu0.

Ainsi l’ensemble des suites solutions est le plan vectoriel

{(λ, µ,2µ,2²µ,2³µ, . . .)∈R^N|(λ, µ)∈R²}={(α0ⁿ+β2ⁿ)n∈N |(α, β)∈R²} avec la convention 0⁰= 1.

Siuest un solution, avec la première description,λ=u0et µ=u1, avec la deuxième description,u0=α+β etu1= 2β.

2. ∀n∈N, un+2−2un+1= 0. Observons que ∀n∈N, un+2−2un+1= 0 ⇐⇒ ∀n∈N^∗ , un+1−2un= 0 donc l’ensemble des solutions est le même que dans la question précédente.

3. ∀n∈N, un+2−4u_n= 0.

Posonsv= (u2n)n∈Net w= (u2n+1)n∈N. Notons que

∀n∈N, un+2−4un= 0 ⇐⇒

∀n∈N, vn+1= 2vn,

∀n∈N, wn+1= 2wn

⇐⇒

∀n∈N, vn= 2ⁿv0= 2ⁿu0,

∀n∈N, wn= 2ⁿw0= 2ⁿu1

Le plan vectoriel des solutions est

{u∈R^N| ∃(λ, µ)∈R² : ∀n∈N, u2n= 2ⁿλ , u2n+1=λⁿµ}

En utilisant la technique de résolution des équations de récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients constants, l’équation caractéristique étantr²−4 = 0, on trouve comme le plan vectoriel de solutions

{(α2ⁿ+β(−2)ⁿ)n∈N|(α, β)∈R²}

C’est un petit exercice d’observer que les deux descriptions proposées de l’espace vectoriel des solutions dé- finissent le même ensemble (on trouve la correspondance bijective suivante entre les couples de paramètres : λ=α+β et µ= 2(α−β)).

⊲ Corrigé de l’exercice 1.4

1. La droite vectorielle des solutions de∀n∈N, un+1−3u_n= 0 est {(λ.3ⁿ)n∈N|λ∈R}

Le second membre est (n²−n)1ⁿ. 1 n’est pas racine de l’équation caractétistique de la partie homogène de la relation de récurrence qui estr−3 = 0 donc on cherche une solution particulière polynomiale sous la forme un =an²+bn+c. On injecte dans la relation de récurrence et on trouve une unique solution qui esta=−1

2, b= 0 etc=−1

4.

Ainsi, la droite affine des solutions est

λ.3ⁿ−1 2n²−1

4

n∈N

λ∈R

2. La droite vectorielle des solutions de∀n∈N, un+1+un= 0 est {(λ.(−1)ⁿ)n∈N|λ∈R} Une solution particulière de∀n∈N, un+1+un= 4 est la suite ˜2.

Une solution particulière de∀n∈N, un+1+un= 2n(−1)ⁿ est la suite ((−n²+n)(−1)ⁿ)n∈N. Ainsi, la droite affine des solutions est

{(λ.(−1)ⁿ−(n²−n)(−1)ⁿ+ 2)n∈N|λ∈R}

⊲ Corrigé de l’exercice 1.5 1. ∀n∈N, un+1−2un=a.

La droite vectorielle des solutions de∀n∈N, un+1−2un= 0 est {(λ.2ⁿ)n∈N|λ∈R}

Le second membre est ea= (a1ⁿ)n∈N et 1 n’est pas racine de l’équation caractéristique donc on cherche une solution particulière sous la forme (α1ⁿ)n∈N:

(α1ⁿ)n∈Nest sol. partic. ⇐⇒ ∀n∈N, α−2α=a

⇐⇒ α=−a Ainsi, la droite affine des solutions de∀n∈N, un+1−2u_n=aest

{(−a+λ.2ⁿ)n∈N|λ∈R} 2. ∀n∈N, un+1−2un=aⁿ.

Le second membre est (aⁿ)n∈N.

• Si a6= 2,an’est pas racine de l’équation caractéristique donc on cherche une solution particulière sous la forme (αaⁿ)n∈N:

(αaⁿ)n∈Nest sol. partic. ⇐⇒ ∀n∈N, αaⁿ⁺¹−2αaⁿ=aⁿ

⇐⇒ ∀n∈N, αaⁿ(a−2) =aⁿ

⇒ α(a−2) = 1 en choisissantn= 0, ce qui rompt l’équivalence

⇒ α= 1 a−2 Réciproquement, siα= 1

a−2, alors

∀n∈N, αaⁿ(a−2) =aⁿ donc

aⁿ a−2

n∈N

est une solution particulière.

• Sia= 2,aest racine simple de l’équation caractéristique donc on cherche une solution particulière sous la forme (αn2ⁿ)n∈N :

(αn2ⁿ)n∈Nest sol. partic. ⇐⇒ ∀n∈N, α(n+ 1)2ⁿ⁺¹−2αn2ⁿ= 2ⁿ

⇐⇒ ∀n∈N, 2α(n+ 1)−2αn= 1

⇐⇒ 2α= 1

⇐⇒ α= 1 2 donc n2ⁿ⁻¹

n∈Nest une solution particulière.

Ainsi, la droite affine des solutions de∀n∈N, un+1−2un=aⁿ est aⁿ

a−2 +λ.2ⁿ)n∈N

λ∈R

sia∈R\ {2}, {(n2ⁿ+λ.2ⁿ)n∈N|λ∈R} sia= 2.

⊲ Corrigé de l’exercice 1.6

1. L’équation caractéristique associée l’équation homogène estr²−5r+ 6 = 0 ⇐⇒ (r−3)(r−2) = 0 donc elle admet deux racines distinctes si bien que

le plan vectoriel des solutions de l’équation homogène est

(λ.2ⁿ+µ.3ⁿ)n∈N|(λ, µ)∈R²

Le second membre est de la forme ((2n²−n).1ⁿ)n∈N. 1 n’étant pas racine de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière sous la formeP(n)1ⁿ avecP un polynôme tel que d^o(P) = d⁰(2n²−n) = 2.

En injectant dans l’équation,

(an²+bn+c)n∈Nest une solution particulière ⇐⇒ . . .

⇐⇒









a = 1

b = 5 2 c = 17 . 4

Ainsi, le plan affine des solutions est

λ.2ⁿ+µ.3ⁿ+n²+5 2n+17

4

n∈N

(λ, µ)∈R²

2. L’équation caractéristique associée l’équation homogène estr²−1 2r−1

2 = 0 ⇐⇒

r+1

2

(r−1) = 0 donc elle admet deux racines distinctes si bien que

le plan vectoriel des solutions de l’équation homogène est λ+µ. 1

(−2)ⁿ

n∈N

(λ, µ)∈R²

Le second membre est de la forme (1ⁿ)n∈N. 1 étant racine simple de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière sous la formeP(n)1ⁿ avecP un polynôme tel que

d^o(P) = d⁰(1) + 1 = 1, P sans terme constant, En injectant dans l’équation,

(an)n∈N est une solution particulière ⇐⇒ . . .

⇐⇒ a= 2 3 .

Ainsi, le plan affine des solutions est

λ+µ. 1 (−2)ⁿ +2

3n

n∈N

(λ, µ)∈R²

3. L’équation caractéristique associée l’équation homogène estr²−1 = 0 ⇐⇒ (r−1)(r+ 1) = 0 donc elle admet deux racines distinctes si bien que

le plan vectoriel des solutions de l’équation homogène est

(λ+µ.(−1)ⁿ)n∈N|(λ, µ)∈R²

Le second membre est de la forme ((n−1).1ⁿ)n∈N. 1 étant racine simple de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière sous la formeP(n)1ⁿ avecP un polynôme tel que

d^o(P) = d⁰(n−1) + 1 = 2, P sans terme constant, En injectant dans l’équation,

(an²+bn)n∈N est une solution particulière ⇐⇒ . . .

⇐⇒

(

a = 1

b = −41 .

Ainsi, le plan affine des solutions est

λ+µ(−1)ⁿ+n² 4 −n

n∈N

(λ, µ)∈R²

4. L’équation caractéristique associée l’équation homogène estr²−2r+ 4 = 0 ⇐⇒ (r−2)²= 0 donc 2 est racine double de l’équation caractéristique si bien que

le plan vectoriel des solutions de l’équation homogène est

((λ+µn).2ⁿ)n∈N|(λ, µ)∈R²

2 étant racine double de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière sous la formeP(n)2ⁿ avecP un polynôme tel que





d^o(P) = d⁰(1) + 2 = 2, P sans terme constant, P sans terme de degré 1.

En injectant dans l’équation,

(an²2ⁿ)n∈Nest une solution particulière ⇐⇒ . . .

⇐⇒ a=1 8 Ainsi, le plan affine des solutions est

(λ+µn).2ⁿ+n² 8 2ⁿ

n∈N

(λ, µ)∈R²

⊲ Corrigé de l’exercice 1.7

1. On montre par récurrence que la suite cherchée est strictement positive. Ceci permet alors de définir la suitev

∀n∈N, vn= ln(un).

L’intérêt de ce “changement d’inconnue” (ici l’inconnue était la suite u) réside dans le fait que la suite v se définit par la relation de récurrence linéaire du second ordre :







v0= ln 2 v1= ln 3

∀n∈N, vn+2= 1

2vn+1+1 2vn

.

L’équation caractéristique associée à cette relation de récurrence linéaire du premier ordre estX²−1 2X−1

2 = 0.

Son discriminant est∆ = 3

2 2

donc elle admet deux racines réelles distinctes 1et −1 2.

Par conséquent, l’ensemble des suites réelles r∈R^N solutions de la relation de récurrence linéaire du second ordre

∀n∈N, rn+2= 1

2rn+1+1 2rn

constitue leplan vectoriel: λ

−1 2

n

n∈N

+µ˜1

(λ, µ)∈R²

.

Ainsi,∃(λ, µ)∈R² : ∀n∈N, vn =λ

−1 2

n

+µ. Les constantesλetµse déterminent à partir des conditions initiales :

( λ + µ = ln 2

−1

2λ + µ = ln 3 ⇐⇒

































 λ =

ln 2 1 ln 3 1

1 1

−1 2 1

= 2 ln²₃ 3

µ =

1 ln 2

−1 2 ln 3

1 1

−1 2 1

= 2 ln 3 + ln 2 3

On ne déduit que,∀n∈N,vn= 2 ln²₃ 3

−1 2

n

+ln 18 3 d’où

∀n∈N,un =√³ 18 exp

2 ln²₃ 3

−1 2

n

=√³ 18 ³

r2 3

!⁽⁻¹⁾_2n−1ⁿ .

2. Les conditions initiales de la suites uétant complexes, il n’est pas possible de reproduire le raisonnement de la première question. Cependant, nous allons nous en inspirer en partant de l’idée qu’il n’y a pas de raison profonde pour laquelle l’expression explicite d’une suite récurrente de ce type change grandement selon que les deux valeurs initiales sont complexes ou non. Par conséquent,

(a) nous allons exprimer explicitement la suite réelle









r0∈R^∗₊ r1∈R^∗₊

∀n∈N, rn+2=r²_n+1 r_n⁵

, (b) nous en déduirons une conjecture pour l’expression explicite de la suiteu, (c) nous prouverons la conjecture par récurrence.

(a) On montre par récurrence que la suiterest strictement positive. Ceci permet alors de définir la suitevpar

∀n ∈N, vn = ln(rn). v peut aussi être définie par deux conditions initiales et la relation de récurrence linéaire du second ordre : 





v0= lnu0

v1= lnu1

∀n∈N, vn+2= 2vn+1−5vn

.

L’équation caractéristique associée à cette relation de récurrence linéaire du premier ordre estX²−2X+5 = 0. Son discriminant est∆ =−16 = (4i)²donc elle admet deux racines complexes conjuguées1 + 2iet1−2i.

Introduisons la forme polaire de 1 + 2i: posonsθ= Arccos 1

√5 de sorte que1 + 2i=√

5e^iθ. Observons au passage quecosθ= 1

√5 et sinθ= 2

√5.

L’ensemble des suites réellesh∈R^N solutions de la relation de récurrence linéaire du second ordre

∀n∈N, hn+2= 2hn+1−5hn

constitue leplan vectoriel:

λ√

5ⁿcos(nθ)

n∈N+µ√

5ⁿsin(nθ)

n∈N

(λ, µ)∈R²

. Ainsi,∃(λ, µ)∈R² : ∀n∈N, vn=λ√

5ⁿcos(nθ) +µ√

5ⁿsin(nθ). Les constantesλetµse déterminent à partir des conditions initiales :

λ = lnu0

(√

5 cosθ)λ + (√

5 sinθ)µ = lnu1 ⇐⇒





λ = lnu0

µ = 1 2lnu1

u0

On ne déduit que, ∀n∈N,vn= lnu0

√5ⁿcos(nθ) +1 2lnu1

u0

√5ⁿsin(nθ)si bien que

∀n∈N,rn= exp

lnu0

√5ⁿcos(nθ) +1 2lnu1

u0

√5ⁿsin(nθ)

.

(b) Dans le cas où les conditions initiales sont complexes,lnu0n’a pas de sens, mais sachant queu0=√ 2e^iπ4, on aurait envie de le remplacer parln√

2 +iπ

4. Puisqueu0=u1, on remplace u0

u1

par1d’où la conjecture

∀n∈N, un= exp ln√

2 +iπ 4

√

5ⁿcos(nθ) . (c) Considérons la propiétéP(n)définie pour toutn∈Npar

P(n) : “un= exp ln√

2 +iπ 4

√

5ⁿcos(nθ)

et un+1= exp ln√

2 +iπ 4

√

5ⁿ⁺¹cos((n+ 1)θ)′′

.

• exp ln√

2 +iπ 4

√

5⁰cos(0×θ)

= exp ln√

2 +iπ 4

= 1 +i=u0. exp

ln√ 2 +iπ

4 √

5⁰⁺¹cos((0 + 1)θ)

= exp ln√

2 +iπ 4

√

5 cos(θ)

= exp ln√

2 +iπ 4

= 1 + i=u1.

Par conséquent,P(0)est vraie.

• Soitn∈Nfixé quelconque tel que P(n)est vraie.

Alors, puisqueP(n)est vraie,un+1= exp ln√

2 +iπ 4

√

5ⁿ⁺¹cos((n+ 1)θ) . Par ailleurs, d’après la formule de récurrence définissantu,

un+2 = u²_n+1 u⁵_n

= exp 2×

ln√ 2 +iπ

4 √

5ⁿ⁺¹cos((n+ 1)θ)−5× ln√

2 +iπ 4

√

5ⁿcos(nθ) en utilisant les expressions données par P(n)

= exp ln√

2 +iπ 4 2√

5ⁿ⁺¹cos((n+ 1)θ)−5√

5ⁿcos(nθ)

= exp ln√

2 +iπ 4

√

5ⁿ⁺²cos((n+ 2)θ) car nous avons vu précédemment que la suite √

5ⁿcos(nθ)

n∈N vérifie la relation de récurrence :

∀n∈N, hn+2= 2hn+1−5hn. Ainsi,P(n+ 1)est vraie

Nous venons de prouver que ∀n∈N, un= exp ln√

2 +iπ 4

√

5ⁿcos(nθ) .

On peut généraliser la méthode ci-dessus et prouver qu’en toute généralité, la suiteudéfinie par









u0=ρ0e^iθ0 (ρ0, θ0)∈R^∗₊×R u1=ρ1e^iθ1 (ρ1, θ1)∈R^∗₊×R

∀n∈N , un+2= u²_n+1 u⁵_n

a pour expression explicite

∀n∈N, un= exp

(lnρ0+iθ0)√

5ⁿcos(nθ) +1 2

lnρ1

ρ0

+i(θ1−θ0) √

5ⁿsin(nθ)

.